苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式优质学案设计

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3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式


3.3.1 从函数观点看一元二次方程








函数与方程有着一定的联系，请尝试完成下列两个表格；并思考它们有着怎样的联系？











1．二次函数的零点


一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点．


提醒：函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标；也是函数值为零时自变量的x的值，也是函数相应的方程相异的实数根．


2．当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示：





1．函数y＝x2＋4x－5的零点为( )


A．－5和1 B．(－5,0)和(1,0)


C．－5 D．1


A [由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1．]


2．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为 ．


2 [由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2．]


3．函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)，则n的取值集合为 ．


{－3,0} [由x2＋2x－1＝0解得x1＝－1－eq \r(2)，x2＝－1＋eq \r(2)，因为－1－eq \r(2)∈(－3，－2)，－1＋eq \r(2)∈(0,1)，所以n的取值集合为{－3,0}．]








【例1】 求下列函数的零点．


(1)y＝3x2－2x－1；


(2) y＝ax2－x－a－1(a∈R)；


(3) y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示．





[思路点拨] (1)直接解出相应方程的根．


(2)对于二次项的系数a分a＝0，a≠0两类进行讨论，当a≠0时，还要比较两根的大小．


(3)根据相应函数的图象，找到其与x轴的交点的横坐标．


[解] (1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－eq \f(1,3)，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－eq \f(1,3)．


(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1．


(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝eq \f(a＋1,a)，x2＝－1．


又eq \f(a＋1,a)－(－1)＝eq \f(2a＋1,a)，


①当a＝－eq \f(1,2)时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1．


②当a≠－eq \f(1,2)且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和eq \f(a＋1,a)．


综上：当a＝0或eq \f(1,2)时，函数的零点为－1．


当a≠－eq \f(1,2)且a≠0时，函数有两个零点－1和eq \f(a＋1,a)．


(3)由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3．





1．求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点．


2．函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点．


3．求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤：


(1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零；


(2)若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数．


若可以因式分解，则一定存在零点．


(3)若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等．





eq \([跟进训练])


1．求下列函数的零点．


(1)y＝2x2－3x－2；


(2)y＝ax2－x－1；


(3)y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示．





[解] (1)由2x2－3x－2＝0解得x1＝2，x2＝－eq \f(1,2)，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为2和－eq \f(1,2)．


(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1．


(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a，


当Δ<0，即a<－eq \f(1,4)时，相应方程无实数根，函数无零点；


当Δ＝0，即a＝－eq \f(1,4)时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2．


②当Δ>0，即a>－eq \f(1,4)时，由ax2－x－1＝0得x1,2＝eq \f(1±\r(1＋4a),2a)，


函数有两个零点eq \f(1＋\r(1＋4a),2a)和eq \f(1－\r(1＋4a),2a)．


综上：当a＝0时，函数的零点为－1；


当a＝－eq \f(1,4)时，函数的零点为－2；


当a>－eq \f(1,4)时，函数有两个零点eq \f(1＋\r(1＋4a),2a)和eq \f(1－\r(1＋4a),2a)；


当a<－eq \f(1,4)时，相应方程无实数根，函数无零点．


(3) 由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，所以该函数的零点为－3和1．


【例2】 若a>2，求证： 函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．


[思路点拨] 要证明二次函数有两个零点，需要证明一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等实数根．


[证明] 考察一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，


因为Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)，


又a>2，所以Δ>0，


所以函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．





(变题)求函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件．


[解] [必要性]因为函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，


当a＝2时，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0无解．函数无零点；


当a≠2时，因为函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根．所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2≥0，,a＋2≥0)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2≤0，,a＋2≤0，)) 解得a≥2或a≤－2，


又a≠2，所以a>2或a≤－2，


所以函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，则a>2或a≤－2．


[充分性]当a>2或a≤－2时，对于方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，


Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，


所以函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点．


综上函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件是a>2或a≤－2．





二次函数y＝ax2＋bx＋ca≠0的零点的论证


对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0的根的判别式Δ＝b2－4ac.


1Δ>0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋ca≠0有两个零点.


2Δ＝0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋ca≠0有一个零点.


