高中苏教版 (2019)第8章 函数应用8.2 函数与数学模型精品学案

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8.2 函数与数学模型


8.2.1 几个函数模型的比较








我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．尝试完成下表．


三种函数模型的性质








三种函数模型的性质





1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是( )


A．y减少1个单位 B．y增加1个单位


C．y减少2个单位 D．y增加2个单位


C [结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]


2．下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是( )


A．y＝ex B．y＝ln x


C．y＝2x D．y＝e－x


A [结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．]


3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．





以下四种说法：


①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．


其中说法正确的序号是________．


②③ [结合图象可知②③正确，故填②③．]








【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )


A．y＝2 019x B．y＝2019


C．y＝lg2 019x D．y＝2 019x


(2)下面对函数f(x)＝lgeq \s\d12(eq \f(1,2))x，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )


A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢


B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快


C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变


D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快


(1)A (2)C [(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A．





(2)观察函数f(x)＝lgeq \s\d12(eq \f(1,2))x，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：


函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．]





常见的函数模型及增长特点


1线性函数模型,一次函数模型y＝kx＋bk>0的增长特点是直线上升，其增长速度不变.


2指数函数模型,指数函数模型y＝axa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.


3对数函数模型,对数函数模型y＝lgaxa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.








eq \([跟进训练])


1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：


关于x呈指数函数变化的变量是________．


y2 [以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2．]





【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．





(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；


(2)结合函数图象，判断feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))与geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，f(2 020)与g(2 020)的大小．


[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x．


(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)，


从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＜geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))；


当x＞2时，f(x)＞g(x)，


∴f(2 020)＞g(2 020)．





由图象判断指数函数、一次函数的方法


根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.








eq \([跟进训练])


2．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0．3x－1的图象如图所示．





(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；


(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．


[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝0．3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x．


(2)当xf(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．








直线上升、指数爆炸、对数增长


对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝lgbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．( )


(2)当a>1，k>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有lgax

(3)函数y＝lgeq \s\d12(eq \f(1,2))x衰减的速度越来越慢．( )


[答案] (1)× (2)× (3)√


2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )


A．y＝1 B．y＝x


C．y＝3x D．y＝lg3x


C [结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝lg3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x．]


3．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0．2x，乙：y＝lg2x＋100，丙：y＝1．005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案．


乙、甲、丙 [将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．]


4．画出函数f(x)＝eq \r(x)与函数g(x)＝eq \f(1,4)x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．


[解] 函数f(x)与g(x)的图象如图所示．





根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；


当x＝4时，f(x)＝g(x)；


当x>4时，f(x)

学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解指数爆炸、直线上升、对数增长的含义．(重点)


2．区分指数函数、一次函数以及对数函数增长速度的差异．(易混点)


3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)
借助三个函数模型的增长特征，培养学生数学运算、数学建模的核心素养．
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝kx＋b(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
图象的变化趋势
增长速度
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
保持固定增长速度
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝lgax(a>1)的增长速度越来越慢；在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”来表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式


②当x足够大时，总有ax>kx>lgax
几类函数模型的增长差异
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
37 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.332
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
指数函数、对数函数与一次函数模型的比较