苏教版 (2019)必修 第一册6.3 对数函数精品第1课时导学案

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6.3 对数函数


第1课时 对数函数的概念、图象与性质








某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……经过多少次分裂，大约可以得到1万个细胞？10万个细胞？……你能求出分裂次数y随着细胞个数x变化的函数关系么？





1．对数函数的概念


一般地，函数y＝lgax(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．


2．对数函数的图象与性质








3．反函数


(1)对数函数y＝lgax(a>0，a≠1)和指数函数y＝ax(a>0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．


(2)一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．


(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．


(4)原函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；原函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)对数函数的定义域为R．( )


(2)y＝lg2x2与lgx3都不是对数函数．( )


(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )


(4)函数y＝lg2x与y＝x2互为反函数．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×


2．对数函数f(x)的图象过点(4,2)，则f(8)＝ ．


3 [设f(x)＝lga x，则lga 4＝2，∴a2＝4，∴a＝2，


∴f(8)＝lg2 8＝3．]


3．(1)函数f(x)＝eq \f(lgx＋1,x－1)的定义域是 ．


(2)若对数函数y＝lg(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为 ．


(3)若g(x)与f(x)＝2x互为反函数，则g(2)＝ ．


(1){x|x>－1且x≠1} (2)(－∞，0) (3)1


[(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x－1≠0))⇒x>－1且x≠1．


(2)由题意得1－2a＞1，所以a＜0．


(3)f(x)＝2x的反函数为y＝g(x)＝lg2 x，


∴g(2)＝lg2 2＝1．]








【例1】 判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．


(1)y＝lgax2(a＞0，且a≠1)；


(2)y＝lg2x－1；


(3)y＝2lg8x；


(4)y＝lgxa(x＞0，且x≠1)．


[思路点拨] 依据对数函数的定义来判断．


[解] (1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；


(2)中对数式后减1，


∴不是对数函数；


(3)中lg8x前的系数是2，而不是1，


∴不是对数函数；


(4)中底数是自变量x，而不是常数a，


∴不是对数函数．





一个函数是对数函数，必须是形如y＝lgax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：


(1)系数为1；


(2)底数为大于0且不等于1的常数；


(3)对数的真数仅有自变量x．





eq \([跟进训练])


1．对数函数f(x)满足f(2)＝2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝ ．


－2 [设f(x)＝lga x(a>0且a≠1)，


由题知f(2)＝lga 2＝2，故a2＝2，∴a＝eq \r(2)或－eq \r(2)(舍)．


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lgeq \s\d7(eq \r(2)) eq \f(1,2)＝－2．]


【例2】 求下列函数的定义域：


(1)f(x)＝lgx－1(x＋2)；(2)f(x)＝eq \r(－lg 1－x)；


(3)f(x)＝eq \f(1,lg2x－1)；(4)f(x)＝eq \f(1,\r(1－lgax＋a))(a>0且a≠1)．


[思路点拨] 根据对数式中底数、真数的范围，列不等式(组)求解．


[解] (1)由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,x－1≠1，,x＋2>0，))解得x>1且x≠2，


∴f(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}．


(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－lg 1－x≥0，,1－x>0，))


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg 1－x≤0，,x<1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x≤1，,x<1))⇒0≤x<1．


∴函数的定义域为[0,1)．


(3)由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x－1≠0，,x－1>0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≠1，,x>1，))


∴x>1且x≠2．


故f(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}．


(4)由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－lgax＋a>0，,x＋a>0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lgax＋a－a，))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(①,②))


当a>1时，－a<－1．


由①得x＋a

∴x<0．


∴f(x)的定义域为{x|－a

当0

由①得x＋a>a．


∴x>0．


∴f(x)的定义域为{x|x>0}．


故所求f(x)的定义域是：


当0

当a>1时，x∈(－a,0)．





求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式.





eq \([跟进训练])


2．(1)函数y＝eq \r(x)ln (1－2x)的定义域为 ．


(2)函数y＝eq \f(lg x＋1,\r(2x－1))的定义域为 ．


(1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x<\f(1,2))))) (2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(1,2))))) [(1)由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,1－2x>0，))解得0≤x

(2)由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,2x－1>0，))解得x>eq \f(1,2)，∴定义域为xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x>\f(1,2)))．]


