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2020年全国数学中考试题精选50题（4）——方程的解法和应用
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2020年全国数学中考试题精选50题（4）——方程的解法和应用
一、单选题
1.（2020·朝阳）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于 ，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（ ）
A. 8 B. 6 C. 7 D. 9
2.（2020·雅安）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，那么 的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. 且 D.
3.（2020·绵阳）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（ ）
A. 160钱 B. 155钱 C. 150钱 D. 145钱
4.（2020·东营）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ）
A. 96里 B. 48里 C. 24里 D. 12里
5.（2020·滨州）对于任意实数k，关于x的方程 的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判定
6.（2020·南县）同时满足二元一次方程 和 的x，y的值为（ ）
A. B. C. D.
7.（2020·内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则正确的方程是（ ）
A. B. C. D.
8.（2020·呼和浩特）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（ ）
A. 102里 B. 126里 C. 192里 D. 198里
9.（2020·呼和浩特）已知二次函数 ，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程 的两根之积为（ ）
A. 0 B. C. D.
10.（2020·包头）下列命题正确的是（ ）
A. 若分式 的值为0，则x的值为±2．
B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小．
C. 若 ，则 ．
D. 若 ，则一元二次方程 有实数根．
二、填空题
11.（2020·丹东）关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围是________.
12.（2020·朝阳）已知关于x、y的方程 的解满足 ，则a的值为________.
13.（2020·泰州）方程 的两根为 、 则 的值为________.
14.（2020·雅安）若 ，则 ________．
15.（2020·眉山）设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为________．
16.（2020·淄博）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
17.（2020·威海）一元二次方程 的解为________．
18.（2020·东营）如果关于 的一元二次方程 有实数根，那么m的取值范围是________．
19.（2020·呼伦贝尔）已知关于 的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是________．
20.（2020·吉林）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？
设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为________．
21.（2020·永州）方程组 的解是________．
22.（2020·长春）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．若抛物线 （h、k为常数）与线段 交于C、D两点，且 ，则k的值为________．
23.（2020·南通） 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为________.
24.（2020·南通）若x1 ， x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于________.
25.（2020·宜宾）一元二次方程 的两根为 ，则 ________
26.（2020·内江）已知关于x的一元二次方程 有一实数根为 ，则该方程的另一个实数根为________
27.（2020·上海）如果关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是________．
28.（2020·山西）如图是一张长 ，宽 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积 是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为________ ．
29.（2020·通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了________个人．
30.（2020·邵阳）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为________．
三、计算题
31.（2020·凉山州）解方程：
32.（2020·淄博）解方程组：
33.（2020·丹东）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 （件）与每件的售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 （元/件）
60
65
70
销售量 （件）
1400
1300
1200
（1）求出 与 之间的函数表达式；（不需要求自变量 的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为 （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
34.（2020·镇江）
（1）（算一算）
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为________，AC长等于________；
（2）（找一找）
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数 ﹣1、 +1，Q是AB的中点，则点________是这个数轴的原点；
（3）（画一画）
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（4）（用一用）
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生.凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口.如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校.在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示.
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；
②写出a、m的数量关系.
35.（2020·眉山）“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．
（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；
（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共 棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
36.（2020·凉山州）如图，已知直线
（1）当反比例函数 的图象与直线 在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围
（2）若反比例函数 的图象与直线 在第一象限内相交于点 、 ，当 时，求k的值并根据图象写出此时关的不等式 的解集
37.（2020·东营）2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共 万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：
型号
价格(元/只)
项目
甲
乙
成本
12
4
售价
18
6
（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
（2）如果公司四月份投入成本不超过 万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
38.（2020·滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
39.（2020·鄂尔多斯）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：
时间（天）
x
销量（斤）
120﹣x
储藏和损耗费用（元）
3x2﹣64x+400
已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？
40.（2020·赤峰）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x ， y ， z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x ， y ， z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为 ， ，则有 ， ．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数________；
（2）若 ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a ， b ， c均不为0)的两根， 是关于x的方程bx+c=0(b ， c均不为0)的解．求证：x1 ，x2 ， x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m ， y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
41.（2020·南县）“你怎么样，中国便是怎么样：你若光明，中国便不黑暗”。2019年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城。针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有 人不能到厂生产，为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．
（1）求原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？
42.（2020·云南）众志成城抗疫情，全国人民在行动.某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情.每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资.已知这两种货车的运费如下表：
目的地
车型
A地（元/辆）
B地（元/辆）
大货车
900
1000
小货车
500
700
现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元.
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）求 与 的函数解析式，并直接写出 的取值范围；
（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值.
43.（2020·上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天
的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
44.（2020·通辽）某服装专卖店计划购进 两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．
（1）求 型服装的单价；
（2）专卖店要购进 两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？
45.（2020·呼和浩特）已知自变量x与因变量 的对应关系如下表呈现的规律．
x
…
0
1
2
…
…
12
11
10
9
8
…
（1）直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；
（2）设反比列函数 的图象与（1）求得的函数的图象交于A，B两点，O为坐标原点且 ，求反比例函数解析式；已知 ，点 与 分别在反比例函数与（1）求得的函
数的图象上，直接写出 与 的大小关系．
46.（2020·包头）某商店销售 两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．
（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？
（2）该商店计划购进 两种商品共60件，且 两种商品的进价总额不超过7800元，已知A种商
品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？
47.（2020·长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区，具体运算情况如下：
第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
1
2
B型货车的辆数（单位：辆）
3
5
累计运送货物的顿数（单位：吨）
28
50
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（1）求A，B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资；
（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需联系多少辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
48.（2020·邵阳）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
49.（2020·山西）年 月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满 元立减 元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高 后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金 元．求该电饭煲的进价．
50.（2020·呼和浩特）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程 ，就可以利用该思维方式，设 ，将原方程转化为： 这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足 ，求 的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】设可以打x折出售此商品，
由题意得：240 ，
解得x 6，
故答案为：B
【分析】根据售价-进价=利润，利润=进价 利润率可得不等式，解之即可.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，
∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤ 且k≠0，
故答案为：C．
【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，
依题意，得： ，
解得： ．
故答案为：C．
【分析】设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：设第一天的路程为 里
∴
解得
∴第三天的路程为
故答案选B
【分析】根据题意可设第一天所走的路程为 ，用含 的式子分别把这六天的路程表示出来，相加等于总路程378，解此方程即可．
5.【答案】 B
【解析】【解答】解： ，
，
不论k为何值， ，
即 ，
所以方程没有实数根，
故答案为：B．
【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：有题意得：
由①得x=9+y③
将③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5
则x=9+（-5）=4
所以x=4，y=-5．
故答案为：A．
【分析】联立 和 解二元一次方程组即可．
7.【答案】 A
【解析】【解答】设索为 尺，杆子为( )尺，
根据题意得： ( ) ．
故答案为：A．
【分析】设索为 尺，杆子为( )尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于 一元一次方程．
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，
依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x=378，
解得：x=6．
32x=192，
6+192=198，
答：此人第一和第六这两天共走了198里，
故答案为：D.
