人教版第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教学设计

这是一份人教版第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教学设计，共3页。教案主要包含了复习引入，探索新知等内容，欢迎下载使用。

课题
24.1.2 垂直于弦的直径
课 型
新授课
课 时
1
教学


目标
理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．


通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．
教 学


重 点


难 点
重点 垂径定理及其运用．


难点 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
教 学


准 备
多媒体
教





学





过





程
一、复习引入


①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．


以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．


②连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；


③经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；





④圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作“eq \(AC,\s\up8(︵))”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．大于半圆的弧(如图所示eq \(ABC,\s\up8(︵)))叫做优弧，小于半圆的弧(如图所示eq \(AC,\s\up8(︵))或eq \(BC,\s\up8(︵)))叫做劣弧．


⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．


⑥圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．


二、探索新知


(学生活动)请同学按要求完成下题：


如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.





(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？


(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．


(老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是CD.


(2)AM＝BM，eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，即直径CD平分弦AB，并且平分eq \(AB,\s\up8(︵))及eq \(ADB,\s\up8(︵)).


这样，我们就得到下面的定理：


垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．


下面我们用逻辑思维给它证明一下：


已知：直径CD、弦AB，且CD⊥AB垂足为M.


求证：AM＝BM，eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).


分析：要证AM＝BM，只要证AM，BM构成的两个三角形全等．因此，只要连接OA，OB或AC，BC即可．





证明：如图，连接OA，OB，则OA＝OB，


在Rt△OAM和Rt△OBM中，


∴Rt△OAM≌Rt△OBM，


∴AM＝BM，


∴点A和点B关于CD对称，


∵⊙O关于直径CD对称，


∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，eq \(AC,\s\up8(︵))与eq \(BC,\s\up8(︵))重合，eq \(AD,\s\up8(︵))与eq \(BD,\s\up8(︵))重合．


∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).


进一步，我们还可以得到结论：


平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．


(本题的证明作为课后练习)


例1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．


分析：要求当洪水到来时，水面宽MN＝32 m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R.





解：不需要采取紧急措施，


设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18，


R2＝302＋(R－18)2，


R2＝900＋R2－36R＋324，


解得R＝34(m)，


连接OM，设DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16，


342＝162＋(34－x)2，


162＋342－68x＋x2＝342，x2－68x＋256＝0，


解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，


∴DE＝4，


∴不需采取紧急措施．
作 业





布 置
1．垂径定理推论的证明．


2．教材第89，90页 习题第8，9，10题．
课堂总结
垂径定理及其推论以及它们的应用．