高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.1 任意角的概念与弧度制7.1.2 弧度制及其与角度制的换算精品课后测评

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(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.下列转化结果错误的是( )


A．60°化成弧度是eq \f(π,3)


B．－eq \f(10,3) π化成度是－600°


C．－150°化成弧度是－eq \f(7,6) π


D．eq \f(π,12) 化成度是15°


C [对于A,60°＝60×eq \f(π,180)＝eq \f(π,3)；对于B，－eq \f(10π,3)＝－eq \f(10,3)×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×eq \f(π,180)＝－eq \f(5,6) π；对于D，eq \f(π,12)＝eq \f(1,12)×180°＝15°.]


2.若α＝－3，则角α的终边在( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


C [∵－π<－3<－eq \f(π,2) ，∴α是第三象限角．]


3.将1 920°转化为弧度数为( )


A．eq \f(16,3) B．eq \f(32,3)


C．eq \f(16π,3) D．eq \f(32π,3)


D [1 920°＝1 920×eq \f(π,180)＝eq \f(32π,3).]


4．把－eq \f(11,4) π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )


A．－eq \f(3π,4) B．－eq \f(π,4)


C．eq \f(π,4) D．eq \f(3π,4)


A [－eq \f(11π,4)＝－2π－eq \f(3π,4).


∴－eq \f(11π,4) 与－eq \f(3π,4) 是终边相同的角，且此时|－eq \f(3π,4) |＝eq \f(3π,4) 是最小的．]


5．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )


A．eq \f(π,3) B．eq \f(2π,3)


C．eq \r(3) D．2


C [如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为eq \r(3) R，所以圆弧长度为eq \r(3)R的圆心角的弧度数α＝eq \f(\r(3)R,R)＝eq \r(3).]


6．已知半径为1的扇形面积为eq \f(3,8) π，则扇形的圆心角为( )


A．eq \f(3,16) π B．eq \f(3,8) π


C．eq \f(3,4) π D．eq \f(3,2) π


C [∵S＝eq \f(1,2) rl，∴eq \f(3π,8)＝eq \f(1,2) l，∴l＝eq \f(3π,4) ，故选C．]


二、填空题


7．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的eq \f(3,2) 倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．


3 [设圆的半径为r，弧长为l，其弧度数为eq \f(l,r).将半径变为原来的一半，弧长变为原来的eq \f(3,2) 倍，则弧度数变为eq \f(\f(3,2)l,\f(1,2)r)＝3·eq \f(l,r) ，即弧度数变为原来的3倍．]


8．已知扇形的半径是16，圆心角是2弧度，则扇形的弧长是________．


32 [∵R＝16，α＝2 rad，


∴l＝α·R＝16×2＝32.]


9．若角α的终边与eq \f(8,5) π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与eq \f(α,4) 角的终边相同的角是________．


eq \f(2π,5) ，eq \f(9π,10) ，eq \f(7π,5) ，eq \f(19π,10) [由题意，得α＝eq \f(8π,5)＋2kπ，∴eq \f(α,4)＝eq \f(2π,5)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得eq \f(α,4)＝eq \f(2π,5) ，eq \f(9π,10) ，eq \f(7π,5) ，eq \f(19π,10).]


三、解答题


10．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．





[解] 取AB的中点D，连接OD，


∵120°＝eq \f(120,180) π＝eq \f(2,3) π，


∴l＝6×eq \f(2,3) π＝4π，∴eq \(AB,\s\up10(︵)) 的长为4π.





∵S扇形OAB＝eq \f(1,2) lr＝eq \f(1,2)×4π×6＝12π，


如图所示，有S△OAB＝eq \f(1,2)×AB×OD＝eq \f(1,2)×2×6cs 30°×3＝9eq \r(3).


∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9eq \r(3).


∴弓形ACB的面积为12π－9eq \r(3).


[等级过关练]


1.若α是第四象限角，则π－α是( )


A．第一象限角 B．第二象限角


C．第三象限角 D．第四象限角


C [∵α是第四象限角．∴2kπ－eq \f(π,2)<α<2kπ(k∈Z)，


∴－2kπ<－α<－2kπ＋eq \f(π,2).∴－2kπ＋π<π－α<－2kπ＋eq \f(3π,2).


∴π－α是第三象限角．]


2.集合P＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，Q＝{α|－4≤α≤4}，则P∩ Q＝( )


A．


B．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}


C．{α|－4≤α≤4}


D．{α|0≤α≤π}


B [如图，在k≥1或k≤－2时，[2kπ，(2k＋1)π]∩[－4,4]为空集，分别取k＝－1,0，于是P∩Q＝{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}．]





3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这扇形圆心角所对的弧长为________．


eq \f(2,sin 1) [设半径为R，则R sin 1＝1，∴R＝eq \f(1,sin 1) ，∴弧长l＝eq \f(2,sin 1).]


4．若角α的终边与角eq \f(π,6)的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.


－eq \f(11π,3)，－eq \f(5π,3)，eq \f(π,3)，eq \f(7π,3) [由题意，角α与eq \f(π,3)终边相同，则eq \f(π,3)＋2π＝eq \f(7,3)π，


eq \f(π,3)－2π＝－eq \f(5,3)π，eq \f(π,3)－4π＝－eq \f(11,3)π.]


5．如图，已知一长为eq \r(3) dm，宽1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．问点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．





[解] AA1所对的圆半径是2 dm，圆心角为eq \f(π,2) ，A1A2所对圆半径是1 dm，圆心角是eq \f(π,2) ，A2A3所对的圆半径是eq \r(3) dm，圆心角是eq \f(π,3) ，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×eq \f(π,2)＋1×eq \f(π,2)＋eq \r(3)×eq \f(π,3)＝eq \f(9＋2\r(3),6) π(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是eq \f(1,2)×2×π＋eq \f(1,2)×eq \f(π,2)×1＋eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \f(\r(3)π,3)＝eq \f(7π,4)(dm2).