苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试优秀学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试优秀学案，共10页。




[巩固层·知识整合]





[提升层·题型探究]


【例1】 (1)已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cs α的值是________．


(2)函数y＝eq \r(sin x)＋eq \r(2cs x－1)的定义域是________．


[思路点拨] (1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负．


(2)利用三角函数线求解．


(1)eq \f(2,5)或－eq \f(2,5) (2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))


[(1)r＝|OP|＝eq \r(－4m2＋3m2)＝5|m|．


当m>0时，sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(3m,5m)＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－4m,5m)＝－eq \f(4,5)，∴2sin α＋cs α＝eq \f(2,5)．


当m<0时，sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(3m,－5m)＝－eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－4m,－5m)＝eq \f(4,5)，∴2sin α＋cs α＝－eq \f(2,5)．


故2sin α＋cs α的值是eq \f(2,5)或－eq \f(2,5)．


(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x≥0，,2cs x－1≥0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x≥0，,cs x≥\f(1,2)，))


如图，结合三角函数线知：





eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2kπ＋πk∈Z，,2kπ－\f(π,3)≤x≤2kπ＋\f(π,3)k∈Z，))


解得2kπ≤x≤2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，


∴函数的定义域为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))．]





三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：


1任意角和弧度制.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.


2任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.





eq \([跟进训练])


1．(1)已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α的终边经过点P(－eq \r(3)，y)，且sin α＝eq \f(\r(3),4)y(y≠0)，判断角α所在的象限，并求cs α和tan α的值；


(2)若角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋eq \f(3,cs α)的值．


[解] (1)依题意，点P到原点O的距离为|PO|＝eq \r(－\r(3)2＋y2)，∴sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(y,\r(3＋y2))＝eq \f(\r(3),4)y．


∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝eq \f(7,3)，


∴y＝±eq \f(\r(21),3)．


∴点P在第二或第三象限．


当点P在第二象限时，y＝eq \f(\r(21),3)，cs α＝eq \f(x,r)＝－eq \f(3,4)，tan α＝－eq \f(\r(7),3)．


当点P在第三象限时，y＝－eq \f(\r(21),3)，cs α＝eq \f(x,r)＝－eq \f(3,4)，


tan α＝eq \f(\r(7),3)．


(2)设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，


则r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(k2＋－3k2)＝eq \r(10)|k|．


当k>0时，r＝eq \r(10)k．


∴sin α＝eq \f(－3k,\r(10)k)＝－eq \f(3,\r(10))，eq \f(1,cs α)＝eq \f(\r(10)k,k)＝eq \r(10)．


∴10sin α＋eq \f(3,cs α)＝－3eq \r(10)＋3eq \r(10)＝0．


当k<0时，r＝－eq \r(10)k．


∴sin α＝eq \f(－3k,－\r(10)k)＝eq \f(3,\r(10))，eq \f(1,cs α)＝eq \f(－\r(10)k,k)＝－eq \r(10)．


∴10sin α＋eq \f(3,cs α)＝3eq \r(10)－3eq \r(10)＝0．


综上，10sin α＋eq \f(3,cs α)＝0．





【例2】 已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cs θ，θ∈(0,2π)．求：


(1)eq \f(cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＋cs－π－θ)＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)),1＋tanπ－θ)；


(2)m的值；


(3)方程的两根及此时θ的值．


[思路点拨] 先利用根与系数的关系得到sin θ＋cs θ与sin θcs θ，再利用诱导公式和三角函数的基本关系式求解．


[解] 由根与系数的关系，得


sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，sin θcs θ＝eq \f(m,2)．


(1)原式＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－\f(sin θ,cs θ))＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)－eq \f(cs2θ,sin θ－cs θ)＝sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)．


(2)由sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，两边平方可得1＋2sin θcs θ＝eq \f(4＋2\r(3),4)，把sin θcs θ＝eq \f(m,2)代入得1＋2×eq \f(m,2)＝1＋eq \f(\r(3),2)，∴m＝eq \f(\r(3),2)．


(3)由m＝eq \f(\r(3),2)可解方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋eq \f(\r(3),2)＝0，


得两根为eq \f(1,2)和eq \f(\r(3),2)．∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2)，,cs θ＝\f(\r(3),2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cs θ＝\f(1,2).))