【分析】设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵二次函数 ，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，
则 ，
解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程 为 ，
则两根之积为 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意可得二次函数图像的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果.
10.【答案】 D
【解析】【解答】A.当x=2时，分式无意义，故A选项不符合题意；
B.1的算数平方根还是1，不符合“一个正数的算术平方根一定比这个数小”，故B选项不符合题意；
C.可以假设b=2，a=1，满足 ，代入式子中，通过计算发现与结论不符，故C选项不符合题意；
D. ，当 时， ，一元二次方程有实数根，故D选项符合题意．
故本题选择D．
【分析】A选项：当x=2时，分式无意义；B选项：1的算数平方根还是1；C选项：可以让b=2，a=1，代入式子中即可做出判断；根据根的判别式可得到结论．
二、填空题
11.【答案】 且m≠1
【解析】【解答】解：由题意得：这个方程是一元二次方程
解得
又 关于 的方程 有两个实数根
此方程的根的判别式
解得
综上，m的取值范围是 且
故答案为： 且 .
【分析】利用一元二次方程的定义可知m+1≠0，利用一元二次方程根的判别式b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，解不等式可得m的取值范围。
12.【答案】 5
【解析】【解答】解： ，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵ ，
∴2-a=-3，
∴a=5.
故答案为：5.
【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可.
13.【答案】 -3
【解析】【解答】解：∵方程 的两根为x1、x2 ，
∴x1·x2= =-3，
故答案为：-3.
【分析】直接根据韦达定理x1·x2= 可得.
14.【答案】 6
【解析】【解答】解：
∴ 或
又∵ ，
∴
【分析】将 看作一个整体，然后采用十字相乘法进行因式分解，可解出答案.
15.【答案】
【解析】【解答】解：由方程 可知
，
．
故答案为：
【分析】由韦达定理可分别求出 与 的值，再化简要求的式子，代入即可得解．
16.【答案】 m＜
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，解得m＜ ，
故答案为m＜ ．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
17.【答案】 x= 或x=2
【解析】【解答】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x= ,
故答案为:x= 或x=2．
【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可．
18.【答案】 m≤9
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程 有实数根，
故答案为：
【分析】由一元二次方程根与系数的关键可得： 从而列不等式可得答案．
19.【答案】 m≤5且m≠4
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴△= ≥0且 ≠0，
解得：m≤5且m≠4，
故答案为：m≤5且m≠4．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△≥0且二次项系数≠0，然后求出两不等式的公共部分即可．
20.【答案】 （240-150）x=150×12
【解析】【解答】解：题中已设快马x天可以追上慢马，
则根据题意得：（240-150）x=150×12．
故答案为：（240-150）x=150×12．
【分析】根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程．
21.【答案】
【解析】【解答】
由①+②得：3x=6，
解得x=2，
把x=2代入①中得，y=2，
所以方程组的解为 ．
故答案为： ．
【分析】直接利用加减消元法求解．
22.【答案】
【解析】【解答】解：∵抛物线与线段AB交于C、D两点，且点A的坐标为（0,2），点B的坐标为（4，2）
∴点C和点D的纵坐标为2
当y=2时，抛物线的解析式为2=（x-h）2+k
解得，x=±+h
即x1=+h，x2=-+h
∴CD=x1-x2=2=AB=2
∴k=
【分析】结合抛物线的交点以及点A和点B的坐标，即可得到C，D两个点的纵坐标，将抛物线的解析式进行运算，利用求根公式得到两个根，根据两个根之间的距离公式即可得到k的值。
23.【答案】 x（x﹣12）＝864
【解析】【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步.
依题意，得：x（x﹣12）＝864.
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
24.【答案】 2028
【解析】【解答】解：∵x1 ， x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028.
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，将代数式变形为x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2），然后整体代入计算可得.
25.【答案】
【解析】【解答】∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
= ，
= ．
故答案为 ．
【分析】根据根与系数的关系表示出 和 即可；
26.【答案】
【解析】【解答】解：把x=-1代入 得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，
∵(m-1)2≠0，
∴m 1．
∴m=4.
∴方程为9x2+12x+3=0.
设另一个根为a,则-a= .
∴a=- .
故答案为:- ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m的一元二次方程，解得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
27.【答案】 4．
【解析】【解答】依题意:
∵方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4m=0，
解得：m=4．
故答案为：4．
【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2-4ac=0，即可求m值．
28.【答案】
【解析】【解答】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,
由题意得: ,
解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24,
整理得:2x2－11x+18=0．
解得x=2或x=9(舍去)．
故答案为2．
【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可．
29.【答案】 12
【解析】【解答】解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x=169
解得：x=12或x=-14（舍去）．
∴平均一人传染12人．
故答案为：12．
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解
30.【答案】 x(x+12)=864
【解析】【解答】因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12，
故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，
故答案：x(x+12)=864．
【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．
三、计算题
31.【答案】 解：
【解析】【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．
32.【答案】 解： ，
①+②，得：5x＝10，解得x＝2，
把x＝2代入①，得：6+ y＝8，解得y＝4，
所以原方程组的解为 ．
利用加减消元法解答即可．
【解析】【分析】用加减消元法解二元一次方程组，y的系数互为相反数，先消掉y，可以求出x=2，再求出y。
33.【答案】 （1）解：设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，
，
解得， ，
∴ 与 之间的函数表达式为 ；
（2）解：设该种衬衫售价为x元，根据题意得，
（x-50）(-20x+2600)=24000
解得， ， ，
∵批发商场想尽量给客户实惠，
∴ ，
故这种衬衫定价为每件70元；
（3）解：设售价定为x元，则有：
=
∵
∴
∵k=-20＜0，
∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）.
