初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试精品单元测试巩固练习

这是一份初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试精品单元测试巩固练习，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题


1．如图，已知菱形ABCD的边长为3，∠ABC=60°，则对角线AC的长是( )





A．12 B．9 C．6 D．3


2．下列命题为真命题的是( )


A．四个角相等的四边形是矩形


B．对角线垂直的四边形是菱形


C．对角线相等的四边形是矩形


D．四边相等的四边形是正方形


3．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是( )


A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形


4．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的( )





A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(3,10)


5．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有( )


①当AB=BC时，它是菱形；


②当AC⊥BD时，它是菱形；


③当∠ABC=90°时，它是矩形；


④当AC=BD时，它是正方形．


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


6．如图，已知正方形ABCD的对角线长为2eq \r(2)，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为( )





A．8eq \r(2) B．4eq \r(2) C．8 D．6





7．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是正方形的顶点，则∠ABC的度数为( )





A．90° B．60° C．45° D．30°


8．如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接OB.若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为( )





A．28° B．52° C．62° D．72°


9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是( )





A．AF=AE B．△ABE≌△AGF C．EF=2eq \r(5) D．AF=EF


10．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(点P不与A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.





下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN=BD；③PE2＋PF2=PO2.其中正确的有( )


A．0个 B．1个 C．2个 D．3个


二、填空题


11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．





12．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________．








13．如图是根据四边形的不稳定性制作的边长为15 cm的可活动衣架，若墙上钉子间的距离AB=BC=15 cm，则∠1=________.





14．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，


那么∠FAD=________.


15．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1，3)，则对角线BD的长等于________．





16．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=________.





17．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为________．





18．如图，在边长为1的菱形 ABCD中，∠DAB=60°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE=60°，…，按此规律所作的第n个菱形的边长是________．























三、解答题


19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F.求证：四边形AECF是菱形．


























20．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.


(1)求证：四边形OCED是菱形；


(2)若AB=3，BC=4，求四边形OCED的面积．




















21．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF.


(1)求证：△BCE≌△DCF；


(2)若∠FDC=30°，求∠BEF的度数．




















22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.


(1)求证：△DCE≌△BFE；


(2)若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．





























23．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，以点A为顶点的一个60°的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF.


(1)求证：BE=CF.


(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．









































24．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.


(1)探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．


(2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．


(3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE________是菱形(填“可能”或“不可能”)．请说明理由．
















































































参考答案


1.D


2.A


3．D 点拨：首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．


4．B


5．A 点拨：①当AB=BC时，它是菱形，正确；②当AC⊥BD时，它是菱形，正确；③当∠ABC=90°时，它是矩形，正确；④当AC=BD时，它是矩形，因此④是错误的．


6．C


7.C


8.C


9．D 点拨：如图，由折叠得∠1=∠2.


∵AD∥BC，∴∠3=∠1.∴∠2=∠3.


∴AE=AF.故选项A正确．


由折叠得CD=AG，∠D=∠G=90°.


∵AB=CD，∴AB=AG.


∵AE=AF，∠B=90°，


∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)．


故选项B正确．


设DF=x，则GF=x，AF=8－x.


又AG=AB=4，


∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－x)2=42＋x2.


解得x=3.∴AF=8－x=5.


则AE=AF=5，


∴BE=eq \r(AE2－AB2)=eq \r(52－42)=3.


过点F作FM⊥BC于点M，则EM=5－3=2.


在Rt△EFM中，根据勾股定理得EF=eq \r(EM2＋FM2)=eq \r(22＋42)=eq \r(20)=2eq \r(5)，则选项C正确．


∵AF=5，EF=2eq \r(5)，∴AF≠EF.故选项D错误．





10．D 点拨：∵四边形ABCD是正方形，∴∠PAE=∠MAE=45°.


∵PM⊥AC，∴∠PEA=∠MEA.


又∵AE=AE，∴根据“ASA”可得△APE≌△AME.故①正确．由①得PE=ME，∴PM=2PE.同理PN=2PF.又易知PF=BF，四边形PEOF是矩形，∴PN=2BF，PM=2FO.∴PM＋PN=2FO＋2BF=2BO=BD.故②正确．在Rt△PFO中，∵FO2＋PF2=PO2，而PE=FO，∴PE2＋PF2=PO2.故③正确．


11.90°点拨：对角线相等的平行四边形是矩形．


12．12 点拨：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=eq \f(1,2)×6×8=24.∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=eq \f(1,2)×24=12.


13．120°





14．22.5° 点拨：如图，由四边形ABCD是正方形，可知∠CAD=eq \f(1,2)∠BAD=45°.


由FE⊥AC，可知∠AEF=90°.