[探究问题]


1．在同一坐标系中作出y＝lg2 x，y＝lgeq \s\d7(eq \f(1,2))x，y＝lg x，y＝lg0．1 x的图象．观察图象，从底数的大小及相对位置方面来看，可以得出什么结论？


[提示] 图象如图．作直线y＝1，与这些对数函数的图象交点的横坐标就是相应对数函数的底．





结论：对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0

2．函数y＝lga x，y＝lgb x，y＝lgc x的图象如图所示，那么a，b，c的大小关系如何？





[提示] 由图象可知a>1，b，c都大于0且小于1，由于y＝lgb x的图象在(1，＋∞)上比y＝lgc x的图象靠近x轴，所以b

3．从以上两个探究，我们能否得出对数函数在第一象限的图象的位置与底数大小的关系？


[提示] 在第一象限内的对数函数的图象按从左到右的顺序底数依次变大．


【例3】 (1)比较下列各组数的大小：


①lg3 eq \f(2,3)与lg5 eq \f(6,5)；②lg1.1 0.7与lg1.2 0.7．


(2)已知lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) b

[思路点拨] (1)中两小题可以借助对数函数的图象判断大小关系．


(2)中可先比较a，b，c的大小关系，再借助指数函数的单调性．


[解] (1)①∵lg3 eq \f(2,3)lg5 1＝0，


∴lg3 eq \f(2,3)

②法一：∵0<0.7<1,1．1<1.2，∴0>lg0．7 1.1>lg0．7 1.2．


∴eq \f(1,lg0.7 1.1)

由换底公式可得lg1．1 0.7

法二：作出y＝lg1．1 x与y＝lg1．2 x的图象，如图所示，





两图象与x＝0.7相交可知lg1.1 0.7

(2)∵y＝lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) x为减函数，且lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) b

∴b>a>c．


而y＝2x是增函数，∴2b>2a>2c．





比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．





eq \([跟进训练])


3．比较下列各组数的大小．


(1)lg3 3.4与lg3 8.5；(2)lg0.1 3与lg0.6 3；


(3)lg4 5与lg6 5；(4)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1)．


[解] (1)∵底数3>1，


∴y＝lg3 x在(0，＋∞)上是增函数，于是lg3 3．4

(2)在同一坐标系内作出y＝lg0．1 x与y＝lg0．6 x的图象，如图，可知在(1，＋∞)上，函数y＝lg0．1 x的图象在函数y＝lg0．6 x图象的上方，故lg0．1 3>lg0．6 3．





(3)∵lg4 5>lg4 4＝1，


lg6 5

∴lg4 5>lg6 5．


(4)①当0(lg m)2.1；


②当lg m＝1，即m＝10时，(lg m)1.9＝(lg m)2.1；


③当lg m>1，即m>10时，y＝(lg m)x在R上是增函数，


∴(lg m)1.9<(lg m)2.1．








1．判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝lgax(a>0，且a≠1)这种形式．


2．在对数函数y＝lgax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．


3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．





1．下列函数是对数函数的是( )


A．y＝lga(2x) B．y＝lg2 2x


C．y＝lg2 x＋1 D．y＝lg x．


D [根据对数函数的定义，只有D是对数函数．]


2．(一题两空)函数y＝ln x的单调增区间是 ，反函数是 ．


(0，＋∞) y＝ex [y＝ln x的底为e>1，故y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，其反函数为y＝ex．]


3．函数y＝lga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是 ．


(2,1) [函数可化为y－1＝lga(2x－3)，


可令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3＝1，,y－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))即P(2,1)．]


4．求下列函数的定义域：





[解] (1)由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2>0，,lg33x＋2≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x>－2，,3x＋2≠1))⇒x>－eq \f(2,3)且x≠－eq \f(1,3)．


所以定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－\f(2,3)且x≠－\f(1,3)))))．


(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x＋8>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<2，,x>\f(1,2)，,x≠1.))


所以y＝lg(2x－1)(－4x＋8)的定义域为








即0

故定义域为{x|2

学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解对数函数的概念．


2．掌握对数函数的图象和性质．(重点)


3．能够运用对数函数的图象和性质解题．(重点)


4．了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和直观想象的核心素养．
对数函数的概念
对数函数的定义域问题
比较对数式的大小