3Δ<0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋ca≠0无零点.





eq \([跟进训练])


2．求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．


[证明] 当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0；


当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函数y＝ax2－x－a有两个零点．


综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．


【例3】 (1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零点；


(2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围．


[思路点拨] (1)直接求出函数的零点，再加以判定．


(2)结合相应一元二次方程的判别式和根与系数的关系进行研究．


[解] (1) 由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋eq \r(2)，x2＝－1－eq \r(2)，因为－3<－1－eq \r(2)<－2，


所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)存在零点．


(2)因为函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4的两个零点均为正数，


所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等的正实数根．显然a≠2．


由一元二次方程的根与系数的关系得


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4a－2a＋2>0，,x1＋x2＝－\f(－2a－2,a－2)＝2>0，,x1x2＝\f(－4,2a－2)>0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>2或a<－2，,a<2，))


所以a<－2．


即实数a的取值范围(－∞，－2)．





1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究


结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理


(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0，,x1＋x2>0，,x1x2>0)) ⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点．


(2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0，,x1＋x2<0，,x1x2>0)) ⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点．


(3) x1x2<0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点．


2．二次函数的零点如果能够求出，再研究其分布就很方便．





eq \([跟进训练])


3．已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R)．


(1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围；


(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围．


[解] 法一：由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a，


(1)因为该函数有两个正的零点，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,1－a>0，,a≠1－a，)) 解得0

所以a的取值范围是0

(2)因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≠1－a，,a>1，,1－a<1)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≠1－a，,1－a>1，,a<1，)) 解得a>1或a<0．


所以a的取值范围是a>1或a<0．


法二：(1)因为该函数有两个正的零点，该函数其相应方程为x2－x－a2＋a＝0，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝1－4－a2＋a＝2a－12>0，,x1＋x2＝\f(1,2)>0，,x1x2＝－a2＋a>0，))


解得0

所以a的取值范围是0

(2) 方程x2－x－a2＋a＝0中Δ＝1－4(－a2＋a)＝(2a－1)2≥0，设其两实数根分别为x1，x2，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝1，,x1x2＝－a2＋a，))


因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，


所以(x1－1)(x2－1)<0，即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，所以(－a2＋a)－1＋1<0，解得a>1或a<0．


所以a的取值范围是a>1或a<0．








1．求函数的零点，可以结合相应函数的图象，看其与x轴交点的横坐标，也可以直接解相应的方程，求出其不相等的实数根；对于含有参数的函数零点个数的讨论，可以着手从参数是否影响方程的次数、方程根的存在性、方程根的大小等方面确定分类讨论的标准．


2．二次函数零点个数的论证本质上就是论证相应一元二次方程的根的判别式与0的大小关系．


3．二次函数零点的分布研究，可以先解出相应方程的实数根，再判定，也可以研究相应的一元二次方程，利用根与系数的关系求解．





1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a




A．②④ B．①④


C．②③ D．①③


B [因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－eq \f(b,2a)＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a

2．已知函数y＝2ax－a＋3在(－1,1)上有零点，则实数a的取值范围是 ．


(－∞，－3)∪(1，＋∞) [当a＝0时，函数y＝3，无零点，当a≠0时，由2ax－a＋3＝0得，x＝eq \f(a－3,2a)，所以－10时－2a1；当a<0时，－2a>a－3>2a，解得a<－3，所以实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]


3．已知p：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有异号两个实数根，q：ac<－1，则p是q的 条件．


必要不充分 [因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有异号两个实数根⇔x1x2＝eq \f(c,a)<0⇔ac<0，所以p是q的必要不充分条件．]


4．已知函数y＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0成立，求实数m的取值范围．


[解] 作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0，





则有x＝m时，y<0，且x＝m＋1时，y<0．


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m2－1<0，,m＋12＋mm＋1－1<0，)) 解得－eq \f(\r(2),2)

所以实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0))．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解函数零点的概念．(重点)


2．能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点．(重点、难点)
通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养．
a>0
a<0
一次函数


y＝ax＋b的图象
一元一次方程


y＝ax＋b的根
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个相异的实数根x1,2＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)
有两个相等的实数根x1,2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的零点
有两个零点x1,2＝


eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)
有一个零点x＝－eq \f(b,2a)
无零点
求函数的零点
函数的零点个数的论证与探究
二次函数的零点分布探究