高中苏教版 (2019)第5章 函数概念与性质5.4 函数的奇偶性优秀导学案

这是一份高中苏教版 (2019)第5章 函数概念与性质5.4 函数的奇偶性优秀导学案，共10页。

5.4 函数的奇偶性








日常生活中常见的对称现象，如美丽的蝴蝶、建筑……并让学生自己列举生活中对称的实例，你能发现生活中类似的数学对称美吗？








1．偶函数


一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．


2．奇函数


一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．


3．奇偶性


如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．


4．奇、偶函数的图象性质


(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．


(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)函数f(x)＝x的图象关于(0,0)对称．( )


(2)偶函数的图象一定与y轴相交．( )


(3)若对函数f(x)有f(－1)＝f(1)，则f(x)为偶函数．( )


(4)奇函数的图象一定过(0,0)．( )


[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×


2．若f(x)是定义在区间[a－2,5]上的奇函数，则a＝ ．


－3 [易知a－2＋5＝0，∴a＝－3．]


3．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)的值等于 ．


－10 [f(－2)＝2，∴－8a－2b－4＝2，∴8a＋2b＝－6，∴f(2)＝8a＋2b－4＝－10．]





【例1】 (1)若函数f(x)的图象如图，则f(x)为 函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)


(2)判断下列函数的奇偶性．





①f(x)＝eq \f(2,|x|)；


②f(x)＝eq \r(x＋1)＋ln(1－x)；


③f(x)＝eq \r(4－x2)＋eq \r(x2－4)；


④f(x)＝eq \f(\r(1－x2),|x＋2|－2)．


[思路点拨] (1)观察图象的对称性．


(2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f(x)与f(－x)的关系．


(1)偶 [因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数．]


(2)[解] ①因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．


又f(－x)＝eq \f(2,|－x|)＝eq \f(2,|x|)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．


②定义域要求eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,1－x＞0，))


所以－1≤x＜1，


所以f(x)的定义域不关于原点对称，


所以f(x)是非奇非偶函数．


③由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x2≥0，,x2－4≥0，))


得x∈{2，－2}，定义域关于原点对称，且f(±2)＝0，


所以f(x)既是奇函数又是偶函数．


④由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2≥0,|x＋2|－2≠0)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤1，,x≠0且x≠－4，))


所以函数的定义域为[－1,0)∪(0,1]．


此时f(x)＝eq \f(\r(1－x2),|x＋2|－2)＝eq \f(\r(1－x2),x)，x∈[－1,0)∪(0,1]，所以f(－x)＝eq \f(\r(1－－x2),－x)＝－eq \f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，


所以函数f(x)是奇函数．





判断函数奇偶性的方法


(1)定义法





(2)图象法


若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用于选择题中．





eq \([跟进训练])


1．判断下列各函数的奇偶性．


(1)f(x)＝(x－2)eq \r(\f(2＋x,2－x))；


(2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2x<－1，,0|x|≤1，,－x＋2x>1.))


[解] (1)由eq \f(2＋x,2－x)≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．


(2)当x<－1时，f(x)＝x＋2，－x>1，


∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；


当x>1时，f(x)＝－x＋2，－x<－1，


f(－x)＝－x＋2＝f(x)；


当－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，f(－x)＝0＝f(x)．


∴对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)，因此f(x)是偶函数．





【例2】 (1)已知f(x)是R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x(1＋x)，求f(x)；


(2)若函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函数，求m的值．


[思路点拨] (1)已知x<0时的解析式，用奇偶性求x>0的解析式，应通过(－x)进行过渡，但别忽视x＝0的情况；(2)应用偶函数满足f(－x)＝f(x)．


[解] (1)∵f(x)为R上的奇函数，


∴f(－0)＝－f(0)，


∴f(0)＝0．


当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，


∴f(－x)＝x(1－x)．


∵f(x)为R上的奇函数，


∴－f(x)＝x(1－x)，


∴f(x)＝－x(1－x)．


综上可知，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x1＋x，,0，,－x1－x，))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0，,x＝0，,x>0.))


(2)∵f(x)为偶函数，


∴f(－x)＝f(x)，


即x2－(m－1)x＋3＝x2＋(m－1)x＋3，


∴2(m－1)x＝0．


∵x∈R，∴m－1＝0，得m＝1．





1．本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形．若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0．


2．利用奇偶性求解析式的思路


(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；


(2)利用已知区间的解析式进行代入；


(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式．





eq \([跟进训练])


2．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．


[解] 当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1．


由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，


所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1．


因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0．


综上可得f(x)的解析式为


f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x2＋3x＋1，x>0，,0，x＝0，,2x2＋3x－1，x<0.))