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元.
【解析】【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少.
34.【答案】 （1）5；8
（2）N
（3）解：记原点为O，
由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，
作AB的中点M，
得AM＝BM＝n，
以点O为圆心，
AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；
（4）解：①在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m＝4a.
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求.
作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，
则点G即为所求.
+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②m＝4a.
【解析】【解答】解：（1）【算一算】：记原点为O，
∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8.
所以点C表示的数为5，AC长等于8.
故答案为：5，8；
（ 2 ）【找一找】：记原点为O，
∵AB＝ +1﹣（ ﹣1）＝2，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB﹣BQ＝ +1﹣1＝ ，
∴N为原点.
故答案为：N.
（ 4 ）【用一用】：②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a.
故答案为：m＝4a.
【分析】（1）根据数轴上点A对应﹣3，点B对应1，求得AB的长，进而根据AB＝BC可求得AC的长以及点C表示的数；（2）可设原点为O，根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点；（3）设AB的中点为M，先求得AB的长度，得到AM＝BM＝n，根据线段垂直平分线的作法作图即可；（4）①根据每分钟进校人数为b，每个通道每分钟进入人数为a，列方程组 ，根据m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可画出F，G点，其中m+2b表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②解①中的方程组，即可得到m＝4a.
35.【答案】 （1）解：设柏树每棵x元，杉树每棵y元
根据题意得：
解得
答：柏树每棵200元，杉树每棵150元；
（2）解：设购买柏树a棵时，购树的总费用为w元，则购买杉树的棵树为 棵
由题意得： ，解得
结合（1）的结论得：
随 的增大而增大
又 为整数
当 时， 取得最小值，最小值为
此时，
即柏树购买54棵，杉树购买26棵时，购树费用最少，最少费用为14700元．
【解析】【分析】（1）设柏树每棵x元，杉树每棵y元，根据两种购买方式建立方程组，然后解方程组即可得；（2）设购买柏树a棵时，购树的总费用为w元，从而可得购买杉树的棵树为 棵，先根据“柏树的棵数不少于杉树的2倍”建立不等式求出a的取值范围，再根据（1）的结论得出w关于a的表达式，然后利用一次函数的性质即可得．
36.【答案】 （1）解：∵ 与 的图像在第一象限内至少有一个交点，
∴令 ，则 ，
∴ ，
∴ ；
∴k的取值范围为： ；
（2）解：由（1）得 ，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ，
解得： ， ，
∴不等式 的解集是： 或 ；
【解析】【分析】（1）根据方程至少有一个交点，得判别式大于或等于0，可得答案；（2）根据韦达定理，可得方程两根的关系，结合 ，即可求出k的值；进而求出点A、B的横坐标，然后根据反比例函数图象在上方的区域，可得不等式的解集．
37.【答案】 （1）解：设甲种型号口罩的产量是 万只，则乙种型号口罩的产量是 万只，
根据题意得：
解得：
则
则甲、乙两种型号口罩的产量分别为 万只和 万只
（2）解：设甲种型号口罩的产量是 万只，则乙种型号口罩的产量是 万只，
根据题意得：
解得: .
设所获利润为 万元，
则
由于 ，所以 随 的增大而增大，
即当 时， 最大，
此时 .
从而安排生产甲种型号的口罩17万只，乙种型号的口罩3万只时，获得最大利润，最大利润为108万元
【解析】【分析】（1）设甲种型号口罩的产量是x万只，则乙种型号口罩的产量是 万只，根据该公司三月份的销售收入为300万元列出一元一次方程，从而可以得到甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；（2）根据题意，可以得到利润和生产甲种产品数量的函数关系式，再根据公司四月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过216万元，可以得到生产甲种产品数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大，并求出最大利润．
38.【答案】 （1）解：当售价为 元/千克时，每月销售量为 千克.
（2）解：设每千克水果售价为x元，由题意，得
即
整理，得
配方，得
解得
当月销售利润为元8750时，每千克水果售价为65元或75元
（3）解：设月销售利润为y元，每千克水果售价为x元，
由题意，得
即
配方，得
，
当 时，y有最大值
当该优质水果每千克售价为70元时，获得的月利润最大．
【解析】【分析】（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；（2）设每千克水果售价为x元，根据题意列方程解答即可；（3）设月销售利润为y元，每千克水果售价为x元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．
39.【答案】 （1）解：设该水果每次降价的百分率为x，
10（1﹣x）2＝8.1，
解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），
答：该水果每次降价的百分率是10%；
（2）解：由题意可得，
y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝﹣3x2+60x+80＝﹣3（x﹣10）2+380，
∵1≤x＜10，
∴当x＝9时，y取得最大值，此时y＝377，
由上可得，y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式是y＝﹣3x2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元．
【解析】【分析】（1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率；（2）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少．
40.【答案】 （1），2，3
（2）证明：∵ ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，
∴ ，∴ ，
∴ = ，
∴x1 ，x2 ， x3可以构成“和谐三数组”；
（3）解：∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数 的图象上，
∴ ， ， ，
∵三点的纵坐标y1 ， y2 ， y3恰好构成“和谐三数组”，
∴ 或 或 ，
即 或 或 ，
解得：m=﹣4或﹣2或2．
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，2，3是“和谐三数组”；
故答案为： ，2，3（答案不唯一）；
【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，然后再求出 ，只要满足 = 即可；（3）先求出三点的纵坐标y1 ， y2 ， y3 ， 然后由“和谐三数组”可得y1 ， y2 ， y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
41.【答案】 （1）解：设原来生产防护服的工人有x人，每小时完成的工作量为 套，
根据原来每天工作8小时，每天能生产防护服800套，
得 ．
根据现在每天工作10小时，每天能生产防护服650套，
得 ．
联立方程，得
∴
得
解得 =20， =5．
经检验x=20，y=5是原方程的解
即原来生产防护服的工人有20人．
（2）解：复工10天，生产 套，剩余 套．
由（1）可知：原来生产防护服的工人有20人，每小时完成的工作量为5套．
由题意知：10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．
则每天生产 套．
需要 天．
【解析】【分析】（1）设原来生产防护服的工人有x人，每小时完成的工作量为 套，根据题意列出方程组，求解即可．（2）求出10天后，还剩余多少防护服没生产，根据（1）求出复工后每天的生产数量，相除即可得出结果．
42.【答案】 （1）解：设20辆货车中，大货车有 辆，则小货车有 辆，则
答：20辆货车中，大货车有12辆，则小货车有 辆.
