初中北师大版第四章 图形的相似综合与测试精品单元测试同步训练题

这是一份初中北师大版第四章 图形的相似综合与测试精品单元测试同步训练题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题


1. 已知2x=3y，则下列比例式成立的是( )


A.eq \f(x,2)=eq \f(3,y) B.eq \f(x＋y,y)=eq \f(4,3) C.eq \f(x,3)=eq \f(y,2) D.eq \f(x＋y,x)=eq \f(3,5)


2. 如图，直线a，b，c分别与直线m，n交于点A，B，C，D，E，F.已知直线a∥b∥c，若AB=2，BC=3，则eq \f(DE,EF)的值为( )





A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C.eq \f(2,5) D.eq \f(3,5)


3. 如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC周长是( )





A．6 B．12 C．18 D．24


4. 已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( )


A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1


5. 如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为( )





A．2∶3 B．3∶2 C．4∶5 D．4∶9


6. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20 m，CE=10 m，CD=20 m，则河宽度AB等于( )





A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m


7. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )





A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2)


8. 如图，P为△ABC边AB上一点且AP∶BP=1∶2，E，F分别是PB，PC的中点，△ABC，△PEF的面积分别为S和S1，则S和S1的关系式(D)





A．S1=eq \f(1,3)S B．S1=eq \f(1,4)S C．S1=eq \f(2,3)S D．S1=eq \f(1,6)S


9. 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD.下列结论错误的是(C)





A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC C．S△BCD=S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点


10. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是(C)





A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


二、填空题


11. 若1，2，3，x是成比例线段，则x= .


12. 若eq \f(x,y)=eq \f(m,n)=eq \f(4,5)(y≠n)，则eq \f(x－m,y－n)= .





13. 如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC上的点，若DE∥BC，eq \f(AD,AB)=eq \f(1,3)，则eq \f(AD＋DE＋AE,AB＋BC＋AC)= .





14. 如图，在△ABC中，AB≠AC.D，E分别为边AB，AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： ．(只需写出一个)





15. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF= .





16. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．





三、解答题


17. 如图，若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB=10，eq \f(AP,BP)=eq \f(AQ,BQ)=eq \f(3,2)，求线段PQ的长．























18. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且a＋b＋c=36，eq \f(a,3)=eq \f(b,4)=eq \f(c,5)，求△ABC三边的长．




















19. 如图，点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．























20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)．


(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；


(2)在网格内以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.




















21. 如图，小明想用镜子测量一棵古松树AB的高，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处正好看到树尖A；第二次他把镜子放在点C′处，人在点F′处正好看到树尖A，已知小明眼睛距地面1.6 m，量得CC′=7 m，CF=2 m，C′F′=3 m，求这棵古松树AB的高．

















22. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G.


(1)求证：GD·AB=DF·BG；


(2)连接CF，求证：∠CFB=45°.
























































23. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE∥AB，交BF的延长线于点E，AG⊥BE，垂足是G，连接BD，AE.


(1)求证：△ABC∽△BGA；


(2)若AF=5，AB=8，求FG的长；


(3)当AB=BC，∠DBC=30°时，求eq \f(DE,BD)的值．




















24. 如图①，AB∥CD，且AB=2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M.


(1)求证：△EDM∽△FBM；


(2)若F是BC的中点，BD=12，求BM的长；


(3)如图②，若AD=BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP·BP=BF·CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．





















































25. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F.


(1)如图①，当eq \f(CE,EB)=eq \f(1,3)时，求eq \f(S△CEF,S△CDF)的值；


(2)如图②，当eq \f(CE,EB)=eq \f(1,m)时，求AF与OA的比值(用含m的代数式表示)；


(3)如图③，当eq \f(CE,EB)=eq \f(1,m)时，过点F作FG⊥BC于点G，探索EG与BG的数量关系(用含m的代数式表示)，并说明理由．



















































































参考答案


1. (C)


2. (A)


3. (B)


4. (A)


5.(A)


6. (B)


7. (B)


8. (D)


9. (C)


10. (C)


11. 6.


12. eq \f(4,5).


13. eq \f(1,3).


14. DF∥AC或∠BFD=∠A，可以使得△FDB与△ADE相似．


15. eq \f(12,5).


16. 22.5．


17. 解：设AP=3x，BP=2x.∵AB=10，∴AB=AP＋BP=3x＋2x=5x，即5x=10.


∴x=2.∴AP=6，BP=4.∵eq \f(AQ,BQ)=eq \f(3,2)，∴可设BQ=y，则AQ=AB＋BQ=10＋y.∴eq \f(10＋y,y)=eq \f(3,2).


解得y=20.∴PQ=PB＋BQ=4＋20=24


18. 解：设eq \f(a,3)=eq \f(b,4)=eq \f(c,5)=k(k≠0)，则a=3k，b=4k，c=5k，


∵a＋b＋c=36，


∴3k＋4k＋5k=36，


∴k=3，


∴a=9，b=12，c=15


19. 解：在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，


∴△ABD∽△ACB，∴eq \f(AB,AC)=eq \f(AD,AB)，


∵AB=6，AD=4，∴AC=eq \f(AB2,AD)=eq \f(36,4)=9，


则CD=AC－AD=9－4=5


20. 解：(1)(2)如图所示





21. 解：根据反射定律可以推出∠ACB=∠ECF，∠AC′B=∠E′C′F′，


∴△BAC∽△FEC，△AC′B∽△E′C′F′，


设AB=x，BC=y，则eq \f(1.6,x)=eq \f(2,y)，eq \f(1.6,x)=eq \f(3,7＋y)，解得x=11.2，y=14.


