选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀导学案

这是一份选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀导学案，共7页。
《双曲线的几何性质》


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 等轴双曲线的一个焦点是F1(-6，0)，则它的标准方程是( )


A. B. C. D.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 双曲线C：(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为eq \r(3)，则双曲线C的焦距等于( )


A.2 B.2eq \r(2) C.4 D.4eq \r(2)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )


A.2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.eq \f(3,2)


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知点P，A，B在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)上，直线AB过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积为eq \f(1,3)，则双曲线的离心率为( )


A.eq \f(2\r(3),3) B．eq \f(\r(15),3) C．2 D．eq \f(\r(10),2)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,1－a2)=1(0＜a＜1)的离心率为eq \r(2)，则a的值为( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(3),3)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知F是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )


A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,2)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若|PF1|=eq \r(6)|OP|，则C的离心率为( )


A．eq \r(5) B．2 C．eq \r(3) D．eq \r(2)











LISTNUM OutlineDefault \l 3 若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于( )


A.11 B.9 C.5 D.3


LISTNUM OutlineDefault \l 3 圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为( )


A.一个点 B.椭圆 C.双曲线 D.以上选项都有可能


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知F是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( )


A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D．eq \f(3,2)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为( )


A.一个点 B.椭圆 C.双曲线 D.以上选项都有可能


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1，F1，F2为其左、右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2=eq \f(1,2)，tan∠PF2F1=2，则此双曲线的离心率为( )


A.eq \r(5) B.eq \f(\r(5),2) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \r(3)





、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为eq \r(5)，则m的值为________.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,3m)=1的一个焦点是(0，2)，椭圆eq \f(y2,n)－eq \f(x2,m)=1的焦距等于4，则n=________．








LISTNUM OutlineDefault \l 3 设F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为eq \f(1,2)c2，则该双曲线的离心率为________．








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________．

















、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线的右焦点为(2，0).


(1)求双曲线的方程；


(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.









































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)=1(b＞0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°.


(1)求双曲线C的方程；


(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求eq \(PP1,\s\up7(―→))·eq \(PP2,\s\up7(―→))的值．







































































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：B；





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y=±x，即eq \f(b,a)=1，e=eq \f(c,a)=eq \r(2).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A.


解析：根据双曲线的对称性可知点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x，y)，


所以eq \f(xeq \\al(2,1),a2)－eq \f(yeq \\al(2,1),b2)=1，eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1，两式相减得eq \f(xeq \\al(2,1)－x2,a2)=eq \f(yeq \\al(2,1)－y2,b2)，即eq \f(yeq \\al(2,1)－y2,xeq \\al(2,1)－x2)=eq \f(b2,a2)，


因为直线PA，PB的斜率之积为eq \f(1,3)，所以kPA·kPB=eq \f(y1－y,x1－x)·eq \f(－y1－y,－x1－x)=eq \f(yeq \\al(2,1)－y2,xeq \\al(2,1)－x2)=eq \f(b2,a2)=eq \f(1,3)，


所以双曲线的离心率为e=eq \r(1＋\f(b2,a2))=eq \r(1＋\f(1,3))=eq \f(2\r(3),3).故选A.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：∵c2=a2＋1－a2=1，∴c=1，又eq \f(c,a)=eq \r(2)，∴a=eq \f(\r(2),2)，故选B.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x=2时，代入双曲线C的方程，


得4－eq \f(y2,3)=1，解得y=±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，


又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF=eq \f(1,2)|PF|·|AP|=eq \f(1,2)×3×1=eq \f(3,2).


法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x=2时，代入双曲线C的方程，得4－eq \f(y2,3)=1，


解得y=±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以eq \(AP,\s\up7(―→))=(1,0)，eq \(PF,\s\up7(―→))=(0，－3)，


所以eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(PF,\s\up7(―→))=0，所以AP⊥PF，所


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：由题可知|PF2|=b，|OF2|=c，∴|PO|=a．在Rt△POF2中，cs∠PF2O=eq \f(|PF2|,|OF2|)=eq \f(b,c)，


∵在△PF1F2中，cs∠PF2O=eq \f(|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2,2|PF2||F1F2|)=eq \f(b,c)，


∴eq \f(b2＋4c2－\r(6)a2,2b·2c)=eq \f(b,c)⇒c2=3a2，∴e=eq \r(3)．故选C．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 B.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C.


