北京市延庆区2021届高三上学期统测（9月）考试 数学（含答案）
展开2020-2021学年第一学期高三年级统测试卷 数学 2020.09 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回. 第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合A={x||x|<3}，B={x||x|>1}，则AB= （A） （B） （C）（D）{–2，2}（2）已知向量，，若与方向相反，则等于（A） （B） （C） （D）（3）圆上一点到原点的距离的最大值为（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （4）下列函数中，在其定义域上是减函数的是（A） （B） （C） （D） （5）若为第三象限角，则（A） （B） （C）（D）（6）设抛物线的焦点为，准线为．是抛物线上的一点，过作轴于，若，则线段的长为 （A） （B） （C） （D） （7）已知函数，则不等式的解集是（A） （B） （C） （D）（8）已知直线，平面，，那么“”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（9）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于（A） （B） （C） （D）（10）某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）（A） 年 （B）年 （C）年 （D）年第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.（11）已知复数是负实数，则实数的值为 ．（12）已知正方形的边长为2，点P满足，则____．（13）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前项的和为 ．（14）将函数y=的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，给出下列四个结论：①； ②在上单调递增；③在上有两个零点；④的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.其中所有正确结论的序号是____________________．（15）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为4，则的焦距的最小值为 ．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（16）（本小题14分） A，B，C三个班共有180名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：A班12 1313182021 B班11 11.5121315.517.520C班11 13.5151616.51921（Ⅰ）试估计B班的学生人数；（Ⅱ）从这180名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率;（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从C班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率. （17）（本小题14分）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：//平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值． （18）（本小题14分）设是公比不为1的等比数列，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）求的公比；（Ⅱ）求数列的前项和．条件①：为，的等差中项；条件②：设数列的前项和为，.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.（19）（本小题14分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°.（Ⅰ）若，，求的面积；（Ⅱ）若，求角C.（20）（本小题14分）已知椭圆C：过点A（-2，0）, 点B为其上顶点，且直线AB斜率为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积.（21）（本小题15分） 已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）当，时，求函数的最大值；（Ⅲ）当，时，判断函数的零点个数，并说明理由.延庆区2020-2021学年度高三数学统测试卷评分参考一、选择题: （每小题4分，共10小题，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. A 2.C 3.C 4.D 5. C 6.C 7.D 8. A 9. D 10. C 二、填空题: （每小题5分，共5小题，共25分）11．1； 12. 3； 13．； 14①③； 15．14题选对一个给3分，有错误不给分三、解答题：（共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤.）16. （Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自班的学生有名．根据分层抽样方法，班的学生人数估计为人. …………3分只有结果63扣1分（Ⅱ）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，…………4分设此人一周上网时长超过15小时为事件D,其中D包含的选法有3+3+4=10种， …………6分. …………7分由此估计从180名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的概率为. ……………8分只有结果而无必要的文字说明和运算步骤，扣2分.（Ⅲ）从A班的6人中随机选2人，有种选法，从C班的7人中随机选1人，有种选法，故选法总数为：种 ……………10分设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为，则中包含以下情况：（1）从A班选出的2人超15小时，而C班选出的1人不超15小时，（2）从A班选出的2人中恰有1人超15小时，而C班选出的1人超15小时， ……………11分所以. ……………14分只有，而无文字说明，扣1分17.解：（Ⅰ） 因为平面 所以 …………1分因为所以， …………2分因为 平面，所以， …………3分即（Ⅱ） 设的中点为，连接，则//， …………4分 连接，因为//且=， 所以是平行四边形， …………5分所以 //， …………6分所以平面//平面 …………7分所以//平面 …………8分（Ⅲ）以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， …………9分可得、、、、.依题意，是平面的一个法向量， …………10分，．设为平面的法向量，则，即， …………11分不妨设，可得． …………12分， …………13分因为二面角的平面角是钝角, …………14分所以，二面角的余弦值为.结果为扣一分18. 解：选① （Ⅰ）因为为的等差中项，所以 …………2分所以 ， …………3分因为 …………4分所以所以，（舍） …………6分 不能只看结果；没有扣一分，没舍扣一分选② （Ⅰ）因为，所以，…2分 因为，所以，所以 …………6分 （Ⅱ）设数列的前项和为，因为数列是以为首项，为公差的等差数列， …………8分等比数列的首项， …………9分所以 …………13分 …………14分没有证明或指明等差数列扣2分。19.解：（Ⅰ）在中，因为，所以，…1分所以， …………2分由余弦定理可得， …………3分 …………4分所以的面积为； …………6分（Ⅱ）在中，因为， …………7分， …………8分，……10分， …………12分 .…………14分直接写扣一分，无角C范围叙述的扣2分 20.解：（Ⅰ）由题意: 设直线：，. …………1分令，则，于是，. …………2分所以，. …………4分椭圆方程为. . …………5分（Ⅱ）设，且， ……………6分又，所以直线， ……………7分令， ……………8分则， ……………9分直线，令， ……………10分则， ……………11分所以四边形的面积为 ……………12分， ……………14分所以四边形的面积为.结果不对最后2分全扣 21.解：（Ⅰ）当时，函数，，……………1分， ……………2分切线的斜率， ……………3分曲线在原点处的切线方程为 ……………4分（Ⅱ），……5分令，则， ……6分当，时，，所以在上单调递增，……7分所以，即，仅在处，其余各处，所以在上单调递增， ……8分所以当时，的最大值为. ……………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，，因为，当时，，仅在处，其余各处，所以在上单调递减， ……………10分因为， ……………11分所以存在唯一，使得，即在上有且只有一个零点， ……………12分因为，………13分所以是偶函数，其图像关于轴对称，所以在上有且只有一个零点， ……14分所以在上有2个零点. ……………15分
