高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式优秀学案设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式优秀学案设计，共11页。

3.2.2 基本不等式的应用








一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场，现在已有材料能做成l km的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？








1．利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路


(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．


常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．


(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．


2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)


(1)合理选择自变量，建立函数关系；


(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)


(3)解题注意点


①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．


②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．


③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解．





1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是( )


A．eq \f(7,2) B．4


C．eq \f(9,2) D．5


C [∵a＋b＝2，∴eq \f(a＋b,2)＝1．


∴eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))


＝eq \f(5,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,b)＋\f(b,2a)))≥eq \f(5,2)＋2eq \r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq \f(9,2)


(当且仅当eq \f(2a,b)＝eq \f(b,2a)，即b＝2a时，等号成立．)


故y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值为eq \f(9,2)．]


2．若x>0，a>0 且a为正常数，且x＋eq \f(a,x)的最小值为4，则a＝ ．


4 [因为x>0，a>0所以x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(x·\f(a,x))＝2eq \r(a)＝4，解得a＝4．]


3．直角三角形ABC的斜边AB＝4，则△ABC的面积的最大值为 ．


4 [设直角三角形ABC的另外两条直角边分别为a，b则a2＋b2＝42＝16，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)ab≤eq \f(a2＋b2,4)＝4当且仅当a＝b＝2eq \r(2)时取等号．]








【例1】 (1)已知a＞0，b＞0,2a＋b＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )


A．4 B．6 C．8 D．9


(2)设a＞b＞0，则a2＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,aa－b)的最小值是( )


A．1 B．2 C．3 D．4


(3)若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是( )


A．eq \f(2\r(2),3) B．eq \f(\r(2),3)


C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(2\r(3),3)


(1)C (2)D (3)A [(1)法一(“1”的代换)：因为 a＞0，b＞0,2a＋b＝1，


所以eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝4＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥4＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8，当且仅当b＝2a＝eq \f(1,2)时取等号，故选C．


法二 (消元法)：因为2a＋b＝1，所以b＝1－2a，又 a＞0，b＞0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,1－2a>0，))


所以eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,1－2a)＝eq \f(1－2a＋2a,a1－2a)＝eq \f(1,a1－2a)＝eq \f(2,2a1－2a)≥eq \f(2,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2a＋1－2a,2)))eq \s\up12(2))＝8，


当且仅当2a＝1－2a，即a＝eq \f(1,4)，b＝eq \f(1,2)时取等号． 故选C．


(2)因为a>b>0，所以a－b>0，a2－ab>0，则a2＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,aa－b)＝(a2－ab)＋eq \f(1,a2－ab)＋eq \f(1,ab)＋ab≥2 eq \r(a2－ab×\f(1,a2－ab))＋2 eq \r(\f(1,ab)×ab)＝4，


当且仅当a2－ab＝eq \f(1,a2－ab)且eq \f(1,ab)＝ab，即a＝eq \r(2)，b＝eq \f(\r(2),2)时取等号．故选D．


(3)法一(消元法)：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0, 所以y＝eq \f(1－x2,6x)．


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,y>0，))即eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,\f(1－x2,6x)>0，))解得0＜x＜1．


所以x＋2y＝x＋eq \f(1－x2,3x)＝eq \f(2x,3)＋eq \f(1,3x)≥2eq \r(\f(2x,3)·\f(1,3x))＝eq \f(2\r(2),3)，


当且仅当eq \f(2x,3)＝eq \f(1,3x)，即x＝eq \f(\r(2),2)，y＝eq \f(\r(2),12)时取等号．


故x＋2y的最小值为eq \f(2\r(2),3)． 故选A．


法二(配凑法)：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0,


所以x(x＋6y)＝1，


所以2x(x＋6y)＝2，因为x，y均为正数，所以3(x＋2y)＝2x＋(x＋6y)≥2eq \r(2xx＋6y)＝2eq \r(2)，


当且仅当2x＝x＋6y＝eq \r(2)，即x＝eq \f(\r(2),2)，y＝eq \f(\r(2),12)时取等号．


故x＋2y的最小值为eq \f(2\r(2),3)． 故选A．]





1．基本不等式常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．


常见形式有y＝ax＋eq \f(b,x)(积定)型和y＝ax(b－ax)(和定)型．


2．多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元后的变量的范围．


3．两次同时应用或两次应用基本不等式求最值时，多个等号必须同时取到．





eq \([跟进训练])


1．已知0

A．eq \f(1,2) B．eq \f(3,4)


C．eq \f(2,3) D．eq \f(2,5)


A [∵00，


则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1－x,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,4)，


当且仅当x＝1－x，即x＝eq \f(1,2)时取等号．]


2．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．


3 [由题意得y＝eq \f(3－x2,2x)，


∴2x＋y＝2x＋eq \f(3－x2,2x)＝eq \f(3x2＋3,2x)＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))≥3，


当且仅当x＝y＝1时，等号成立．]


3．已知x＞0，y＞0，且满足eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，求x＋2y的最小值．


[解] ∵x＞0，y＞0，eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，


∴x＋2y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)＝10＋eq \f(x,y)＋eq \f(16y,x)


≥10＋2eq \r(\f(x,y)·\f(16y,x))＝18，


当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)＝1，,\f(x,y)＝\f(16y,x)，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝3，))时，等号成立，


故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18．


【例2】 (1)已知函数y＝x＋eq \f(a,x)＋2的值构成的集合为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(3,2)


C．1 D．2


(2)已知函数y＝eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若对于任意的x∈N*，y≥3恒成立，则a的取值范围是 ．


(1)C (2) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,3)，＋∞)) [(1)由题意可得a＞0，