[探究问题]


1．观察图中的两个图象，说明这两个图象对应的函数具有何种奇偶性？它们在y轴左右两侧的单调性相同吗？由此，我们可以得出的结论是什么？





[提示] 两个图象均为奇函数的图象，在y轴左右两侧，函数的单调性相同，可得出结论：奇函数在对称区间上的单调性相同．


2．能否证明一下探究1中的结论(不妨以“已知f(x)在[a，b](a>0)上递增”为例)．


[提示] 已知f(x)是奇函数，在区间[a，b](a>0)上是单调递增的．证明f(x)在区间[－b，－a]上也单调递增．


证明：任取x1，x2∈[－b，－a]且x1

则f(x1)－f(x2)＝－f(－x1)－[－f(－x2)]＝f(－x2)－f(－x1)，


∵－b≤x1

由f(x)在[a，b]上单调递增，∴f(－x2)

∴f(－x2)－f(－x1)<0，即f(x1)

∴f(x)在区间[－b，－a]上单调递增．


3．如图两个偶函数的图象中，能否找出偶函数的图象在对称区间上的关系？





[提示] 偶函数的图象在对称区间上单调性相反．


【例3】 已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1,1)，且在[0,1)上为增函数．若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求a的取值范围．


[思路点拨] 可将f(a－2)＋f(3－2a)<0移项得f(a－2)<－f(3－2a)，根据奇偶性和单调性转化为研究a－2与2a－3的大小关系，注意定义域．


[解] ∵f(a－2)＋f(3－2a)<0，


∴f(a－2)<－f(3－2a)．


∵f(x)为奇函数，∴－f(3－2a)＝f(2a－3)，


∴f(a－2)

∵f(x)在[0,1)上为增函数，


∴f(x)在(－1,1)上单调递增，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1




1．函数奇偶性和单调性的关系


(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．


(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．


2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法


(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．


(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．





eq \([跟进训练])


3．已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在[0,2]上单调递增，f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．


[解] ∵f(x)是奇函数，在[0,2]上单调递增，


∴f(x)在[－2,2]上都递增．


由f(m)＋f(m－1)>0，


∴f(m)>－f(m－1)＝f(1－m)，


由f(x)的单调性知1－m

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m

∴m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))．








1．定义域在数轴上关于原点对称是函数y＝f(x)为奇函数或偶函数的一个必要条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．


2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔eq \f(f－x,fx)＝±1(f(x)≠0)．


3．(1)若f(x)＝0且y＝f(x)的定义域关于原点对称，则y＝f(x)既是奇函数又是偶函数．


(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．


(3)有时判定函数的奇偶性需要在定义域内先化简解析式再判定奇偶性．


(4)偶函数有一个特殊性质：f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．


4．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．





1．下列函数为奇函数的是( )


A．y＝x B．y＝2x2－3


C．y＝eq \r(x) D．y＝x3，x∈[0,1]


A [A中函数是奇函数；B中函数是偶函数；C、D中函数是非奇非偶函数．]


2．已知函数f(x)＝eq \r(x2－2)＋3eq \r(2－x2)，则f(x)的奇偶性为 ．


既是奇函数又是偶函数 [要使函数有意义，需满足x2－2≥0,2－x2≥0，


∴x＝±eq \r(2)，此时y＝0，因此函数图象为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\r(2)，0))，既关于原点对称又关于y轴对称，因此函数既是奇函数又是偶函数．]


3．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x3＋1，则当x<0时，f(x)＝ ．


－x3＋1 [当x<0时，－x>0，


∴f(－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1，


∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x3＋1．]


4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函数．


(1)求实数m的值；


(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．


[解] (1)设x＜0，则－x＞0，


所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x．


又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，


于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2．


(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，





结合f(x)的图象(如图所示)知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2>－1，,a－2≤1，))所以1＜a≤3，


故实数a的取值范围是(1,3]．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征．


2．会判断函数的奇偶性．(重点)


3．掌握函数奇偶性的运用．(难点)
通过学习本节内容培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养．
函数奇偶性的判断
已知函数奇偶性求解析式
奇偶函数的单调性