黑龙江省哈尔滨市第六中学校2021届高三上学期开学考试 数学（理）（word版含答案）

哈尔滨市第六中学2021届开学阶段性总结

高三理科数学试题

一.选择题（每题5分，共60分）

1、下列命题中正确的是  　　

A．若为真命题，则为真命题

B．已知命题，则

C．命题“若，则”的否定为：“若，则”

D．“”是“”的充分不必要条件

2、下列命题为真命题的是      　　

A．若，，则

B．若集合，，则

C．任何集合都有真子集

D．若，则至少有一个为空集

3、下列命题正确的个数为            　　

① 函数的零点是 

② ，使成立

③ 是同一函数 

④ 是非奇非偶函数

A．     B．     C．     D．

4、函数的零点位于区间        　　

A． B． C． D．

5、如果函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是      　　

A． B． C． D．

6、设，，，则            　　

A． B． C． D．

7、关于x的方程的两根都大于2,则m的取值范围是          　　

A． B．

C． D．

8、已知满足对任意都有成立，

那么的取值范围是       　　

A．           B．          C．        D．

9、奇函数满足，且在上单调递减，则的解集为           　　

A．      B．      C．    D．

10、已知点在幂函数的图像上,则函数的单调减区间为     　　

A．      B．      C．    D．

11、函数的大致图象为              　　

A．  B．   C．  D．

12、记函数的定义域为，函数，

若不等式对恒成立，则的取值范围为       　　

A． B． C． D．

二.填空题（共20分）

13、的值为________.

14、若是定义在上的偶函数，

令函数，则函数的定义域为________.

15、已知，，若，

则实数的取值范围是________.

16、下列命题中所有正确的序号是________.

（1）已知函数的图象关于直线对称，函数为奇函数，

则2是一个周期；

（2）函数和都是既奇又偶函数；

（3）已知对任意的非零实数都有，则；

（4）函数在和上都是增函数，则函数在上一定是增函数.

三.解答题（共70分）

17、（共10分）已知函数，.

(1)解不等式；

(2)若对任意都存在使得成立，求实数的取值范围．

18、（共12分）在直角坐标系中，曲线参数方程为,直线的参数方程为．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，

过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点，且点的极坐标为，

其中.

(1)求的值；

(2)若射线与直线相交于点，求的值．

19、（共12分）已知函数,.

(1)若与在处相切，求的表达式；

(2)若在上是减函数，求实数的取值范围．

20、（共12分）已知直线参数方程为，以坐标原点为

极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，与交于不同的

两点.

(1)求的取值范围；

(2)以为参数，求线段中点轨迹的参数方程．

21、（共12分）设函数，其中．

（1）当为偶函数时，求函数的单调减区间；

（2）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．

22、（共12分）已知函数,，.

（1）求函数的极值点；

（2）若时，求证：.

一、选择题

DACDB CBDBA BC

二、填空题

13.3     14.     15.     16.③

三、简答题

17.解： (1)g(x)<5⇔|2x－3|<3⇔－3<2x－3<3⇔0<x<3.

(2)由题意知{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}．

又f(x)＝|a－2x|＋|2x＋3|≥|(a－2x)＋(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|2x－3|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，

解得a≤－5或a≥－1.

所以a∈(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．

18.解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，

∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

∴曲线C的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ.

由ρ＝2，得sin θ＝，∵θ∈，∴θ＝.

(2)由题，易知直线l的普通方程为x＋y－4＝0，

∴直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0.

又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，联立，得

解得ρ＝4. ∴点B的极坐标为，

∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.

19.解： (1)因为f′(x)＝(x＞0)，所以f′(1)＝1＝a，解得a＝2.又因为g(1)＝a＋b＝f(1)＝0，所以b＝－1，所以g(x)＝x－1.

(2)因为φ(x)＝－ln x在[2，＋∞)上是减函数，所以φ′(x)＝－＝≤0在[2，＋∞)上恒成立，即x2－(2m－2)x＋1≥0在[2，＋∞)上恒成立，

则2m－2≤x＋在[2，＋∞)上恒成立．

因为x＋∈[，＋∞)，所以2m－2≤，得m≤.所以实数m的取值范围是(－∞，]．

20.解：(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1，

将代入x2＋y2＝1得t2－4tsin φ＋3＝0，(*)

由Δ＝16sin 2φ－12>0得|sin φ|>，因为0≤φ<π，

所以<φ<.

(2)由(*)知，＝2sin φ，代入中，

整理得P1P2的中点的轨迹方程为.

21.解：（1）由函数是偶函数，得，

即对于任意实数都成立，

所以.                                           

此时，则.

由，解得.                              

所以在，上单调递减.

（2）由，得.

所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.                                  

对函数求导，得.                 

由，解得，.                    

当x变化时，与的变化情况如下表所示：   

所以在，上单调递减，在上单调递增.  

又因为，，，，

所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.                                          

即当或时，函数在区间上有两个零点.

22.解:（1）的定义域为，，

当时，，

所以在上单调递增，无极值点；

当时，解得，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以函数有极大值点，为，无极小值点.

(2)令

令 

令，即(1)

在上单点递增，在上单调递减.

由（1）式得

由可得，在上单调递增，，得证.