高中第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线优秀学案设计

这是一份高中第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线优秀学案设计，共5页。
《抛物线的几何性质》


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 顶点在原点，焦点为F(1.5,0)的抛物线的标准方程是( )


A.y2=1.5x B.y2=3x C.y2=6x D.y2=－6x








LISTNUM OutlineDefault \l 3 边长为1的等边三角形OAB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程为( )


A.y2=eq \f(\r(3),6)x B.y2=－eq \f(\r(3),6)x C.y2=±eq \f(\r(3),6)x D.y2=±eq \f(\r(3),3)x








LISTNUM OutlineDefault \l 3 设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )


A.(6，＋∞) B.[6，＋∞) C.(3，＋∞) D.[3，＋∞)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是AB，抛物线的准线交x轴于点M，则∠AMB是( )


A.锐角 B.直角 C.钝角 D.锐角或钝角








LISTNUM OutlineDefault \l 3 设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )


A.(0,2) B.[0,2] C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 若直线y=2x＋eq \f(p,2)与抛物线x2=2py(p>0)相交于A，B两点，则|AB|等于( )


A.5p B.10p C.11p D.12p








LISTNUM OutlineDefault \l 3 过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2=8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )


A.2eq \r(13) B.2eq \r(15) C.2eq \r(17) D.2eq \r(19)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2=2x仅有一个公共点，这样的直线有( )


A.1条 B.2条 C.3条 D.4条








LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y2=－8x上的点P到焦点的距离的最小值是( )


A.2 B.4 C.6 D.8








LISTNUM OutlineDefault \l 3 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )


A.[-0.5,0.5] B.[－2,2] C.[－1,1] D.[－4,4]








、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y2=x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 以原点为顶点，x轴为对称轴且焦点在2x－4y＋3=0上的抛物线方程是________.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 若抛物线y2=mx与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)=1有一个共同的焦点，则m=________.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知顶点与原点O重合，准线为直线x=－eq \f(1,4)的抛物线上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，


若y1·y2=－1，则∠AOB的大小是________.





、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1=0截得的弦长为eq \r(15)，求此抛物线方程.









































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知抛物线y2=－x与直线l：y=k(x＋1)相交于A，B两点.


(1)求证：OA⊥OB；


(2)当△OAB的面积等于eq \r(10)时，求k的值.
































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：C；


解析：∵抛物线的焦点为(1.5,0)，∴p=3，且抛物线开口向右，∴抛物线的标准方程为y2=6x.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：由题意可知，抛物线的对称轴为x轴，当抛物线开口向右时，


设抛物线方程为y2=2px(p>0)，且A为x轴上方的点，则易求Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，


∴eq \f(1,4)=eq \r(3)p.∴p=eq \f(\r(3),12).∴抛物线方程为y2=eq \f(\r(3),6)x.


同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为y2=－eq \f(\r(3),6)x.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴eq \f(p,2)=3，即p=6.


又抛物线上的点到准线的距离的最小值为eq \f(p,2)，


∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：由题意可得|AB|=2p.又焦点到准线距离|FM|=p，F为AB中点，


∴|FM|=eq \f(1,2)|AB|.∴△AMB为直角三角形且∠AMB=90°.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要|FM|>4即可.


根据抛物线定义，|FM|=y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，


则x1＋x2=4p，∴y1＋y2=9p.∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|=y1＋y2＋p=10p.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：不妨设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，


由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB方程为y=－2(x－1)，


代入抛物线方程y2=8x得4(x－1)2=8x，整理得x2－4x＋1=0，


∴x1＋x2=4，x1x2=1，∴|AB|=eq \r(1＋k2|x1－x2|)=eq \r(5[x1＋x22－4x1x2])=2eq \r(15).














LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：斜率不存在时，直线x=0符合题意，


斜率存在时，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝2x，))得k2x2＋(2k－2)x＋1=0，


k=0时，符合题意，k≠0时，由Δ=0得k=eq \f(1,2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：设抛物线上的点P的坐标为(x0，y0)，则P点到焦点的距离d=|x0|＋eq \f(p,2)，故dmin=eq \f(p,2)=2.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C;


解析：准线x=－2，Q(－2,0)，设l：y=k(x＋2)，


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2=0.


当k=0时，x=0，即交点为(0,0)，当k≠0时，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1.


综上，k的取值范围是[－1,1].





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))；


解析：设所求点(x0，y0)，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(1,4)))2，又yeq \\al(2,0)=x0，∴x0=eq \f(1,8).∴y0=±eq \f(\r(2),4).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：y2=－6x；


解析：由题意知，抛物线的焦点为F(-1.5,0)，∴抛物线方程是y2=－6x.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：±8；


解析：椭圆的焦点为(±2,0).当抛物线焦点为(2,0)时，m=8，当抛物线焦点为(－2,0)时，m=－8.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：90°；


解析：由已知得抛物线方程为y2=x，


因此eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))=x1x2＋y1y2=yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＋y1y2=(－1)2＋(－1)=0.∴eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→)).∴∠AOB=90°.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：设抛物线方程为：x2=ay(a≠0)，


由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝ay，,x－2y－1＝0.))消去y得：2x2－ax＋a=0，


∵直线与抛物线有两个交点，


∴Δ=(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8.


设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则


x1＋x2=eq \f(a,2)，x1x2=eq \f(a,2)，y1－y2=eq \f(1,2)(x1－x2)，


弦长为|AB|=eq \r(x1－x22＋y1－y22)


= eq \r(\f(5,4)x1－x22)= eq \r(\f(5,4)[x1＋x22－4x1x2])=eq \f(1,4) eq \r(5a2－8a).


∵|AB|=eq \r(15)，∴eq \f(1,4) eq \r(5a2－8a)=eq \r(15)，


即a2－8a－48=0，解得a=－4或a=12，


∴所求抛物线方程为：x2=－4y或x2=12y.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)证明：易知k≠0，


联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝－x，,y＝kx＋1，))消去x，得ky2＋y－k=0.


设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2=－eq \f(1,k)，y1·y2=－1.


因为yeq \\al(2,1)=－x1，yeq \\al(2,2)=－x2，所以(y1·y2)2=x1·x2，所以x1·x2=1，所以x1x2＋y1y2=0，


即eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))=0，所以OA⊥OB.


(2)设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为(－1,0)，


所以S△AOB=eq \f(1,2)|ON|·|y1－y2|=eq \f(1,2)×|ON|×eq \r(y1＋y22－4y1·y2)=eq \f(1,2)×1× eq \r(\f(1,k2)＋4)=eq \r(10)，


解得k2=eq \f(1,36)，所以k=±eq \f(1,6).