高中数学苏教版 (2019)必修 第一册8.1 二分法与求方程近似解精品学案设计

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8.1 二分法与求方程近似解


8.1.1 函数的零点








解方程的历史


方程解法时间图·东方





方程解法时间图·西方








1．函数的零点的定义


一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．


2．方程、函数、图象之间的关系


(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解．


(2)函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．


3．零点存在性定理


若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)任何函数都有零点．( )


(2)任意两个零点之间函数值保持同号．( )


(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0．


( )


[提示] (1)可举反例f(x)＝x2＋1无零点．


(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点，即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)为正，在(2,3)上f(x)为负，故在零点1和3之间有正有负．


(3)举例f(x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f(x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f(2)·f(－2)>0．


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．(一题两空)函数y＝x2＋3x＋2的零点是________，其图象与x轴的交点为________．


－1，－2 (－1,0)，(－2,0) [令x2＋3x＋2＝0，则(x＋2)(x＋1)＝0，∴x＝－1或x＝－2．]


3．若函数f(x)在区间[2,5]上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．


1 [由f(x)在区间[2,5]上是减函数，可得f(x)至多有一个零点．又因为f(x)是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，所以f(x)在(2,5)上至少有一个零点，可得f(x)恰有一个零点．]








【例1】 求下列函数的零点．


(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x－8；(3)f(x)＝1－lg4 x；(4)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．


[思路点拨] 根据函数的零点和方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．


[解] (1)∵f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令f(x)＝0，得x＝0,1，－1，故f(x)的零点为x＝－1，0,1．


(2)令f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3，


故f(x)的零点为x＝3．


(3)令f(x)＝1－lg4 x＝0，∴lg4 x＝1，∴x＝4．


故f(x)的零点为x＝4．


(4)当a＝0时，函数为f(x)＝－x＋2，


令f(x)＝0，得x＝2．


∴f(x)的零点为2．


当a＝eq \f(1,2)时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1))(x－2)＝eq \f(1,2)(x－2)2，


令f(x)＝0，得x1＝x2＝2．


∴f(x)有零点2．


当a≠0且a≠eq \f(1,2)时，令f(x)＝0，得x1＝eq \f(1,a)，x2＝2．


∴f(x)的零点为eq \f(1,a)，2．


综上，当a＝0时，f(x)的零点为2；当a＝eq \f(1,2)时，函数有零点2；当a≠0且a≠eq \f(1,2)时，f(x)的零点为eq \f(1,a)，2．





函数的零点的求法


求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．








eq \([跟进训练])


1．求下列函数的零点．


(1)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lnx－1，x>1,2x－1－1，x≤1))；


(2)f(x)＝(2x－3)ln(x－2)；


(3)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，x∈[0，π]．


[解] (1)当x>1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2；当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1．所以函数的零点是1和2．


(2)因为函数f(x)的定义域为(2，＋∞)，所以2x>4，


由(2x－3)ln(x－2)＝0，得x－2＝1，所以x＝3，


即函数f(x)＝(2x－3)ln(x－2)的零点是3．


(3)因为x∈[0，π]，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(5π,3)))，


由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝0，得2x－eq \f(π,3)＝0或2x－eq \f(π,3)＝π，解得x＝eq \f(π,6)或x＝eq \f(2π,3)，


所以函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，x∈[0，π]的零点是eq \f(π,6)和eq \f(2π,3)．





【例2】 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为________．(填序号)


①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))；②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))；③eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))；④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))．


[思路点拨] 利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f(a)f(b)<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x轴是否有交点．


③ [∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \r(4,e)－2<0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \r(e)－1>0，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))<0，


∴零点在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))上．]





1．判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是利用函数图象．


2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)的图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．








eq \([跟进训练])


2．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋3)＝0(e≈2．72)的一个根所在的区间是________．(填序号)


①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．


③ [设f(x)＝ex－(x＋3)，由上表可知，f(－1)＝0．37－2<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2．72－4<0，f(2)＝7．40－5>0，f(3)＝20．12－6>0，∴f(1)·f(2)<0，


因此方程ex－(x＋3)＝0的根在(1,2)内．]


[探究问题]


