苏教版 (2019)必修 第一册4.2 对数优质学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册4.2 对数优质学案，共7页。

4.2 对数


4.2.1 对数的概念








若某物质最初的质量为1，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%，则经过x年，该物质的剩留量y＝0．84x．由此，知道了经过的时间x，就能求出该物质的剩留量y；反过来，知道了该物质的剩留量y，怎样求出所经过的时间x呢？





1．对数


一般地，如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作lgaN＝b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数．


2．常用对数


通常将以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数lg10N简记为lg N．


3．自然对数


以e为底的对数称为自然对数．其中e＝2．718 28…是一个无理数，正数N的自然对数lgeN一般简记为ln N．


4．几个特殊对数值


(1)lga1＝0，lgaa＝1，lgaeq \f(1,a)＝－1．(其中a＞0且a≠1)．


(2)对数恒等式：aeq \s\up12(lgaN)＝N(a>0，a≠1，N>0)．


(3)零和负数没有对数．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)因为(－2)4＝16，所以lg(－2)16＝4．( )


(2)对数式lg32与lg23的意义一样．( )


(3)对数的运算实质是求幂指数．( )


(4)等式lga1＝0对于任意实数a恒成立．( )


(5)lg 10＝ln e＝1．( )


[提示] (1)－2不能作底数；(2)lg2 3与lg3 2底数和真数均不同，意义不一样；(4)a>0且a≠1．


[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√


2．计算：lg3 9＝ ，2eq \s\up12(lg2 3)＝ ．


2 3 [lg3 9＝2,2eq \s\up12(lg2 3)＝3．]


3．(1)已知lg4x＝－eq \f(3,2)，求x；


(2)已知lg2(lg3x)＝1，求x；


(3)求lgeq \r(2)－1(3＋2eq \r(2))．


[解] (1)∵lg4x＝－eq \f(3,2)，∴x＝4eq \s\up12(－eq \f(3,2))＝2－3＝eq \f(1,8)．


(2)∵lg2(lg3x)＝1，∴lg3x＝21＝2，∴x＝32＝9．


(3)设y＝ (3＋2eq \r(2))，则(eq \r(2)－1)y＝3＋2eq \r(2)＝(eq \r(2)＋1)2＝(eq \r(2)－1)－2，则y＝－2，即 (3＋2eq \r(2))＝－2．








【例1】 使对数lg2a－2(10－4a)有意义的a的取值范围是 ．


[思路点拨] 根据对数中底数和真数的取值范围求解．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5,2))) [要使lg2a－2(10－4a)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－2>0，,2a－2≠1，,10－4a>0))⇒1




根据对数的定义，应满足底数大于0且不为1，真数大于0，列不等式组即可.





eq \([跟进训练])


1．(1)使lga (3a－2)有意义的a的取值范围是 ．


(2)使 (－3x＋6)有意义的x的取值范围是 ．


(1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>\f(2,3)且a≠1)))) (2){x|x<2且x≠0}


[(1)令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,a≠1，,3a－2>0))⇒a>eq \f(2,3)且a≠1．


(2)令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1≠1，,－3x＋6>0))⇒x<2且x≠0．]





【例2】 (1)将下列各指数式改写成对数式：


①24＝16；②3－3＝eq \f(1,27)；③5a＝20；④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(b)＝0．45．


(2)将下列各对数式改写成指数式：


①lgeq \s\d12(eq \f(1,2))16＝－4；②lg2128＝7；


③lg 0．01＝－2；④ln 10＝2．303．


[思路点拨] 利用ax＝N⇔x＝lga N(a>0且a≠1)进行互化．


[解] (1)①24＝16⇒lg216＝4．


②3－3＝eq \f(1,27)⇒lg3eq \f(1,27)＝－3．


③5a＝20⇒lg520＝a．


④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(b)＝0．45⇒lgeq \s\d12(eq \f(1,2))0．45＝b．


(2)①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－4)＝16．


②27＝128．


③10－2＝0．01．


④e2．303＝10．





1．并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成lg(－3)9＝2，只有a>0，a≠1，N>0时，才有ax＝N⇔x＝lgaN．


2．对数式lgaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：








eq \([跟进训练])


2．下列指数式与对数式的互化正确的序号是 ．


①N＝a2与lgNa＝2；


＝4与(eq \r(2))4＝4；


③eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－3)＝64与lg64eq \f(1,4)＝－eq \f(1,3)；