∵θ∈(0,2π)，


∴θ＝eq \f(π,6)或eq \f(π,3)．





同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明.常用以下方法技巧：1化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形.2化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形.3“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式.








eq \([跟进训练])


2．已知f(α)＝eq \f(sin2π－α·cs2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π)．


(1)化简f(α)；


(2)若f(α)＝eq \f(1,8)，且eq \f(π,4)<α

(3)若α＝－eq \f(47π,4)，求f(α)的值．


[解] (1)f(α)＝eq \f(sin2α·cs α·tan α,－sin α－tan α)＝sin α·cs α．


(2)由f(α)＝sin α·cs α＝eq \f(1,8)可知，(cs α－sin α)2＝cs2α－2sin α·cs α＋sin2α


＝1－2sin α·cs α＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)．


又∵eq \f(π,4)<α

即cs α－sin α<0，∴cs α－sin α＝－eq \f(\r(3),2)．


(3)∵α＝－eq \f(47π,4)＝－6×2π＋eq \f(π,4)，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47π,4)))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(π,4)))


＝cs eq \f(π,4)·sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2)．





【例3】 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，A>0，0<φ<\f(π,2)))的周期为π，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(3)＋1，且f(x)的最大值为3．


(1)写出f(x)的表达式；


(2)写出函数f(x)的对称中心、对称轴方程及单调区间；


(3)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．


[思路点拨] (1)由T＝eq \f(2π,ω)求ω，由f(x)的最大值为3求A，由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(3)＋1，求φ．


(2)把ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sin x的单调区间与对称性求解．


(3)由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))求出ωx＋φ的范围，利用单调性求最值．


[解] (1)∵T＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝2．


∵f(x)的最大值为3，∴A＝2．


∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1．


∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(3)＋1，


∴2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＋1＝eq \r(3)＋1，


∴cs φ＝eq \f(\r(3),2)．


∵0<φ

∴φ＝eq \f(π,6)．


∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋1．


(2)由f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋1，


令2x＋eq \f(π,6)＝kπ，得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)(k∈Z)，


∴对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，1))(k∈Z)．


由2x＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)，


∴对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)．


由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，


∴f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．


由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，得kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，


∴f(x)的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)．


(3)当0≤x≤eq \f(π,2)时，eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)，


∴－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))≤1，


∴f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值为3，最小值为0．





三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.具体要求：


1用“五点法”作y＝Asinωx＋φ的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π.


2对于y＝Asinωx＋φ的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.


3已知函数图象求函数y＝Asinωx＋φA＞0，ω＞0的解析式时，常用的解题方法是待定系数法.





eq \([跟进训练])


3．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))


(1)求函数f(x)的单调递增区间；


(2)将y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(13π,4)))上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围．


[解] (1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))．令2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z．所以函数f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))，k∈Z．


(2)将f(x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得g1(x)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)＝cs x的图象．作函数g(x)＝cs x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(13π,4)))上的图象，作直线y＝a．根据图象知，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0))．











【例4】 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))在一个周期内的简图如图所示，求函数g(x)＝f(x)－lg x根的个数．





[思路点拨] eq \x(识图)→eq \x(求A，ω，φ)→


eq \x(画出fx及y＝lg x的图象)→eq \x(下结论)


[解] 显然A＝2．


由图象过(0,1)点，则f(0)＝1，即sin φ＝eq \f(1,2)，


又|φ|＜eq \f(π,2)，则φ＝eq \f(π,6)．


又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,12)，0))是图象上的点，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,12)))＝0，


即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,12)ω＋\f(π,6)))＝0，由图象可知，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,12)，0))是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点．


∴eq \f(11π,12)ω＋eq \f(π,6)＝2π，∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))．


在同一坐标系中作函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))和函数y＝lg x的示意图如图所示：





∵f(x)的最大值为2，令lg x＝2，得x＝100，令eq \f(11,12)π＋kπ＜100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)，而eq \f(11,12)π＋31π＞100，∴在区间(0,100]内有31个形如eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11,12)π＋kπ，\f(17,12)π＋kπ))(k∈Z,0≤k≤30)的区间，在每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都有2个交点，故这两个函数图象在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11π,12)，100))上有2×31＝62个交点，另外在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(11,12)π))上还有1个交点，


∴方程f(x)－lg x＝0共有实根63个，


∴函数g(x)＝f(x)－lg x共有63个实根．





数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中.


本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法.





eq \([跟进训练])


4．在(0,2π)内使sin x>|cs x|成立的x的取值范围是( )


A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))


C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))


A [sin x>|cs x|，∴sin x>0，∴x∈(0，π)．在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cs x|，x∈(0，π)的图象，如图．





观察图象易得使sin x>|cs x|成立的x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，故选A．]


任意角的三角函数概念
同角三角函数的基本关系与诱导公式
三角函数的图象与性质
数形结合思想