（2）解：如下表，调往 两地的车辆数如下，
则
由
（3）解：由题意得：
＞ 所以 随 的增大而增大，
当 时， （元）.
【解析】【分析】（1）设20辆货车中，大货车有x辆，则小货车有 辆，列一元一次方程可得答案；（2）先确定调往各地的车辆数，根据题意列出函数关系式即可，根据车辆数不能为负数，得到x的取值范围；（3）先求解 的范围，再利用函数的性质求解运费的最小值.
43.【答案】 （1）第七天的营业额是450×12%=54(万元)，
故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【解析】【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x ， 则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2 ， 根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．
44.【答案】 （1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元，
依题意得：
解得：
答：A型女装的单价是800元，B型女装的单价是1000元；
（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，
根据题意，得m≥2（60-m），
∴m≥40，
设购买A、B两种型号的女装的总费用为w元，
w=800m+1000×0.75×（60-m）=50m+45000，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=40时，w最小=50×40+45000=47000．
答：该专卖店至少需要准备47000元的贷款．
【解析】【分析】（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元．根据“2件A型女装和3件B型女装共需4600元；1件A型女装和2件B型女装共需2800元”列出方程组并解答；（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，依据“A型的件数不少于B型件数的2倍”求得m的取值范围，然后根据购买方案求得需要准备的总费用．
45.【答案】 （1）根据表格中数据发现：
和x的和为10，
∴ =10-x，
且当x=0时， =10，
令 =0，x=10，
∴M（10，0），N（0，10）；
（2）设A（m，10-m），B（n，10-n），
分别过A和B作x轴的垂线，垂足为C和D，
∵点A和点B都在反比例函数图像上，
∴S△AOB=S△AOM -S△OBM
=
=30，
化简得：n-m=6，
联立 ，得： ，
∴m+n=10，mn=k，
∴n-m= =6，
则 ，解得：k=16，
∴反比例函数解析式为： ，
解 得：x=2或8，
∴A（2，8），B（8，2），
∵ 在反比例函数 上，
在一次函数y=10-x上，
∴当0＜a＜2或a＞8时， ＞ ，当2＜a＜8或a＜0时， ＜ ，当a=2或a=8时， = ．
【解析】【分析】（1）根据表格发现x和y1的关系，从而得出解析式，再求出与x轴和y轴交点坐标，即可得到结果；（2）设A（m，10-m），B（n，10-n），利用S△AOB=S△AOM -S△OBM得出n-m=6，再联立一次函数和反比例函数解析式，得到 ，利用根与系数的关系求出k值即可，解方程 得到点A和点B坐标，再根据图像比较 与 的大小.
46.【答案】 （1）设A种商品和B种商品的销售单价分别为x元和y元，
根据题意可得 ，
解得 ，
∴A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．
（2）设购进A商品m件，则购进B商品 件，
根据题意可得： ，
解得： ，
令总利润为w，则 ，
，
∴当 时，获得利润最大，此时 ，
∴A进20件，B进40件时获得利润最大．
【解析】【分析】（1）设A和B的销售单价分别是x和y，根据题意列出二元一次方程组即可求解；（2）设A进货m件，根据题意可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到结果．
47.【答案】 （1）设A，B两种型号货车每辆满载分别能运x，y吨生活物资
依题意，得 解得
∴A，B两种型号货车每辆满载分别能运10吨，6吨生活物资
（2）设还需联系m辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地
依题意，得 .
解得m 5.4
又m为整数，∴m最小取6
∴至少还需联系6辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
【解析】【分析】（1）设A，B两种型号货车每辆满载分别能运x，y吨生活物资，根据条件建立方程组求出其解即可；（2）设还需联系m辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据题中的不等关系列出不等式解答即可．
48.【答案】 （1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元
由题意得： ，解得
答：A型风扇、B型风扇进货的单价各是10元和16元；
（2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台
有题意得 ，解得：
∴a可以取72、73、74、75
∴小丹4种进货方案分别是：①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24台．
【解析】【分析】（1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元，再根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元”和“ 3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”两个等量关系列二元一次方程组解答即可；（2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台，再根据 “购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”和“A型风扇不超过B型风扇数量的3倍”两个不等关系列不等式组求出a的整数解的个数即可．
五、解答题
49.【答案】 解：设该电饭煲的进价为 元
根据题意，得
解，得 ．
答；该电饭煲的进价为 元
【解析】【分析】根据满 元立减 元可知，打八折后的总价减去128元是实际付款数额，即可列出等式．
50.【答案】 解：令 ，则原方程组可化为：
，整理得： ，
②-①得： ，
解得： ，代入②可得：b=4，
∴方程组的解为： 或 ，
，
当a=5时， =6，
当a=-5时， =26，
因此 的值为6或26.
【解析】【分析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有 和 ，因此可以令 ，列出方程组，从而求出a，b的值，再求出 的值.
