高中数学苏教版 (2019)必修 第一册2.1 命题、定理、定义精品学案设计

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2.1 命题、定理、定义








在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫做命题，一方面数学中的定义、定理属于命题吗？它们有什么共同的结构？它们都是真命题吗？另一方面，初中平面几何中推理论证的基础是什么？





1．命题的定义与分类


(1)命题的定义：在数学中，可以判断真假的陈述句叫作命题．


(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．


(3)分类：命题eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(真命题：判断为真的语句,假命题：判断为假的语句))


思考1：(1)“x－1＝0”是命题吗？


(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？


[提示] (1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．


(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．


2．命题的结构


(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．


(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．


思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？


[提示] 条件是：“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．


3．定理与定义


在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理．


在数学中的定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．


(1)数学中的定理、推论和数学中定义都是命题．


(2)数学中的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质．





1．语句“若a c2>b c2，则a＋c>b＋c”( )


A．不是命题 B．是真命题


C．是假命题 D．不能判断真假


B [结合不等式的性质可知，若a c2>b c2，则a>b且c≠0，则a＋c>b＋c，是真命题．]


2．下列语句是命题的是( )


①三角形内角和大于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤2020央视春晚真精彩啊！


A．①②③ B．①③④


C．①②⑤ D．②③⑤


A [①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．]


3．把命题“末位数字是0的整数一定能被5整除”改写成“若p，则q”的形式为 ．


[答案] 若一个整数的末位数字是0，则它一定能被5整除





【例1】 (1)下列语句为命题的是( )


A．x2－1＝0


B．2＋3＝8


C．你会说英语吗？


D．这是一棵大树


(2)下列语句为命题的有 ．


①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 020是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′．


(1)B (2)①④ [(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．


(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]





判断一个语句是否是命题的两个关键点


1命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.


2对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题.


提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题.





eq \([跟进训练])


1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．


(1)函数y＝x2－2x (x∈R)是二次函数；


(2)x2－3x＋2＝0；


(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；


(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？


(5)一个数不是奇数就是偶数；


(6)2030年6月1日上海会下雨．


[解] (1)是命题，满足二次函数的定义．


(2)不是命题，不能判断真假．


(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．


(4)疑问句，不是命题．


(5)是命题，能判断真假．


(6)不是命题，不能判断真假．


【例2】 判断下列命题的真假，并说明理由．


(1)正方形既是矩形又是菱形；


(2)当x＝4时，2x＋1<0；


(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；


(4)一个奇数是两个整数的平方差．


[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．


(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0．


(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0．


(4)是真命题，因为当n∈Z时，任意奇数2n－1＝n2－(n－1)2，所以一个奇数是两个整数的平方差．





命题真假的判定方法


1真命题的判断方法,要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.


2假命题的判断方法,通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.





eq \([跟进训练])


2．下列命题：


①若xy＝1，则x，y互为倒数；


②同一平面内四条边相等的四边形是正方形；


③平行四边形是梯形；


④若a2>b2，则|a|>|b|．


其中真命题的序号是 ．


①④ [①④是真命题，②同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形．]


【例3】 (1)(一题两空)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是 ，q是 ．


(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．


①函数y＝2x＋1是一次函数；


②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；


③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0．


[思路点拨] 解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q”的形式．


(1)一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 [命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．]


(2)[解] ①若函数的解析式为y＝2x＋1，则这个函数是一次函数．(真命题)


②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2．(假命题)


③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0．(假命题)





1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中．


2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．





eq \([跟进训练])


3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．


(1)当eq \f(1,a)>eq \f(1,b)时，a

(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；


(3)同弧所对的圆周角不相等．


[解] (1)若eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则a

(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．


(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．


【例4】 对于a，b∈N，规定a*b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b，a与b的奇偶性相同，,a×b，a与b的奇偶性不同，))


集合M＝{(a，b)}|a*b＝12，a，b∈N*}，则M中元素的个数为( )


A．6 B．8


C．15 D．16


[思路点拨] 本题新定义两个自然数的新运算，利用新定义解方程a*b＝12，a，b∈N，分a，b同为奇数或偶数和a，b奇偶性不同进行分类推论即可．


C [分a，b奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论．


如果a，b奇偶性相同，满足条件的有1＋11＝2＋10＝3＋9＝…＝6＋6＝…＝9＋3＝10＋2＝11＋1，共11种情况，即有11组(a，b)符合M中元素的要求；


如果a，b奇偶性不同，则满足条件的有1×12＝3×4＝4×3＝12×1，共4种情况，即有4组(a，b)符合M中元素的要求．


综上，M中元素的个数为11＋4＝15．故选C ．]





