北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值优秀ppt课件

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值优秀ppt课件，共31页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，函数的最值1定义，fx≤M，fx≥M，探究一，探究二，探究三，素养形成，当堂检测等内容，欢迎下载使用。

某超市销售一种饮料,每瓶进价为9元,经市场调查表明,当售价在10元到14元之间(包含10元,14元)浮动时,每瓶饮料售价每增加0.5元,日均销售量减少40瓶;当售价为每瓶12元时,日均销售量为400瓶.那么当销售价格定为每瓶多少元时,所得日均毛利润最大?最大日均毛利润是多少元?同学们,你能帮助超市完成定价吗?
微思考若函数y=f(x)是定义在区间[a,b]上的增(或减)函数,这个函数有最值吗?如果是区间(a,b)呢?
提示:若y=f(x)是定义在区间[a,b]上是增函数,则其最小值为f(a),最大值为f(b);若为减函数,最大值为f(a),最小值为f(b).若为区间(a,b),则没有最值,但可以说值域为(f(a),f(b))(或f(b),f(a)).
2.函数的最大值和最小值统称为最值.名师点析函数的最值和值域的联系与区别1.联系:函数的最值和值域反映的都是函数的基本性质,针对的是整个定义域.2.区别:(1)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;(2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素;(3)若函数的值域是开区间(两端点都取不到),则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值.
微练习已知函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是(　　)A.f(-2),0　　　B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),2
答案:C　解析:由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.
利用函数的图象求最值例1已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.分析去绝对值→分段函数→作图→识图→结论
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2].
(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.
解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.
利用函数的单调性求最值
(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.分析(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论;(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.
∵x10,1f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+ =4;f(x)的最大值为f(1),f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.
反思感悟函数的最值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),在区间(b,c]上单调递减(或单调递增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.
延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.
解:任取x1,x2∈[1,3],且x1f(x)在区间[1,2]上单调递减;当20,40,∴f(x1)与最值有关的应用问题例3某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?分析读题→提取信息→建模→解模→解决实际问题
所以当x=4 050,即每辆车的租金为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307 050元.
反思感悟1.本题建立的是二次函数模型,应利用配方法求函数的最值.2.解函数应用题的一般程序是:(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.(4)还原.将用数学方法得到的还原为实际问题的结论.(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.
变式训练2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函
(1)将利润表示为月产量的函数f(x);(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)
当x>400时,f(x)=60 000-100x单调递减,f(x)<60 000-100×400<25 000.∴当x=300时,f(x)max=25 000.即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25 000元.
利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值典例求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.【审题视角】可变对称轴x=a→与定区间[0,2]的 相对位置关系→结合单调性与图象求解解:y=(x-a)2-1-a2.当a<0时,函数在[0,2]上单调递增,如图①.故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a.
当12时,函数在区间[0,2]上单调递减,如图④.函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;当12时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.
方法点睛1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的图象,再根据函数的单调性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.
2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:
变式训练函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.
解:由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为x=1.下面分三种情况讨论:当t+1≤1,即t≤0时,如图①所示,此时函数f(x)在[t,t+1]上单调递减,
②所示,此时,函数f(x)在[t,1]上单调递减,在(1,t+1]上单调递增,∴g(t)=f(1)=1.当t≥1时,如图③所示,此时,函数f(x)在[t,t+1]上单调递增.∴g(t)=f(t)=t2-2t+2.
2.函数y=|x+1|+2的最小值是(　　)A.0B.-1C.2D.3
答案:C　解析:y=|x+1|+2的图象如图所示.
由图可知函数的最小值为2.
3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为(　　)A.[0,3] B.[-1,0]C.[-1,+∞)D.[-1,3]
答案:D　解析:∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值为-1;当x=3时,函数取得最大值为3.故函数的值域为[-1,3],故选D.
答案:11　解析:当x∈[1,2]时,f(x)为增函数,其最大值为f(2)=10;当x∈[-4,1]时,f(x)为减函数,其最大值为f(-4)=11.故函数f(x)的最大值为11.