2020年全国数学中考试题精选50题（4）——方程的解法和应用
一、单选题
1.（2020·朝阳）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于 ，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（ ）
A. 8 B. 6 C. 7 D. 9
2.（2020·雅安）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，那么 的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. 且 D.
3.（2020·绵阳）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（ ）
A. 160钱 B. 155钱 C. 150钱 D. 145钱
4.（2020·东营）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ）
A. 96里 B. 48里 C. 24里 D. 12里
5.（2020·滨州）对于任意实数k，关于x的方程 的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判定
6.（2020·南县）同时满足二元一次方程 和 的x，y的值为（ ）
A. B. C. D.
7.（2020·内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则正确的方程是（ ）
A. B. C. D.
8.（2020·呼和浩特）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（ ）
A. 102里 B. 126里 C. 192里 D. 198里
9.（2020·呼和浩特）已知二次函数 ，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程 的两根之积为（ ）
A. 0 B. C. D.
10.（2020·包头）下列命题正确的是（ ）
A. 若分式 的值为0，则x的值为±2．
B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小．
C. 若 ，则 ．
D. 若 ，则一元二次方程 有实数根．
二、填空题
11.（2020·丹东）关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围是________.
12.（2020·朝阳）已知关于x、y的方程 的解满足 ，则a的值为________.
13.（2020·泰州）方程 的两根为 、 则 的值为________.
14.（2020·雅安）若 ，则 ________．
15.（2020·眉山）设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为________．
16.（2020·淄博）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
17.（2020·威海）一元二次方程 的解为________．
18.（2020·东营）如果关于 的一元二次方程 有实数根，那么m的取值范围是________．
19.（2020·呼伦贝尔）已知关于 的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是________．
20.（2020·吉林）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？
设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为________．
21.（2020·永州）方程组 的解是________．
22.（2020·长春）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．若抛物线 （h、k为常数）与线段 交于C、D两点，且 ，则k的值为________．
23.（2020·南通） 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为________.
24.（2020·南通）若x1 ， x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于________.
25.（2020·宜宾）一元二次方程 的两根为 ，则 ________
26.（2020·内江）已知关于x的一元二次方程 有一实数根为 ，则该方程的另一个实数根为________
27.（2020·上海）如果关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是________．
28.（2020·山西）如图是一张长 ，宽 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积 是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为________ ．
29.（2020·通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了________个人．
30.（2020·邵阳）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为________．
三、计算题
31.（2020·凉山州）解方程：
32.（2020·淄博）解方程组：
33.（2020·丹东）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 （件）与每件的售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 （元/件）
60
65
70
销售量 （件）
1400
1300
1200
（1）求出 与 之间的函数表达式；（不需要求自变量 的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为 （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
34.（2020·镇江）
（1）（算一算）
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为________，AC长等于________；
（2）（找一找）
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数 ﹣1、 +1，Q是AB的中点，则点________是这个数轴的原点；
（3）（画一画）
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（4）（用一用）
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生.凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口.如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校.在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示.
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；
②写出a、m的数量关系.
35.（2020·眉山）“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元．
（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；
（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共 棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
36.（2020·凉山州）如图，已知直线
（1）当反比例函数 的图象与直线 在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围
（2）若反比例函数 的图象与直线 在第一象限内相交于点 、 ，当 时，求k的值并根据图象写出此时关的不等式 的解集
37.（2020·东营）2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共 万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：
型号
价格(元/只)
项目
甲
乙
成本
12
4
售价
18
6
（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
（2）如果公司四月份投入成本不超过 万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
38.（2020·滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
39.（2020·鄂尔多斯）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该水果每次降价的百分率；
（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：
时间（天）
x
销量（斤）
120﹣x
储藏和损耗费用（元）
3x2﹣64x+400
已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？
40.（2020·赤峰）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x ， y ， z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x ， y ， z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为 ， ，则有 ， ．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数________；
（2）若 ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a ， b ， c均不为0)的两根， 是关于x的方程bx+c=0(b ， c均不为0)的解．求证：x1 ，x2 ， x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A(m ， y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
41.（2020·南县）“你怎么样，中国便是怎么样：你若光明，中国便不黑暗”。2019年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城。针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有 人不能到厂生产，为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．
（1）求原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？
42.（2020·云南）众志成城抗疫情，全国人民在行动.某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情.每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资.已知这两种货车的运费如下表：
目的地
车型
A地（元/辆）
B地（元/辆）
大货车
900
1000
小货车
500
700
现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元.
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）求 与 的函数解析式，并直接写出 的取值范围；
（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值.
43.（2020·上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天
的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
44.（2020·通辽）某服装专卖店计划购进 两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．
（1）求 型服装的单价；
（2）专卖店要购进 两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？
45.（2020·呼和浩特）已知自变量x与因变量 的对应关系如下表呈现的规律．
x
…
0
1
2
…
…
12
11
10
9
8
…
（1）直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；
（2）设反比列函数 的图象与（1）求得的函数的图象交于A，B两点，O为坐标原点且 ，求反比例函数解析式；已知 ，点 与 分别在反比例函数与（1）求得的函
数的图象上，直接写出 与 的大小关系．
46.（2020·包头）某商店销售 两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．
（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？
（2）该商店计划购进 两种商品共60件，且 两种商品的进价总额不超过7800元，已知A种商
品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？
47.（2020·长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区，具体运算情况如下：
第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
1
2
B型货车的辆数（单位：辆）
3
5
累计运送货物的顿数（单位：吨）
28
50
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（1）求A，B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资；
（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需联系多少辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
48.（2020·邵阳）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
49.（2020·山西）年 月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满 元立减 元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高 后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金 元．求该电饭煲的进价．
50.（2020·呼和浩特）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程 ，就可以利用该思维方式，设 ，将原方程转化为： 这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足 ，求 的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】设可以打x折出售此商品，
由题意得：240 ，
解得x 6，
故答案为：B
【分析】根据售价-进价=利润，利润=进价 利润率可得不等式，解之即可.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，
∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤ 且k≠0，
故答案为：C．
【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，
依题意，得： ，
解得： ．
故答案为：C．
【分析】设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：设第一天的路程为 里
∴
解得
∴第三天的路程为
故答案选B
【分析】根据题意可设第一天所走的路程为 ，用含 的式子分别把这六天的路程表示出来，相加等于总路程378，解此方程即可．
5.【答案】 B
【解析】【解答】解： ，
，
不论k为何值， ，
即 ，
所以方程没有实数根，
故答案为：B．
【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：有题意得：
由①得x=9+y③
将③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5
则x=9+（-5）=4
所以x=4，y=-5．
故答案为：A．
【分析】联立 和 解二元一次方程组即可．
7.【答案】 A
【解析】【解答】设索为 尺，杆子为( )尺，
根据题意得： ( ) ．
故答案为：A．
【分析】设索为 尺，杆子为( )尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于 一元一次方程．
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，
依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x=378，
解得：x=6．
32x=192，
6+192=198，
答：此人第一和第六这两天共走了198里，
故答案为：D.