数学中的定义在解题中得应用还很多，它是数学理论的基础，是进行判断、推理、论证的重要依据.在解题中充分利用定义，有时会收到事半功倍的效果.数学定义的应用蕴涵着极其丰富的内涵，深刻理解定义，可抓住问题的实质，从而找到解决问题的有效途径.本题中新定义的运算，是以自然数的奇偶作为分类的基准，就是本题解相关方程的依据.





eq \([跟进训练])


4．设集合S＝{r1，r2，…，rn}⊆{1,2,3，…，32}，有S中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 ．


15 [一个数能被5整除，可以用5k表示，k∈Z．两数之和被5整除，我们需要分析一下每个数被5除后的余数，如果两个余数之和能被5整除，则两数之和就能被5整除，否则不能．比如1和9,2和8,3和7,4和6，余数分别是1和4,2和3,3和2,4和1，按此原则，把1～32这32个数字进行归类．


集合S的元素从1～32中选取，我们将这32个数字分入以下5个集合；


S0＝{5,10,15,20,25,30}，S0中的元素共6个，都能被5整除；


S1＝{1,6,11,16,21,26,31}，S1中的元素共7个，都被5除余1；


S2＝{2,7,12,17,22,27,32}，S2中的元素共7个，都被5除余2；


S3＝{3,8,13,18,23,28}，S3中的元素共6个，都被5除余3；


S4＝{4,9,14,19,24,29}，S4中的元素共6个，都被5除余4．


S0中的元素都能被5整除，因此S0中只能选1个数字；S1中的元素，两两相加都不能被5整除；同理，S2，S3中，同组内两两相加都不能被5整除，因此可以整组挑选．但S1与S4中各任选一个元素相加，必定能被5整除，因此只能选一组，S1中7个元素，比S4更多，选S1；同理，S2与S3也只能选1组，S2的元素比S3多，因此最多的取法是S0中选1个元素，S1整组7个，S2整组7个，共1＋7＋7＝15．故n的最大值为15．]








1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．


2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写出“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．


3．数学中定理是我们逻辑推理的基础，必须在理解的基础上加以应用，数学中的定义是进行判断、推理、论证的重要依据，必须深刻理解其内涵，抓住其本质加以应用．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)陈述句都是命题．( )


(2)含有变量的语句也可能是命题．( )


(3)如果一个语句判断为假，那么它就不是命题．( )


(4)有些命题在形式上可以不是“若p，则q”的形式．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√


2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )


A．这个四边形的对角线互相平分


B．这个四边形的对角线互相垂直


C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直


D．这个四边形是平行四边形


C [把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C．]


3．下列命题是真命题的为( )


A．若a>b，则eq \f(1,a)

B．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列


C．若|x|

D．若a＝b，则eq \r(a)＝eq \r(b)


C [对于A，若a＝1，b＝－2，则eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，故A是假命题．


对于B，当a＝b＝0时，满足b2＝ac，但a，b，c不是等比数列，故B是假命题．


对于C，因为y>|x|≥0，则x2

对于D，当a＝b＝－2时，eq \r(a)与eq \r(b)没有意义，故D是假命题．]


4．定义差集A－B＝ {x|x∈A且xB}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的是( )





A B C D


A [首先根据差集定义，A－B表示从集合A中去掉A与B的公共元素后的部分，即A－B＝∁A(A∩B)，用Venn图表示如图①．那么C－(A－B)表示的集合是从C中去掉C与(A－B)的公共元素，用Venn图表示如图②．故选A．


]


① ②


5．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．


(1)末位数字是0的整数能被5整除；


(2)偶函数的图象关于y轴对称；


(3)菱形的对角线互相垂直．


[解] (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．


(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称，为真命题．


(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解命题的概念，能判断给定的语句是不是命题．(重点)


2．掌握判断命题真假的方法，能判断命题的真假．(难点、易错点)


3．了解定理和定义与命题的关系，会用定理和定义解题．(重点)


4．理解命题的结构，会分析命题的条件和结论，能把命题改写成“若p，则q”的形式．(重点)
借助命题真假的判定、定理与定义的应用培养逻辑推理素养．
命题的判断
命题真假的判断
命题的构成
数学中的新定义