1．如何去求一个方程的零点？


[提示] (1)可以解方程；(2)可以结合图象；(3)可以用零点存在性定理．


2．求方程零点的方法有何优缺点？能否用来判断零点的个数？


[提示] 解方程法．优点：解的准确，不需估算．


缺点：有些方程，我们解不出根的精确值，如f(x)＝2x－3x．


图象法和零点存在性定理解得的零点未必是精确值，但我们可以通过图象的交点个数来判断方程零点的个数．


【例3】 (1)函数f(x)＝ex－3的零点个数为________．


(2)函数f(x)＝ln x－eq \f(1,x－1)的零点个数是________．


(3)已知关于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，试讨论方程实数根的个数．


[思路点拨] (1)利用函数的零点的概念解方程求解．(2)利用函数图象来求解．(3)原方程可化为(x－1)(3－x)＋x＝a，利用直线y＝a与抛物线y＝(x－1)(3－x)＋x的位置关系讨论，也可以利用判别式．


(1)1 (2)2 [(1)令f(x)＝0，∴ex－3＝0，∴x＝ln 3，故f(x)只有1个零点．





(2)在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝eq \f(1,x－1)的图象，如图所示，函数y＝ln x与y＝eq \f(1,x－1)的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－eq \f(1,x－1)的零点个数为2．]


(3)[解] 法一：原方程化为－x2＋5x－3＝a．


令f(x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a．





作函数f(x)＝－x2＋5x－3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为eq \f(12－25,4×－1)＝eq \f(13,4)，画出如图所示的简图：


由图象可以看出：


①当a＞eq \f(13,4)时，方程没有实数根；


②当a＝eq \f(13,4)时，方程有两个相等的实数根；


③当a＜eq \f(13,4)时，方程有两个不相等的实数根．


法二：原方程化为x2－5x＋3＋a＝0．


Δ＝25－4(3＋a)＝－4a＋13．


①当Δ＜0，即a＞eq \f(13,4)时，方程没有实数根；


②当Δ＝0，即a＝eq \f(13,4)时，方程有两个相等的实数根；


③当Δ＞0，即a＜eq \f(13,4)时，方程有两个不相等的实数根．





(变条件)若把本例(3)中x加以限制(1＜x＜3)，求解相应问题．


[解] 原方程可化为－x2＋5x－3＝a(1＜x＜3)，


作函数f(x)＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)的图象，注意f(x)＝－x2＋5x－3的对称轴为x＝eq \f(5,2)，


feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝－eq \f(25,4)＋eq \f(25,2)－3＝eq \f(50－25－12,4)＝eq \f(13,4)，


f(1)＝－1＋5－3＝1，f(3)＝－9＋15－3＝3．


故f(x)在1＜x＜3上的草图如图所示：





由图可知，


①当a＝eq \f(13,4)或1＜a≤3时，方程有一个实数根；


②当3＜a＜eq \f(13,4)时，方程有两实数根；


③当a≤1或a＞eq \f(13,4)时，方程无实数根．





判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．








eq \([跟进训练])


3．函数f(x)＝lg x－sin x的零点有i(i∈N*)个，记为xi，xi∈(eq \f(kπ,2)，eq \f(k＋1π,2))，k∈N*，则k构成的集合为______________．


{1,4,5} [由f(x)＝lg x－sin x得lg x＝sin x，在同一坐标系中作出y＝lg x和y＝sin x的图象，如下图，





由图象知，函数f(x)＝lg x－sin x有三个零点x1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π，\f(5π,2)))，x3∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)，3π))，


因为xi∈(eq \f(kπ,2)，eq \f(k＋1π,2))，k∈N*，所以k＝1,4,5，所以k构成的集合为{1,4,5}．]








1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．


2．方程f(x)＝g(x)的根是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．


3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．





1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )





A [B、C、D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．]


2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )


A．1 B．2 C．3 D．4


C [因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3．





分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象(图略)，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．


又根据对称性知，当x＜0时函数f(x)也有一个零点．


综上所述，f(x)的零点个数为3．应选C．]


3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：


由表可知函数f(x)存在零点的区间有________个．


4 [∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，f(6)·f(7)＜0，∴共有4个区间．]


4．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有零点，求实数a的取值范围．


[解] 由题意知方程ax＝x2＋1在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有解，


即a＝x＋eq \f(1,x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有解，设t＝x＋eq \f(1,x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，


则t的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3)))．


所以实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3)))．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解函数的零点的概念以及函数的零点与方程根的关系．(重点)


2．会求函数的零点．(重点、难点)


3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理的数学核心素养．
求函数的零点
零点存在性定理及其应用
x
－1
0
1
2
3
ex
0．37
1
2．72
7．40
20．12
x＋3
2
3
4
5
6
函数零点(方程不等实根)个数的判断
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
11238