答：这棵古松的高约为11.2 m


22. 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC，


∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∴∠BCD=∠GFD，


∵∠BGC=∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴eq \f(BG,DG)=eq \f(BC,DF)，


∴DG·BC=DF·BG，


∵AB=BC，∴DG·AB=DF·BG


(2)连接BD，CF，∵△BGC∽△DGF，∴eq \f(BG,DG)=eq \f(CG,FG)，∴eq \f(BG,CG)=eq \f(DG,FG)，


又∵∠BGD=∠CGF，∴△BGD∽△CGF，∴∠BDG=∠CFG，


∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴∠BDG=eq \f(1,2)∠ADC=45°，


∴∠CFB=45°


23.解：(1)∵∠ABC=90°，F是AC的中点，∴BF=eq \f(1,2)AC=AF，∴∠FAB=∠FBA，


∵AG⊥BE，∴∠AGB=90°，∴∠ABC=∠AGB，


∴△ABC∽△BGA


(2)∵AF=5，∴AC=2AF=10，BF=5，


∵△ABC∽△BGA，∴eq \f(AB,AC)=eq \f(BG,AB)，∴BG=eq \f(AB2,AC)=eq \f(82,10)=eq \f(32,5)，


∴FG=BG－BF=eq \f(32,5)－5=eq \f(7,5)


(3)延长ED交BC于H，则DH⊥BC，∴∠DHC=90°，


∵AB=AC，F为AC的中点，∴∠C=45°，∠CBF=45°，


∴△DHC，△BEH是等腰直角三角形，


∴DH=HC，EH=BH，


设DH=HC=a，


∵∠DBC=30°，


∴BD=2a，BH=eq \r(3)a，


∴EH=eq \r(3)a，


∴DE=(eq \r(3)－1)a，


∴eq \f(DE,BD)=eq \f(\r(3)－1,2)


24. 解：(1)∵AB=2CD，点E是AB的中点，∴DC=EB.


又∵AB∥CD，


∴四边形BCDE为平行四边形，


∴ED∥BC.


∴∠EDB=∠FBM.


又∵∠DME=∠BMF，


∴△EDM∽△FBM


(2)∵△EDM∽△FBM，∴eq \f(DM,BM)=eq \f(DE,BF)，


∵F是BC的中点，


∴DE=BC=2BF，


∴DM=2BM，


∴DB=DM＋BM=3BM，


∵DB=12，


∴BM=eq \f(1,3)DB=eq \f(1,3)×12=4


(3)存在，∵DC∥AB，


∴∠CDB=∠ABD，


∵BD平分∠ABC，


∴∠CBD=∠ABD，


∴∠CDB=∠CBD，


∴DC=BC，


∵DP·BP=BF·CD，


∴eq \f(PD,BF)=eq \f(CD,BP)，


∴△PDC∽△FBP，


∴∠BPF=∠PCD，


∵∠DPC＋∠CPF＋∠BPF=180°，∠DPC＋∠PDC＋∠PCD=180°，


∴∠PDC=∠CPF，


∵AD=BC=DC=BE=AE，


∴△ADE是等边三角形，


∴∠AED=60°，


∴∠EDB=∠PDC=30°，


∴∠CPF=30°


25. 解：(1)∵eq \f(CE,EB)=eq \f(1,3)，∴eq \f(CE,BC)=eq \f(1,4)，


∵四边形ABCD是矩形，


∴AD∥BC，AD=BC，


∴△CEF∽△ADF，


∴eq \f(EF,DF)=eq \f(CE,AD)，∴eq \f(EF,DF)=eq \f(CE,BC)=eq \f(1,4)，eq \f(S△CEF,S△CDF)=eq \f(EF,DF)=eq \f(1,4)


(2)设EC=1，则BE=m，


∵四边形ABCD是矩形，


∴AD∥BC，AD=BC=m＋1，


∴△CEF∽△ADF，


∴eq \f(CF,AF)=eq \f(CE,AD)=eq \f(1,m＋1)，∴eq \f(AF,AC)=eq \f(m＋1,m＋2)，


∵eq \f(OA,AC)=eq \f(1,2)，∴AC=2OA，


∴eq \f(AF,2OA)=eq \f(m＋1,m＋2)，


∴eq \f(AF,OA)=eq \f(2m＋2,m＋2)


(3)结论：eq \f(EG,BG)=(eq \f(1,m＋1))2，理由：


设EC=1，则BE=m，∵四边形ABCD是矩形，


∴AD∥BC，AD=BC=m＋1，


∴△CEF∽△ADF，∴eq \f(EF,DF)=eq \f(CF,AF)=eq \f(CE,AD)=eq \f(1,m＋1)，


∵FG⊥BC，


∴FG∥CD，∴eq \f(EG,CG)=eq \f(EF,DF)=eq \f(1,m＋1)，①


∵FG∥AB，∴eq \f(CG,BG)=eq \f(CF,AF)=eq \f(1,m＋1)，②


由①×②，可得eq \f(EG,CG)×eq \f(CG,BG)=eq \f(1,m＋1)×eq \f(1,m＋1)，


即eq \f(EG,BG)=(eq \f(1,m＋1))2