2019-2020学年福建省龙岩市新罗区八年级（下）期末数学试卷

2019-2020学年福建省龙岩市新罗区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）计算：＝（　　）
A．1 B． C．3 D．9
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．+＝ B．＝2 C．•＝ D．÷＝2
3．（4分）菱形不具备的性质是（　　）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．对角线互相平分
4．（4分）如图，在▱ABCD，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF，若EF＝6，则CD的长是（　　）

A．2 B．3 C．6 D．12
5．（4分）一次函数y＝﹣x+2020的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（4分）已知数据x1、x2、x3、……、x100是龙岩市某企业普通职工的2019年的年收入，设这100个数据的平均数为a，中位数为b，方差为c，如果再加上中国首富马化腾的年收入x101，则在这101个数据中，a一定增大，那么对b与c的判断正确的是（　　）
A．b一定增大，c可能增大 B．b可能不变，c一定增大
C．b一定不变，c一定增大 D．b可能增大，c可能不变
7．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝18，则BC＝（　　）

A．14 B． C．14 D．
8．（4分）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（　　）

A．x＞ B．x＞3 C．x＜3 D．x＜
9．（4分）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作▱AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，▱AEDF的面积（　　）

A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
10．（4分）如图，一次函数l：y＝﹣x+2的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A为直角顶点在第一象限作等腰直角三角形ABC，则直线BC的解析式是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（4分）返校复学前，小张进行了14天体温测量，结果统计如下：
体温
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
天数
1
2
3
4
3
1
则小张这14天体温的众数是　 　．
13．（4分）若一次函数y＝（2m﹣1）x+3的图象，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　 　．
14．（4分）已知菱形的两条对角线长分别为8cm、9cm，则菱形的面积为　 　．
15．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC．则BD＝　 　．

16．（4分）已知A、B、C、D是平面坐标系中坐标轴上的点，且△AOB≌△COD．设直线AB的表达式为y＝k1x+b1，直线CD的表达式为y＝k2x+b2，则k1•k2＝　 　．

三、解答题：（本大题共9题，共86分）
17．（8分）计算：
18．（8分）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE＝CF．

19．（8分）已知y﹣3与x成正比例，且x＝1时，y＝﹣5．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点M（a，﹣1）在函数图象上，求a的值．
20．（8分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．

21．（8分）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃．气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：
（1）请直接写出高度为5百米时的气温　 　．
（2）求T关于h的函数表达式．

22．（10分）九（3）班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲、乙两组，进行了四次“五水共治”模拟竞赛，成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如图统计图．

根据统计图，解答下列问题：
（1）第三次成绩的优秀率是多少？并将条形统计图补充完整；
（2）已求得甲组成绩优秀人数的平均数＝7，方差＝1.5，请通过计算说明，哪一组成绩优秀的人数较稳定？
23．（10分）为迎接“国家级文明卫生城市”检查，我市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱．通过市场调研发现：购买1个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需340元；购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元．
（1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
（2）该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个．
①求购买垃圾箱的总花费ω（元）与A型垃圾箱x（个）之间的函数关系式；
②当购买A型垃圾箱个数多少时总费用最少，最少费用是多少？
24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P是对角线AC上的一个由A往C方向运动的动点，且运动速度为cm/s，设点P运动时间为t（s）．
（1）求AC的长；
（2）问t为何值时，△PCD为等腰三角形？

25．（14分）已知直线y＝x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，P是直线AB上的一个动点，过P点分别作x轴、y轴的垂线PE，PF，如图所示，
（1）若P为线段AB的中点，请求出OP的长度；
（2）若四边形PEOF是正方形时，求出P点坐标；
（3）P点在AB上运动过程中，EF是否有最小值？若有，请求出这个最小值；若没有请说明理由．


2019-2020学年福建省龙岩市新罗区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）计算：＝（　　）
A．1 B． C．3 D．9
【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案．
【解答】解：＝3．
故选：C．
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．+＝ B．＝2 C．•＝ D．÷＝2
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝3，所以B选项错误；
C、原式＝＝，所以C选项错误；
D、原式＝＝2，所以D选项正确．
故选：D．
3．（4分）菱形不具备的性质是（　　）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．对角线互相平分
【分析】根据菱形的性质逐个判断即可．
【解答】解：菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，
②菱形的对角相等，
③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，
所以菱形不具有的性质是对角线相等；
故选：B．
4．（4分）如图，在▱ABCD，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF，若EF＝6，则CD的长是（　　）