＝z与xz＝yeq \s\up12(eq \f(1,7))．


②④ [①N＝a2⇔lga N＝2(a>0且a≠1)；


③eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－3)＝64⇔lgeq \s\d12(eq \f(1,4)) 64＝－3．]


3．设a＝lg3 7，b＝lg3 28，则32a－b＝ ．


eq \f(7,4) [由题知3a＝7,3b＝28，


∴32a－b＝eq \f(32a,3b)＝eq \f(3a2,3b)＝eq \f(72,28)＝eq \f(7,4)．]


[探究问题]


1．方程x＝42，x＝33的解是什么？如何解x＝ab型的方程？


[提示] x＝42＝16，x＝33＝27，


解x＝ab时按幂的运算法则计算即可．


2．方程x2＝4(x>0)，x3＝64的解是什么？如何解xk＝b(k∈Z)?


[提示] x2＝4，∴x＝eq \r(4)＝2，


x3＝64，∴x＝eq \r(3,64)＝4，


xk＝b，∴x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(k,b),±\r(k,b)))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(k为奇数，b∈R，,k为偶数，b≥0，))


即可通过开方运算求解．


3．方程2x＝8的解是什么？2x＝7呢？如何解ax＝b(a>0，a≠1)?


[提示] ∵23＝8，∴2x＝8的解为x＝3，


2x＝7，∴x＝lg2 7，


ax＝b，x＝lga b，即将指数式化为对数式，将问题转化为计算对数值．


【例3】 解方程：


(1)9x＝27；(2)ex＝e2；(3)5eq \s\up12(lg5(2x－1))＝25；


(4)lg2(lg3(lg4x))＝0；(5)lgx16＝－4；


(6)x＝－ln e－3．


[思路点拨] 利用对数的性质及指数式与对数式的互化来求解．


[解] (1)9x＝27，∴(32)x＝33，即32x＝33，


∴2x＝3，∴x＝eq \f(3,2)．


(2)∵ex＝e2，∴x＝2．


(3)5eq \s\up12(lg5(2x－1))＝2x－1＝25，∴x＝13．


(4)∵lg2(lg3(lg4 x))＝0，∴lg3(lg4 x)＝20＝1，


∴lg4 x＝31＝3，∴x＝43＝64．


(5)∵x－4＝16，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(4)＝16＝24，∴eq \f(1,x)＝±2，∴x＝±eq \f(1,2)．


又x>0，∴x＝eq \f(1,2)．


(6)x＝－ln e－3，∴－x＝ln e－3，∴e－x＝e－3，∴－x＝－3，∴x＝3．





解指数、对数方程时的注意点


(1)将对数式转化为指数式，构建方程转化为指数问题．


(2)利用幂的运算性质和指数的性质计算求解．


(3)x的取值范围是否在指数、对数式的互化中发生了改变．





eq \([跟进训练])


4．求下列各式中的x值．


(1) )(3x2＋2x－1)＝1；(2)lg 0．001＝x；


(3)lgx8＝3；(4)2eq \s\up12(lg2 x2)＝eq \f(1,4)．


[解] (1)由题知2x2－1＝3x2＋2x－1，得x＝0或x＝－2，


当x＝0时，2x2－1＝－1<0，∴x≠0，


当x＝－2时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－1>0，,3x2＋2x－1>0，))符合题意，∴x＝－2．


(2)10x＝0．001＝10－3，∴x＝－3．


(3)x3＝8，∴x＝eq \r(3,8)＝2．


(4)2eq \s\up12(lg2 x2)＝x2＝eq \f(1,4)，∴x＝±eq \f(1,2)．








1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔lgaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)lgaab＝b；(2)aeq \s\up12(lgaN)＝N．


2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．





1．有下列说法：


①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．


其中正确命题的个数为( )


A．1 B．2


C．3 D．4


C [①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．]


2．在N＝lg(10－b)(b－2)中，实数b的取值范围是 ．


(2,9)∪(9,10) [令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b－2>0，,10－b>0，,10－b≠1，))∴2

3．已知lga2＝m，lga3＝n，则a2m＋n＝ ．


12 [∵lga2＝m，lga3＝n，


∴am＝2，an＝3．


∴a2m＋n＝(am)2×an＝22×3＝12．]


4．求值：





学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解对数的概念．(重点)


2．能熟练地进行指数式与对数式的互化．(重点)


3．掌握常用对数与自然对数的定义．
通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养．
对数的概念
指数式与对数式的互化
解指数、对数方程