【分析】设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵二次函数 ，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，
则 ，
解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程 为 ，
则两根之积为 ，
故答案为：D.
【分析】根据题意可得二次函数图像的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果.
10.【答案】 D
【解析】【解答】A.当x=2时，分式无意义，故A选项不符合题意；
B.1的算数平方根还是1，不符合“一个正数的算术平方根一定比这个数小”，故B选项不符合题意；
C.可以假设b=2，a=1，满足 ，代入式子中，通过计算发现与结论不符，故C选项不符合题意；
D. ，当 时， ，一元二次方程有实数根，故D选项符合题意．
故本题选择D．
【分析】A选项：当x=2时，分式无意义；B选项：1的算数平方根还是1；C选项：可以让b=2，a=1，代入式子中即可做出判断；根据根的判别式可得到结论．
二、填空题
11.【答案】 且m≠1
【解析】【解答】解：由题意得：这个方程是一元二次方程
解得
又 关于 的方程 有两个实数根
此方程的根的判别式
解得
综上，m的取值范围是 且
故答案为： 且 .
【分析】利用一元二次方程的定义可知m+1≠0，利用一元二次方程根的判别式b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，解不等式可得m的取值范围。
12.【答案】 5
【解析】【解答】解： ，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵ ，
∴2-a=-3，
∴a=5.
故答案为：5.
【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可.
13.【答案】 -3
【解析】【解答】解：∵方程 的两根为x1、x2 ，
∴x1·x2= =-3，
故答案为：-3.
【分析】直接根据韦达定理x1·x2= 可得.
14.【答案】 6
【解析】【解答】解：
∴ 或
又∵ ，
∴
【分析】将 看作一个整体，然后采用十字相乘法进行因式分解，可解出答案.
15.【答案】
【解析】【解答】解：由方程 可知
，
．
故答案为：
【分析】由韦达定理可分别求出 与 的值，再化简要求的式子，代入即可得解．
16.【答案】 m＜
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，解得m＜ ，
故答案为m＜ ．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
17.【答案】 x= 或x=2
【解析】【解答】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x= ,
故答案为:x= 或x=2．
【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可．
18.【答案】 m≤9
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程 有实数根，
故答案为：
【分析】由一元二次方程根与系数的关键可得： 从而列不等式可得答案．
19.【答案】 m≤5且m≠4
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴△= ≥0且 ≠0，
解得：m≤5且m≠4，
故答案为：m≤5且m≠4．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△≥0且二次项系数≠0，然后求出两不等式的公共部分即可．
20.【答案】 （240-150）x=150×12
【解析】【解答】解：题中已设快马x天可以追上慢马，
则根据题意得：（240-150）x=150×12．
故答案为：（240-150）x=150×12．
【分析】根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程．
21.【答案】
【解析】【解答】
由①+②得：3x=6，
解得x=2，
把x=2代入①中得，y=2，
所以方程组的解为 ．
故答案为： ．
【分析】直接利用加减消元法求解．
22.【答案】
【解析】【解答】解：∵抛物线与线段AB交于C、D两点，且点A的坐标为（0,2），点B的坐标为（4，2）
∴点C和点D的纵坐标为2
当y=2时，抛物线的解析式为2=（x-h）2+k
解得，x=±+h
即x1=+h，x2=-+h
∴CD=x1-x2=2=AB=2
∴k=
【分析】结合抛物线的交点以及点A和点B的坐标，即可得到C，D两个点的纵坐标，将抛物线的解析式进行运算，利用求根公式得到两个根，根据两个根之间的距离公式即可得到k的值。
23.【答案】 x（x﹣12）＝864
【解析】【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步.
依题意，得：x（x﹣12）＝864.
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
24.【答案】 2028
【解析】【解答】解：∵x1 ， x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028.
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，将代数式变形为x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2），然后整体代入计算可得.
25.【答案】
【解析】【解答】∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
= ，
= ．
故答案为 ．
【分析】根据根与系数的关系表示出 和 即可；
26.【答案】
【解析】【解答】解：把x=-1代入 得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，
∵(m-1)2≠0，
∴m 1．
∴m=4.
∴方程为9x2+12x+3=0.
设另一个根为a,则-a= .
∴a=- .
故答案为:- ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m的一元二次方程，解得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
27.【答案】 4．
【解析】【解答】依题意:
∵方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4m=0，
解得：m=4．
故答案为：4．
【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2-4ac=0，即可求m值．
28.【答案】
【解析】【解答】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,
由题意得: ,
解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24,
整理得:2x2－11x+18=0．
解得x=2或x=9(舍去)．
故答案为2．
【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可．
29.【答案】 12
【解析】【解答】解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x=169
解得：x=12或x=-14（舍去）．
∴平均一人传染12人．
故答案为：12．
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解
30.【答案】 x(x+12)=864
【解析】【解答】因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12，
故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，
故答案：x(x+12)=864．
【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．
三、计算题
31.【答案】 解：
【解析】【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．
32.【答案】 解： ，
①+②，得：5x＝10，解得x＝2，
把x＝2代入①，得：6+ y＝8，解得y＝4，
所以原方程组的解为 ．
利用加减消元法解答即可．
【解析】【分析】用加减消元法解二元一次方程组，y的系数互为相反数，先消掉y，可以求出x=2，再求出y。
33.【答案】 （1）解：设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，
，
解得， ，
∴ 与 之间的函数表达式为 ；
（2）解：设该种衬衫售价为x元，根据题意得，
（x-50）(-20x+2600)=24000
解得， ， ，
∵批发商场想尽量给客户实惠，
∴ ，
故这种衬衫定价为每件70元；
（3）解：设售价定为x元，则有：
=
∵
∴
∵k=-20＜0，
∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）.