A．2 B．3 C．6 D．12
【分析】根据平行四边形的对边相等、三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD；
又∵E、F分别是AD、BD的中点，
∴EF是△DAB的中位线，
∴EF＝AB，
∴EF＝CD＝6，
∴CD＝12；
故选：D．
5．（4分）一次函数y＝﹣x+2020的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到一次函数y＝﹣x+2020的图象不经过哪个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+2020，k＝﹣1，b＝2020，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
6．（4分）已知数据x1、x2、x3、……、x100是龙岩市某企业普通职工的2019年的年收入，设这100个数据的平均数为a，中位数为b，方差为c，如果再加上中国首富马化腾的年收入x101，则在这101个数据中，a一定增大，那么对b与c的判断正确的是（　　）
A．b一定增大，c可能增大 B．b可能不变，c一定增大
C．b一定不变，c一定增大 D．b可能增大，c可能不变
【分析】根据平均数的定义、中位数的定义、方差的概念和性质判断即可．
【解答】解：∵数据x1、x2、x3、……、x100是龙岩市某企业普通职工的2019年的年收入，x101是中国首富马化腾的年收入，
∴x101是远远大于x1、x2、x3、……、x100，
∴这101个数据中，中位数为b可能不变，有可能增大，方差为c一定增大，
故选：B．
7．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝18，则BC＝（　　）

A．14 B． C．14 D．
【分析】由勾股定理得出AC2+BC2＝AB2，得出S1+BC2＝S2，得出BC2＝S2﹣S1，即可得出结果．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S1+BC2＝S2，
∴BC2＝S2﹣S1＝18﹣4＝14，
∴BC＝．
故选：D．
8．（4分）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（　　）

A．x＞ B．x＞3 C．x＜3 D．x＜
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式2x＜ax+4的解集即可．
【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），
∴2m＝3，
解得：m＝1.5，
∴A（1.5，3），
∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜1.5．
故选：D．
9．（4分）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作▱AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，▱AEDF的面积（　　）

A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
【分析】过点E作EG⊥AD于G，证四边形ABEG是矩形，得出EG＝AB，平行四边形AEDF的面积＝2△ADE的面积＝2×AD×EG＝AD×AB＝矩形ABCD的面积，即可得出结论．
【解答】解：过点E作EG⊥AD于G，如图所示：
则∠AGE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴四边形ABEG是矩形，
∴EG＝AB，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴平行四边形AEDF的面积＝2△ADE的面积＝2×AD×EG＝AD×AB＝矩形ABCD的面积，
即▱AEDF的面积保持不变；
故选：D．

10．（4分）如图，一次函数l：y＝﹣x+2的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以A为直角顶点在第一象限作等腰直角三角形ABC，则直线BC的解析式是（　　）

A． B． C． D．
【分析】先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CE⊥x轴于点E，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAE，得出C点坐标，用待定系数法即可求出直线BC的解析式．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+2中，
令x＝0得：y＝2；令y＝0，解得x＝5，
∴B的坐标是（0，2），A的坐标是（5，0）．
若∠BAC＝90°，如图，作CE⊥x轴于点E，
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAB+∠CAE＝90°，
又∵∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠BAO．
在△ABO与△CAE中
，
∴△ABO≌△CAE（AAS），
∴OB＝AE＝2，OA＝CE＝5，
∴OE＝OA+AE＝2+5＝7．
则C的坐标是（7，5）．
设直线BC的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，
解得，
∴直线BC的解析式是y＝x+2．
故选：D．

二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次根式有意义，则x的取值范围是　x≥5　．
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可．
【解答】解：根据题意得：x﹣5≥0，
解得x≥5．
故答案为：x≥5．
12．（4分）返校复学前，小张进行了14天体温测量，结果统计如下：
体温
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
天数
1
2
3
4
3
1
则小张这14天体温的众数是　36.6　．
【分析】根据众数的定义就可解决问题．
【解答】解：36.6出现的次数最多有4次，所以众数是36.6．
故答案为：36.6．
13．（4分）若一次函数y＝（2m﹣1）x+3的图象，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　　．
【分析】根据y随x的增大而减小可知2m﹣1＜0，解不等式即可．
【解答】解：∵函数值y随自变量x的增大而减小，
∴2m﹣1＜0，
∴m＜．
故答案为m．
14．（4分）已知菱形的两条对角线长分别为8cm、9cm，则菱形的面积为　36cm2　．
【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．
【解答】解：菱形的面积＝×8×9＝36（cm2）．
故答案为36cm2．
15．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC．则BD＝　4　．