解析：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，


则QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R，即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，根据双曲线的定义，


可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线故选：C.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D.


解析：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x=2时，代入双曲线C的方程，


得4－eq \f(y2,3)=1，解得y=±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，


又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF=eq \f(1,2)|PF|·|AP|=eq \f(1,2)×3×1=eq \f(3,2).故选D.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 C.解析：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，


则QA=QP，则QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R，即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，


根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线,故选：C.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：由tan∠PF1F2=eq \f(1,2)，tan∠PF2F1=2知，PF1⊥PF2，作PQ⊥x轴于点Q，


则由△PF1Q∽△F2PQ，得|F1Q|=4|F2Q|=eq \f(8,5)c，故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)c，\f(4,5)c))，


代入双曲线的方程，有b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)c))2-a2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)c))2=a2b2，


又a2＋b2=c2，则(9c2-5a2)(c2-5a2)=0，解得eq \f(c,a)=eq \r(5)或eq \f(c,a)=eq \f(\r(5),3)(舍)，即离心率e=eq \r(5)，故选A.











、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为eq \r(5)，则m的值为________.


答案为：2；





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：5；


解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为eq \f(y2,－3m)－eq \f(x2,－m)=1，


即a2=－3m，b2=－m，所以c2=－3m－m=－4m=4，解得m=－1.


所以椭圆方程为eq \f(y2,n)＋x2=1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2=n－1=4或1－n=4，


解得n=5或－3(舍去)．








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \r(2)；


解析：设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(b,a)x))，根据矩形的性质，得|MO|=|OF1|=|OF2|=c，即x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)x))eq \s\up12(2)=c2，


则x=a，所以M(a，b)．因为△AMN的面积为eq \f(1,2)c2，所以2×eq \f(1,2)×a×b=eq \f(1,2)c2，


所以4a2(c2－a2)=c4，所以e4－4e2＋4=0，所以e=eq \r(2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \f(2\r(3),3)；


解析：如图，由题意知点A(a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y=eq \f(b,a)x，即bx-ay=0，


∴点A到l的距离d=eq \f(ab,\r(a2＋b2))．又∠MAN=60°，|MA|=|NA|=b，∴△MAN为等边三角形，


∴d=eq \f(\r(3),2)|MA|=eq \f(\r(3),2)b，即eq \f(ab,\r(a2＋b2))=eq \f(\r(3),2)b，∴a2=3b2，∴e=eq \f(c,a)=eq \r(\f(a2＋b2,a2))=eq \f(2\r(3),3)．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)由题易知F2(eq \r(1＋b2)，0)，可设M(eq \r(1＋b2)，y1)．


因为点M在双曲线C上且在x轴上方，所以1＋b2－eq \f(y\\al(2,1),b2)=1，得y1=b2，所以|F2M|=b2.


在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，|MF2|=b2，所以|MF1|=2b2.由双曲线的定义可知，


|MF1|－|MF2|=b2=2，故双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,2)=1.


(2)易知两条渐近线方程分别为l1：eq \r(2)x－y=0，l2：eq \r(2)x＋y=0.


设双曲线C上的点P(x0，y0)，两条渐近线的夹角为θ，


不妨设P1在l1上，P2在l2上，


则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|=eq \f(|\r(2)x0－y0|,\r(3))，|PP2|=eq \f(|\r(2)x0＋y0|,\r(3)).


因为P(x0，y0)在双曲线x2－eq \f(y2,2)=1上，所以2xeq \\al(2,0)－yeq \\al(2,0)=2，


又易知cs θ=eq \f(1,3)，所以eq \(PP1,\s\up7(―→))·eq \(PP2,\s\up7(―→))=eq \f(|\r(2)x0－y0|,\r(3))·eq \f(|\r(2)x0＋y0|,\r(3))cs θ=eq \f(|2x\\al(2,0)－y\\al(2,0)|,3)·eq \f(1,3)=eq \f(2,9).