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元.
【解析】【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少.
34.【答案】 （1）5；8
（2）N
（3）解：记原点为O，
由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，
作AB的中点M，
得AM＝BM＝n，
以点O为圆心，
AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；
（4）解：①在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m＝4a.
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求.
作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，
则点G即为所求.
+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②m＝4a.
【解析】【解答】解：（1）【算一算】：记原点为O，
∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8.
所以点C表示的数为5，AC长等于8.
故答案为：5，8；
（ 2 ）【找一找】：记原点为O，
∵AB＝ +1﹣（ ﹣1）＝2，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB﹣BQ＝ +1﹣1＝ ，
∴N为原点.
故答案为：N.
（ 4 ）【用一用】：②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a.
故答案为：m＝4a.
【分析】（1）根据数轴上点A对应﹣3，点B对应1，求得AB的长，进而根据AB＝BC可求得AC的长以及点C表示的数；（2）可设原点为O，根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点；（3）设AB的中点为M，先求得AB的长度，得到AM＝BM＝n，根据线段垂直平分线的作法作图即可；（4）①根据每分钟进校人数为b，每个通道每分钟进入人数为a，列方程组 ，根据m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可画出F，G点，其中m+2b表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②解①中的方程组，即可得到m＝4a.
35.【答案】 （1）解：设柏树每棵x元，杉树每棵y元
根据题意得：
解得
答：柏树每棵200元，杉树每棵150元；
（2）解：设购买柏树a棵时，购树的总费用为w元，则购买杉树的棵树为 棵
由题意得： ，解得
结合（1）的结论得：
随 的增大而增大
又 为整数
当 时， 取得最小值，最小值为
此时，
即柏树购买54棵，杉树购买26棵时，购树费用最少，最少费用为14700元．
【解析】【分析】（1）设柏树每棵x元，杉树每棵y元，根据两种购买方式建立方程组，然后解方程组即可得；（2）设购买柏树a棵时，购树的总费用为w元，从而可得购买杉树的棵树为 棵，先根据“柏树的棵数不少于杉树的2倍”建立不等式求出a的取值范围，再根据（1）的结论得出w关于a的表达式，然后利用一次函数的性质即可得．
36.【答案】 （1）解：∵ 与 的图像在第一象限内至少有一个交点，
∴令 ，则 ，
∴ ，
∴ ；
∴k的取值范围为： ；
（2）解：由（1）得 ，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ，
解得： ， ，
∴不等式 的解集是： 或 ；
【解析】【分析】（1）根据方程至少有一个交点，得判别式大于或等于0，可得答案；（2）根据韦达定理，可得方程两根的关系，结合 ，即可求出k的值；进而求出点A、B的横坐标，然后根据反比例函数图象在上方的区域，可得不等式的解集．
37.【答案】 （1）解：设甲种型号口罩的产量是 万只，则乙种型号口罩的产量是 万只，
根据题意得：
解得：
则
则甲、乙两种型号口罩的产量分别为 万只和 万只
（2）解：设甲种型号口罩的产量是 万只，则乙种型号口罩的产量是 万只，
根据题意得：
解得: .
设所获利润为 万元，
则
由于 ，所以 随 的增大而增大，
即当 时， 最大，
此时 .
从而安排生产甲种型号的口罩17万只，乙种型号的口罩3万只时，获得最大利润，最大利润为108万元
【解析】【分析】（1）设甲种型号口罩的产量是x万只，则乙种型号口罩的产量是 万只，根据该公司三月份的销售收入为300万元列出一元一次方程，从而可以得到甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；（2）根据题意，可以得到利润和生产甲种产品数量的函数关系式，再根据公司四月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过216万元，可以得到生产甲种产品数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大，并求出最大利润．
38.【答案】 （1）解：当售价为 元/千克时，每月销售量为 千克.
（2）解：设每千克水果售价为x元，由题意，得
即
整理，得
配方，得
解得
当月销售利润为元8750时，每千克水果售价为65元或75元
（3）解：设月销售利润为y元，每千克水果售价为x元，
由题意，得
即
配方，得
，
当 时，y有最大值
当该优质水果每千克售价为70元时，获得的月利润最大．
【解析】【分析】（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；（2）设每千克水果售价为x元，根据题意列方程解答即可；（3）设月销售利润为y元，每千克水果售价为x元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．
39.【答案】 （1）解：设该水果每次降价的百分率为x，
10（1﹣x）2＝8.1，
解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），
答：该水果每次降价的百分率是10%；
（2）解：由题意可得，
y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝﹣3x2+60x+80＝﹣3（x﹣10）2+380，
∵1≤x＜10，
∴当x＝9时，y取得最大值，此时y＝377，
由上可得，y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式是y＝﹣3x2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元．
【解析】【分析】（1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率；（2）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少．
40.【答案】 （1），2，3
（2）证明：∵ ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，
∴ ，∴ ，
∴ = ，
∴x1 ，x2 ， x3可以构成“和谐三数组”；
（3）解：∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数 的图象上，
∴ ， ， ，
∵三点的纵坐标y1 ， y2 ， y3恰好构成“和谐三数组”，
∴ 或 或 ，
即 或 或 ，
解得：m=﹣4或﹣2或2．
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，2，3是“和谐三数组”；
故答案为： ，2，3（答案不唯一）；
【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，然后再求出 ，只要满足 = 即可；（3）先求出三点的纵坐标y1 ， y2 ， y3 ， 然后由“和谐三数组”可得y1 ， y2 ， y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
41.【答案】 （1）解：设原来生产防护服的工人有x人，每小时完成的工作量为 套，
根据原来每天工作8小时，每天能生产防护服800套，
得 ．
根据现在每天工作10小时，每天能生产防护服650套，
得 ．
联立方程，得
∴
得
解得 =20， =5．
经检验x=20，y=5是原方程的解
即原来生产防护服的工人有20人．
（2）解：复工10天，生产 套，剩余 套．
由（1）可知：原来生产防护服的工人有20人，每小时完成的工作量为5套．
由题意知：10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．
则每天生产 套．
需要 天．
【解析】【分析】（1）设原来生产防护服的工人有x人，每小时完成的工作量为 套，根据题意列出方程组，求解即可．（2）求出10天后，还剩余多少防护服没生产，根据（1）求出复工后每天的生产数量，相除即可得出结果．
42.【答案】 （1）解：设20辆货车中，大货车有 辆，则小货车有 辆，则
答：20辆货车中，大货车有12辆，则小货车有 辆.