在Rt△AEF与Rt△ADF中， AE=AD，AF=AF，


∴Rt△AEF≌Rt△ADF(HL)．


∴∠FAD=∠FAE=eq \f(1,2)∠CAD=eq \f(1,2)×45°=22.5°.


15.eq \r(10)


16.eq \r(2)－1


17．20 点拨：点N是BC的中点，点E，F分别是BM，CM的中点，由三角形的中位线定理可证EN∥MC，NF∥ME，EN=eq \f(1,2)MC，FN=eq \f(1,2)MB.又易知MB=MC，所以四边形ENFM是菱形．由点M是AD的中点，AD=12得AM=6.在Rt△ABM中，由勾股定理得BM=10.因为点E是BM的中点，所以EM=5.所以四边形ENFM的周长为20.


18．(eq \r(3))n－1


19.证明：∵EF垂直平分AC，


∴∠AOE=∠COF=90°，OA=OC.


∵AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF.


∴△AOE≌△COF(ASA)．


∴AE=CF.又∵AE∥CF，


∴四边形AECF是平行四边形．


∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．


20．(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD，


∴四边形OCED为平行四边形．


∵四边形ABCD为矩形，∴OD=OC.


∴四边形OCED为菱形．


(2)解：∵四边形ABCD为矩形，


∴BO=DO=eq \f(1,2)BD.


∴S△OCD=S△OCB=eq \f(1,2)S△ABC=eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×3×4=3.


∴S菱形OCED=2S△OCD=6.


21．(1)证明：在△BCE与△DCF中，


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BC＝DC，,∠BCE＝∠DCF，,CE＝CF，))


∴△BCE≌△DCF.


(2)解：∵△BCE≌△DCF，


∴∠EBC=∠FDC=30°.


∵∠BCD=90°，∴∠BEC=60°.


∵EC=FC，∠ECF=90°，


∴∠CEF=45°.∴∠BEF=105°.


22．(1)证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C=90°，


∴∠ADB=∠DBC.


根据折叠的性质得∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=90°，


∴∠DBC=∠BDF，∠C=∠F.


∴BE=DE.


在△DCE和△BFE中，


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DEC＝∠BEF，,∠C＝∠F，,DE＝BE，))


∴△DCE≌△BFE.


(2)解：在Rt△BCD中，


∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，


∴BD=4.∴BC=2eq \r(3).


在Rt△ECD中，易得∠EDC=30°.


∴DE=2EC.


∴(2EC)2－EC2=CD2.


∵CD=2，


∴CE=eq \f(2\r(3),3).


∴BE=BC－EC=eq \f(4\r(3),3).





(第23题)


23．(1)证明：如图，连接AC.


∵四边形ABCD为菱形，


∠BAD=120°，


∴∠ABE=∠ACF=60°，


∠1＋∠2=60°.


∵∠3＋∠2=∠EAF=60°，


∴∠1=∠3.


∵∠ABC=60°，AB=BC，


∴△ABC为等边三角形．


∴AC=AB.


∴△ABE≌△ACF.


∴BE=CF.


(2)解：四边形AECF的面积不变．


由(1)知△ABE≌△ACF，


则S△ABE=S△ACF，


故S四边形AECF=S△AEC＋S△ACF=S△AEC＋S△ABE=S△ABC.


如图，过A作AM⊥BC于点M，则BM=MC=2，


∴AM=eq \r(AB2－BM2)=eq \r(42－22)=2eq \r(3).


∴S△ABC=eq \f(1,2)BC·AM=eq \f(1,2)×4×2eq \r(3)=4eq \r(3).


故S四边形AECF=4eq \r(3).


24．解：(1)OE=OF.理由如下：∵CE是∠ACB的平分线，


∴∠ACE=∠BCE.又∵MN∥BC，


∴∠NEC=∠BCE.


∴∠NEC=∠ACE.∴OE=OC.


∵CF是∠ACD的平分线，


∴∠OCF=∠FCD.又∵MN∥BC，


∴∠OFC=∠FCD.


∴∠OFC=∠OCF.


∴OF=OC.∴OE=OF.


(2)当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．


理由如下：∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，


又∵EO=FO，


∴四边形AECF是平行四边形．


∵FO=CO，∴AO=CO=EO=FO.


∴AO＋CO=EO＋FO，即AC=EF.


∴四边形AECF是矩形．已知MN∥BC，当∠ACB=90°时，∠AOE=90°，∴AC⊥EF.


∴四边形AECF是正方形．


(3)不可能


理由如下：


连接BF，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，


∴∠ECF=eq \f(1,2)∠ACB＋eq \f(1,2)∠ACD=eq \f(1,2)(∠ACB＋∠ACD)=90°.若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC.但在一个三角形中，不可能存在两个角为90°，故四边形BCFE不可能为菱形．