人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词优秀导学案

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《全称量词与存在量词》


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列命题中的真命题是( )


A.∀φ∈R，函数f(x)=sin(2x＋φ)都不是偶函数


B.∃α，β∈R，使cs(α＋β)=cs α＋cs β


C.向量a=(2,1)，b=(－1,0)，则a在b方向上的投影为2


D.“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件








LISTNUM OutlineDefault \l 3 设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )


A.∀n∈N，n2>2n B.∃n∈N，n2≤2n


C.∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2=2n








LISTNUM OutlineDefault \l 3 命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )


A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2


B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2


C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2


D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2








LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列命题不是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法是( )


A.有一个x∈R，使得x2＞3


B.对有些x∈R，使得x2＞3


C.任选一个x∈R，使得x2＞3


D.至少有一个x∈R，使得x2＞3








LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列命题中的假命题是( )


A.∃x∈R，lg x=0 B.∃x∈R，cs x=1


C.∀x∈R，x3＞0 D.∀x∈R,2x＞0








LISTNUM OutlineDefault \l 3 设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )


A.∀n∈N，n2>2n B.∃n∈N，n2≤2n


C.∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2=2n








LISTNUM OutlineDefault \l 3 命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是( )


A.不存在x∈R,2x>0 B.存在x∈R,2x≥0


C.对任意的x∈R,2x≤0 D.对任意的x∈R,2x>0








LISTNUM OutlineDefault \l 3 若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，则实数a的取值范围是( )


A.(－∞，1) B.(－∞，1] C.(－1,1) D.(－1,1]








、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列命题是真命题的有________.


(1)∀x∈{1,3,5},5x＋2是奇数；


(2)∃x∈R，x2－6x－5=0；


(3)∀x∈R，|x＋1|＞0.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若命题“∃x∈R，ax2－ax－2>0”是假命题，则a的取值范围是________.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6=0”的否定是________.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 给出下列命题.


①∀x∈R，x2＋2＞0；


②∀x∈N，x4≥1；


③∃x∈Z，x3＜1.


其中是真命题的是________(把所有真命题的序号都填上).





、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 判断下列命题是含全称量词还是存在量词，并判断其真假.


(1)一次函数都是单调函数；


(2)至少有一个实数x，使x2=0；


(3)∃x∈Z，lg4x>0；


(4)∀x∈{x|x是无理数}，x4是无理数.























LISTNUM OutlineDefault \l 3 用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假.


(1)二次函数的图象是抛物线；


(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；


(3)有些四边形存在外接圆；


(4)∃a，b∈R，方程ax＋b=0无解.












































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)=ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，


命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”.


若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围.


























答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：B；


解析：


对于A，当φ=eq \f(π,2)时，f(x)=cs 2x，为偶函数，故A为假命题；


对于B，令α=eq \f(π,4)，β=－eq \f(π,2)，则cs(α＋β)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))=eq \f(\r(2),2)，


cs α＋cs β=eq \f(\r(2),2)＋0=eq \f(\r(2),2)，cs(α＋β)=cs α＋cs β成立，故B为真命题；


对于C，向量a=(2,1)，b=(－1,0)，则a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|)=eq \f(－2＋0,1)=－2，故C为假命题；


对于D，|x|≤1，即－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，


则|x|≤1不一定成立，所以“|x|≤1”为“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，p(x)”，


所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析；由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，


所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：选项C是全称命题.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：选项A，lg x=0⇒x=1；选项B，cs x=1⇒x=2kπ(k∈Z)；


选项C；x3＞0⇒x＞0；选项D,2x＞0⇒x∈R.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，p(x)”，


所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：由含有存在量词的命题否定可知，命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是“对任意的x∈R,2x>0”.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；


当a>0时，必需Δ=4－4a2>0，解得－1

综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：(1)(2)；


解析：


(1)∵5×1＋2=7,5×3＋2=17，5×5＋2=27，均为奇数，∴是真命题.


(2)∵x2－6x－5=0中，Δ=36＋20=56＞0，∴方程有两个不相等的实根，∴是真命题.


(3)∵x=－1时，|－1＋1|=0，∴是假命题.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：[－8,0]；


解析：“∃x∈R，ax2－ax－2>0”是假命题，则“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，


当a=0时，－2≤0.符合题意.


当a≠0时，要满足∀x∈R，ax2－ax－2≤0，


需有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ≤0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,a2＋8a≤0，))解得－8≤a<0，


综上，a的取值范围是[－8,0].








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6=0；


解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：①③；


解析：①由于∀x∈R，都有x2≥0，


因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0.所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题.


②由于0∈N，当x=0时，x4≥1不成立.所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.


③由于－1∈Z，当x=－1时，x3＜1成立.所以命题“∃x∈Z，x3＜1”是真命题.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)命题中含有全称量词“都”，命题为真命题.


(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，当x=0时，x2=0，命题为真命题.


(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，当x=4时，lg4x=1>0，命题为真命题.


(4)命题中含有全称量词的符号“∀”，由于x=eq \r(2)时x4=4是有理数.因此命题是假命题.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)∃f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线.它是假命题.


(2)在直角坐标系中，∃l∈{直线}，l不是一次函数的图象.它是真命题.


(3)∀x∈{四边形}，x不存在外接圆.它是假命题.


(4)∀a，b∈R，方程ax＋b=0至少有一解.它是假命题.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


若p为真，则对称轴x=－eq \f(－4,2a)=eq \f(2,a)在区间(－∞，2]的右侧，即eq \f(2,a)≥2，∴0

若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1=0无实数根.


∴Δ=[16(a－1)]2－4×16<0，∴eq \f(1,2)

∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p，q都为真，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0

故实数a的取值范围为(0.5,1].