（2）解：如下表，调往 两地的车辆数如下，
则
由
（3）解：由题意得：
＞ 所以 随 的增大而增大，
当 时， （元）.
【解析】【分析】（1）设20辆货车中，大货车有x辆，则小货车有 辆，列一元一次方程可得答案；（2）先确定调往各地的车辆数，根据题意列出函数关系式即可，根据车辆数不能为负数，得到x的取值范围；（3）先求解 的范围，再利用函数的性质求解运费的最小值.
43.【答案】 （1）第七天的营业额是450×12%=54(万元)，
故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【解析】【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x ， 则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2 ， 根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．
44.【答案】 （1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元，
依题意得：
解得：
答：A型女装的单价是800元，B型女装的单价是1000元；
（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，
根据题意，得m≥2（60-m），
∴m≥40，
设购买A、B两种型号的女装的总费用为w元，
w=800m+1000×0.75×（60-m）=50m+45000，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=40时，w最小=50×40+45000=47000．
答：该专卖店至少需要准备47000元的贷款．
【解析】【分析】（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元．根据“2件A型女装和3件B型女装共需4600元；1件A型女装和2件B型女装共需2800元”列出方程组并解答；（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，依据“A型的件数不少于B型件数的2倍”求得m的取值范围，然后根据购买方案求得需要准备的总费用．
45.【答案】 （1）根据表格中数据发现：
和x的和为10，
∴ =10-x，
且当x=0时， =10，
令 =0，x=10，
∴M（10，0），N（0，10）；
（2）设A（m，10-m），B（n，10-n），
分别过A和B作x轴的垂线，垂足为C和D，
∵点A和点B都在反比例函数图像上，
∴S△AOB=S△AOM -S△OBM
=
=30，
化简得：n-m=6，
联立 ，得： ，
∴m+n=10，mn=k，
∴n-m= =6，
则 ，解得：k=16，
∴反比例函数解析式为： ，
解 得：x=2或8，
∴A（2，8），B（8，2），
∵ 在反比例函数 上，
在一次函数y=10-x上，
∴当0＜a＜2或a＞8时， ＞ ，当2＜a＜8或a＜0时， ＜ ，当a=2或a=8时， = ．
【解析】【分析】（1）根据表格发现x和y1的关系，从而得出解析式，再求出与x轴和y轴交点坐标，即可得到结果；（2）设A（m，10-m），B（n，10-n），利用S△AOB=S△AOM -S△OBM得出n-m=6，再联立一次函数和反比例函数解析式，得到 ，利用根与系数的关系求出k值即可，解方程 得到点A和点B坐标，再根据图像比较 与 的大小.
46.【答案】 （1）设A种商品和B种商品的销售单价分别为x元和y元，
根据题意可得 ，
解得 ，
∴A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．
（2）设购进A商品m件，则购进B商品 件，
根据题意可得： ，
解得： ，
令总利润为w，则 ，
，
∴当 时，获得利润最大，此时 ，
∴A进20件，B进40件时获得利润最大．
【解析】【分析】（1）设A和B的销售单价分别是x和y，根据题意列出二元一次方程组即可求解；（2）设A进货m件，根据题意可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到结果．
47.【答案】 （1）设A，B两种型号货车每辆满载分别能运x，y吨生活物资
依题意，得 解得
∴A，B两种型号货车每辆满载分别能运10吨，6吨生活物资
（2）设还需联系m辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地
依题意，得 .
解得m 5.4
又m为整数，∴m最小取6
∴至少还需联系6辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
【解析】【分析】（1）设A，B两种型号货车每辆满载分别能运x，y吨生活物资，根据条件建立方程组求出其解即可；（2）设还需联系m辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据题中的不等关系列出不等式解答即可．
48.【答案】 （1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元
由题意得： ，解得
答：A型风扇、B型风扇进货的单价各是10元和16元；
（2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台
有题意得 ，解得：
∴a可以取72、73、74、75
∴小丹4种进货方案分别是：①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24台．
【解析】【分析】（1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元，再根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元”和“ 3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”两个等量关系列二元一次方程组解答即可；（2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台，再根据 “购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”和“A型风扇不超过B型风扇数量的3倍”两个不等关系列不等式组求出a的整数解的个数即可．
五、解答题
49.【答案】 解：设该电饭煲的进价为 元
根据题意，得
解，得 ．
答；该电饭煲的进价为 元
【解析】【分析】根据满 元立减 元可知，打八折后的总价减去128元是实际付款数额，即可列出等式．
50.【答案】 解：令 ，则原方程组可化为：
，整理得： ，
②-①得： ，
解得： ，代入②可得：b=4，
∴方程组的解为： 或 ，
，
当a=5时， =6，
当a=-5时， =26，
因此 的值为6或26.
【解析】【分析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有 和 ，因此可以令 ，列出方程组，从而求出a，b的值，再求出 的值.