【分析】由BC⊥AC，AB＝10，BC＝AD＝6，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，然后由勾股定理求得OB的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，OB＝OD，OA＝OC，
∵AC⊥BC，
∴AC＝＝8，
∴OC＝4，
∴OB＝＝2，
∴BD＝2OB＝4
故答案为：4．
16．（4分）已知A、B、C、D是平面坐标系中坐标轴上的点，且△AOB≌△COD．设直线AB的表达式为y＝k1x+b1，直线CD的表达式为y＝k2x+b2，则k1•k2＝　1　．

【分析】根据A（0，a）、B（b，0），得到OA＝a，OB＝﹣b，根据全等三角形的性质得到OC＝a，OD＝﹣b，得到C（a，0），D（0，b），求得k1＝，k2＝，即可得到结论．
【解答】解：设点A（0，a）、B（b，0），
∴OA＝a，OB＝﹣b，
∵△AOB≌△COD，
∴OC＝a，OD＝﹣b，
∴C（a，0），D（0，b），
∴k1＝＝，k2＝＝，
∴k1•k2＝1，
故答案为：1．
三、解答题：（本大题共9题，共86分）
17．（8分）计算：
【分析】先将二次根式化为最简二次根式，再合并即可求解．
【解答】解原式＝
＝
＝．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE＝CF．

【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE＝CF．
【解答】证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°．
在△ABE与△CDF中，
，
∴得△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．

19．（8分）已知y﹣3与x成正比例，且x＝1时，y＝﹣5．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点M（a，﹣1）在函数图象上，求a的值．
【分析】（1）设y﹣3＝kx，把已知条件代入可求得k，则可求得其函数关系式；
（2）把点的坐标代入可得到关于a的方程，可求得a的值．
【解答】解：（1）依题意得：y﹣3＝kx（k≠0），
又∵x＝1时，y＝﹣5，
∴﹣5﹣3＝k，
∴k＝﹣8，
所以y与x之间的函数关系式为y﹣3＝﹣8x，
即：y＝﹣8x+3；
（2）由于点M（a，﹣1）在函数图象上，
∴﹣8a+3＝﹣1，
∴．
20．（8分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．

【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；
【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；


（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C．
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°，
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
21．（8分）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃．气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：
（1）请直接写出高度为5百米时的气温　12℃　．
（2）求T关于h的函数表达式．

【分析】（1）根据高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，由3百米时温度为13.2°C，即可得出高度为5百米时的气温；
（2）应用待定系数法解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低2×0.6＝1.2（℃），
∴13.2﹣1.2＝12（℃），
∴高度为5百米时的气温大约是12℃；
故答案是：12℃；

（2）由题意知：T是h的一次函数，
设T＝kh+b（k≠0），
点（3，13.2）、（5，12）在图象上，
∴，
解得．
所以函数表达式为T＝﹣0.6h+15．
22．（10分）九（3）班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲、乙两组，进行了四次“五水共治”模拟竞赛，成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如图统计图．

根据统计图，解答下列问题：
（1）第三次成绩的优秀率是多少？并将条形统计图补充完整；
（2）已求得甲组成绩优秀人数的平均数＝7，方差＝1.5，请通过计算说明，哪一组成绩优秀的人数较稳定？
【分析】（1）利用优秀率求得总人数，根据优秀率＝优秀人数除以总人数计算；
（2）先根据方差的定义求得乙班的方差，再根据方差越小成绩越稳定，进行判断．
【解答】解：（1）总人数：（5+6）÷55%＝20（人），
第三次的优秀率：（8+5）÷20×100%＝65%，
第四次乙组的优秀人数为：20×85%﹣8＝17﹣8＝9（人）．
补全条形统计图，如图所示：


