四川省新津中学2021届高三上学期开学考试 数学（文）（含答案）
展开新津中学高三数学9月月考试题（文科）
一、单选题
1．已知命题，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知（是虚数单位），那么复数对应的点位于复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．函数的零点所在的区间是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
5．已知则是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若函数则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．已知三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，BC⊥AD，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．π B．8π C．5π D．6π
8．函数在内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．定义一种运算，运算原理如右框图所示，则式子的值为
A． B．
C． D．
10．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )
A． B．
C． D．
11．已知函数，其中为自然对数的底数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数在定义域内单调且对任意时，都有，若方程在区间上有2个解，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．，则______.
14．函数的单调增区间是______.
15．函数的部分图象如图所示，求=________________
16．黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，，则______.
三、解答题
17．将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求几何体的体积．
18．为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取100名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：
| 使用手机 | 不使用手机 | 总计 |
学习成绩优秀 | 10 | 40 |
|
学习成绩一般 | 30 |
|
|
总计 |
|
| 100 |
（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；
（2）现从上表中不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出6人，再从这6人中随机抽取3人，求其中学习成绩优秀的学生恰有2人的概率.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
19．已知函数在区间[0,2]上的最小值是.
（1）求的表达式.
（2）写出函数的值域.
20．设P为椭圆E一点，、为椭圆的焦点，，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于P、Q两点，试问参数k和m满足什么条件时，直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
21．已知函数，其中．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值及函数的单调区间；
（2）若函数在定义域上有两个极值点，，且，求证：．
22．直线的参数方程为，曲线C的极坐标方程，
（1）写出直线l的普通方程与曲线C直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于两点A,B，若点，求的值.
四川省新津中学高2018级高三（上）9月入学考试
数学(文科)
参考答案
1．C 2．D 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A 9．D 10．C 11．B 12．A
13． 14． 15．1 16．；
17.解：（1）取中点为，连接、、．
在正方形中，为的中点，为的中点．在正方体中，且，
四边形为平行四边形，且，、分别为、的中点，且，所以，四边形为平行四边形，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，且，为的中点，且，则四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
因此，平面；……………………………………6分
（2）∵正方体的棱长为，，………………7分．……………………………………8分
又，
且，…………………10分
而，
．……………………………………12分
18．解（1）
| 使用手机 | 不使用手机 | 总计 |
学习成绩优秀 | 10 | 40 | 50 |
学习成绩一般 | 30 | 20 | 50 |
总计 | 40 | 60 | 100 |
所以有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关.…………………6分
（2）从上表中不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出6人，
其中学习成绩优秀4人，学习成绩一般2人，…………………7分
从这6人中随机抽取3人，有20种取法（一一列举出来），…………………9分
其中学习成绩优秀的学生恰有2人有12种取法，…………………10分
因此所求概率为…………………12分
19．解：（1）∵…………………1分
①当时，在上单调递增，，…………………2分
②当时，在上单调递减，，…………………3分
③当时，在上单调递减，在上单调递增，，………………4分
∴；…………………6分
（2）①当时， ，
②当时， ，，即，
③当时， ，
综上：的值域为．…………………12分
20．解：（1）由椭圆的定义可得，可得， 由可得，，则椭圆方程为； …………………4分
（2）设点，，联立，消得，
∵直线与椭圆交于不同的两点，∴，
解得，由韦达定理得，，，…………………7分
由题意知，，即
，即为，即有，…………………10分
即，即，.…………………12分
21．解：（1）由，得，
又在点处的切线与直线平行，
所以，解得．…………………2分
则，得．
当时，，单调递减，区间为；
当时，，单调递增，区间为．…………………5分
（2）证明：因为函数在定义域上有两个极值点，，且，所以在上有两个根，，且，即在上有两个不相等的根，，则，，
由题意得，解得，…………………7分
则
，
令，其中，
故．令，，
在上单调递增．由于，，
所以存在常数，使得，即，，
且当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，…………………10分
所以当时，．
又，，所以，即，
故得证．…………………12分
22．解：（1），代入第二个方程得到，所以方程为
；
根据，代入曲线C的极坐标方程，得到．…………………4分
（2）将直线l的参数方程化为代入曲线C：
得设A、B两点在直线l中对应的参数为，则
，，
所以…………………6分