①当x＞0时，f(x)＝x＋eq \f(a,x)＋2≥2eq \r(a)＋2，


当且仅当x＝eq \r(a)时取等号；


②当x＜0时，f(x)＝x＋eq \f(a,x)＋2≤－2eq \r(a)＋2，


当且仅当x＝－eq \r(a)时取等号，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－2\r(a)＝0，,2\r(a)＋2＝4，))解得a＝1． 故选C．


(2) 对任意x∈N*，y≥3，即eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)≥3恒成立，


即a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(8,x)))＋3．设z＝x＋eq \f(8,x)，x∈N*，


则z＝x＋eq \f(8,x)≥4eq \r(2)，当x＝2eq \r(2)时等号成立，又x＝2时z＝6，又x＝3时z＝eq \f(17,3)．


∴a≥－eq \f(8,3)，故a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,3)，＋∞))．]





求解含参数不等式的求解策略


(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．


(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.





eq \([跟进训练])


4．已知不等式(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )


A．2 B．4


C．6 D．8


B [对任意的正实数x，y，(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋eq \f(y,x)＋eq \f(ax,y)≥1＋a＋2eq \r(a)＝(eq \r(a)＋1)2(x，y，a＞0)，当且仅当y＝eq \r(a)x时取等号，所以(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))的最小值为(eq \r(a)＋1)2，于是(eq \r(a)＋1)2≥9恒成立．所以a≥4，故选B．]


5．已知正数x，y满足x＋2eq \r(2xy)≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为__________．


2 [依题意得x＋2eq \r(2xy)≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即eq \f(x＋2\r(2xy),x＋y)≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即eq \f(x＋2\r(2xy),x＋y)的最大值为2．又λ≥eq \f(x＋2\r(2xy),x＋y)，因此有λ≥2，即λ的最小值为2．]


【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？





[解] 设每间虎笼长x m，宽y m，


则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18．


设每间虎笼面积为S，则S＝xy．


法一：由于2x＋3y≥2eq \r(2x·3y)＝2eq \r(6xy)，


所以2eq \r(6xy)≤18，得xy≤eq \f(27,2)，


即Smax＝eq \f(27,2)，当且仅当2x＝3y时，等号成立．


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4.5，,y＝3.))


故每间虎笼长为4．5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．


法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－eq \f(3,2)y．


∵x>0，∴0

∵00．∴S≤eq \f(3,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(6－y＋y,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(27,2)．


当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4．5．


故每间虎笼长为4．5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．





在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：


(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；


(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；


(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；


(4)正确写出答案．





eq \([跟进训练])


6．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝eq \f(购地总费用,建筑总面积))


[解] 设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为eq \f(2 160×104,2 000x)＝eq \f(10 800,x)．


∴每平方米的平均综合费用


y＝560＋48x＋eq \f(10 800,x)＝560＋48eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(225,x)))．


当x＋eq \f(225,x)取最小值时，y有最小值．


∵x>0，∴x＋eq \f(225,x)≥2eq \r(x·\f(225,x))＝30．


当且仅当x＝eq \f(225,x)，


即x＝15时，上式等号成立．


∴当x＝15时，y有最小值2 000元．


因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．








1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过1的代换、配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．


2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，若取不到，必须利用函数值随着自变量变化的规律性求函数的最值．





1．若实数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为( )


A．eq \r(2) B．2


C．2eq \r(2) D．4


C [因为eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，所以a＞0，b＞0，


由eq \r(ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2 eq \r(\f(1,a)·\f(2,b))＝2 eq \r(\f(2,ab))，


得ab≥2eq \r(2)(当且仅当b＝2a时取等号)，


所以ab的最小值为2eq \r(2)．应选C．]


2．已知a＞0，b＞0，若不等式eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,a＋3b)恒成立，则m的最大值为( )


A．9 B．12


C．18 D．24


B [因为a＞0，b＞0，由eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,a＋3b)，


得m≤(a＋3b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,a)＋\f(1,b)))＝eq \f(9b,a)＋eq \f(a,b)＋6．


又eq \f(9b,a)＋eq \f(a,b)＋6≥2eq \r(9)＋6＝12，


当且仅当eq \f(9b,a)＝eq \f(a,b)，即a＝3b时等号成立，


∴m≤12，∴m的最大值为12．应选B．]


3．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )


A．eq \f(3,2) eq \r(3) cm2 B．4 cm2


C．3eq \r(2) cm2 D．2eq \r(3) cm2


D [设两段长分别为x cm，(12－x)cm，则S＝eq \f(\r(3),4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)))eq \s\up12(2)＋eq \f(\r(3),4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12－x,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(\r(3),36)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x2＋12－x2))≥eq \f(\r(3),36)×eq \f(x＋12－x2,2)＝2eq \r(3)，当且仅当x＝12－x，即x＝6时取等号．故两个正三角形面积之和的最小值为2eq \r(3) cm2．]


4．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：


(1)xy的最小值；


(2)x＋y的最小值．


[解] (1)由2x＋8y－xy＝0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1，


又x＞0，y＞0，则1＝eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)≥2 eq \r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq \f(8,\r(xy))，得xy≥64，


当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64．


(2)由2x＋8y－xy＝0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1，


则x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))(x＋y)＝10＋eq \f(2x,y)＋eq \f(8y,x)≥10＋2 eq \r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18．


当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，


所以x＋y的最小值为18．学 习 目 标
核 心 素 养
1．熟练掌握利用基本不等式求条件最值和多元最值．(重点)


2．会利用基本不等式求参数的取值范围．(重点)


3．会用基本不等式求解简单的实际应用题．(重点、难点)
1．由基本不等式求最值，提升数学运算素养．


2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．
利用基本不等式求条件最值或多元最值
利用基本不等式求参数取值范围
利用基本不等式解决实际问题