（2）＝（6+8+5+9）÷4＝7，
S2乙组＝×[（6﹣7）2+（8﹣7）2+（5﹣7）2+（9﹣7）2]＝2.5，
S2甲组＜S2乙组，所以甲组成绩优秀的人数较稳定．
23．（10分）为迎接“国家级文明卫生城市”检查，我市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱．通过市场调研发现：购买1个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需340元；购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元．
（1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
（2）该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个．
①求购买垃圾箱的总花费ω（元）与A型垃圾箱x（个）之间的函数关系式；
②当购买A型垃圾箱个数多少时总费用最少，最少费用是多少？
【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买1个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需340元；购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设购买m个A型垃圾箱，则购买（30﹣m）个B型垃圾箱，根据总价＝单价×购进数量，即可得出ω关于m的函数关系式；
②利用一次函数的性质解决最值问题．
【解答】解：（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，
由题意得：．
解得：．
答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元；

（2）①设购买m个A型垃圾箱，则购买（30﹣m）个B型垃圾箱，
由题意得：ω＝100m+120（30﹣m）＝﹣20m+3600（0≤m≤16，且m为整数）．

②由①知，∵ω＝﹣20m+3600，
∴ω是m的一次函数．
∵k＝﹣20＜0，
∴ω随m的增大而减小．
又0≤m≤16，且m为整数，
∴当m＝16，ω取最小值，且最小值为﹣20×16+3600＝3280．
答：①函数关系式为ω＝﹣20m+3600（0≤m≤16，且m为整数）．
②购买16个A型垃圾箱，总费用最少，最少费用为3280元．
24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P是对角线AC上的一个由A往C方向运动的动点，且运动速度为cm/s，设点P运动时间为t（s）．
（1）求AC的长；
（2）问t为何值时，△PCD为等腰三角形？

【分析】（1）由勾股定理可求AC的长；
（2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠B＝90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：；
（2）△PCD为等腰三角形，分类讨论：
当CD＝CP时，△CPD为等腰三角形，
∴CD＝CP＝6，
则AP＝AC﹣PC＝10﹣6＝4，
∴（s）；
当PC＝PD时，△PCD为等腰三角形，此时P是对角线的交点，
∴PC＝PD＝5，
则AP＝AC﹣PC＝10﹣5＝5，
∴（s），
当DP＝DC时，△DPC为等腰三角形，
过点D作DQ⊥AC，则PQ＝QC，
又，
∴，
∴，
同理勾股定理得：，
∴，
则∴（s），
∴t＝8，t＝10，t＝5.6时，△CPD为等腰三角形．
25．（14分）已知直线y＝x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，P是直线AB上的一个动点，过P点分别作x轴、y轴的垂线PE，PF，如图所示，
（1）若P为线段AB的中点，请求出OP的长度；
（2）若四边形PEOF是正方形时，求出P点坐标；
（3）P点在AB上运动过程中，EF是否有最小值？若有，请求出这个最小值；若没有请说明理由．

【分析】（1）首先求得点A和点B的坐标，从而得到OB、OA的长度，然后根据勾股定理可求得AB的长，最后根据直角三角形斜边上中线的性质求得OP的长即可；
（2）由正方形的性质可知；点P位于一、三象限或二、四象限的角平分线上，即点P的横纵坐标相等，或互为相反数；
（3）由题意可知四边形OEPF是矩形，由矩形的性质可知OP＝EF，然后根据垂线段最短的性质可知OP⊥AB时，EF有最小值，最后利用面积法克求得OP的长，从而得到EF的长．
【解答】解；（1）令x＝0得：y＝3；令y＝0得x＝﹣4
∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，3）．
在Rt△ABO中，AB＝＝＝5，
在Rt△ABO中，点P是AB的中点，
∴PO＝AB＝．
（2）∵四边形PEOF为正方形，
∴PE＝PF．
∴点P位于一、三象限或二、四象限的角平分线上．
设点P的坐标为（a，），则a+＝0，或a＝，
解得a＝或a＝12
∴点P的坐标为（，）或（12，12）．
（3）如图所示：连接OP．

∵∠EOF＝∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形PEPF为矩形．
∴PO＝EF．
由垂线段最短可知；当OP⊥AB时，OP有最小值．
∵，
∴．
∴OP＝．
∴EF存在最小值，最小值为．