人教B版 (2019)必修 第三册7.2.4 诱导公式精品课后测评

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.2.4 诱导公式精品课后测评，共5页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.计算sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))的值为( )


A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)


D [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2).]


2.计算sin2(π－α)－cs(π＋α)cs(－α)＋1的值是( )


A．1 B．2


C．0 D．2sin2α


B [sin2(π－α)－cs(π＋α)cs(－α)＋1＝sin2α＋cs2α＋1＝2.]


3.计算sin2150°＋sin2135°＋2sin 210°＋cs2225°的值是( )


A．eq \f(1,4) B．eq \f(3,4)


C．eq \f(11,4) D．eq \f(9,4)


A [原式＝sin230°＋sin245°－2sin 30°＋cs245°＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)－1＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).]


4．若sin(π－α)＝lg8 eq \f(1,4)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则cs(π＋α)的值为( )


A．eq \f(\r(5),3) B．－eq \f(\r(5),3)


C．±eq \f(\r(5),3) D．以上都不对


B [∵sin(π－α)＝sin α＝lg23 2－2＝－eq \f(2,3)，∴cs(π＋α)＝－cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\f(4,9))＝－eq \f(\r(5),3).]


5．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,3) ，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))＝( )


A．eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)


C．eq \f(2\r(3),3) D．－eq \f(2\r(3),3)


B [∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋α))＝－eq \f(1,3).]


6．在△ABC中，给出下列四个式子：


① sin(A＋B)＋sin C；② cs(A＋B)＋cs C；


③sin(2A＋2B)＋sin 2C；


④cs(2A＋2B)＋cs 2C．


其中为常数的是( )


A．①③ B．②③


C．①④ D．②④


B [①sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；


②cs(A＋B)＋cs C＝－cs C＋cs C＝0；


③sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C


＝sin[2(π－C)]＋sin 2C＝sin(2π－2C)＋sin 2C


＝－sin 2C＋sin 2C＝0；


④cs(2A＋2B)＋cs 2C＝cs[2(A＋B)]＋cs 2C


＝cs[2(π－C)]＋cs 2C＝cs(2π－2C)＋cs 2C


＝cs 2C＋cs 2C＝2cs 2C．故选B．]


二、填空题


7．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))＝eq \f(\r(3),3) ，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－θ))＝________.


－eq \f(\r(3),3) [∵eq \f(5π,6)－θ＋eq \f(π,6)＋θ＝π，∴eq \f(5π,6)－θ＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－θ))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))＝－eq \f(\r(3),3).]


8．若tan(5π＋α)＝m，则eq \f(sinα－3π＋csπ－α,sin－α－csπ＋α) 的值为________．


eq \f(m＋1,m－1) [由tan(5π＋α)＝m，得tan α＝m.


于是原式＝eq \f(－sin α－cs α,－sin α＋cs α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(m＋1,m－1).]


9．已知cs(508°－α)＝eq \f(12,13) ，则cs(212°＋α)＝________.


eq \f(12,13) [由于cs(508°－α)＝cs(360°＋148°－α)


＝cs(148°－α)＝eq \f(12,13) ，


所以cs(212°＋α)＝cs(360°＋α－148°)＝cs(α－148°)＝cs(148°－α)＝eq \f(12,13).]


三、解答题


10．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq \r(2)sin(π－B)，eq \r(3)cs A＝－eq \r(2)cs(π－B)，求△ABC的三个内角．


[解] 由条件得sin A＝eq \r(2)sin B，eq \r(3)cs A＝eq \r(2)cs B，


平方相加得2cs2A＝1，cs A＝±eq \f(\r(2),2)，


又∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,4)或eq \f(3,4)π.


当A＝eq \f(3,4)π时，cs B＝－eq \f(\r(3),2)<0，∴B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，


∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．


∴A＝eq \f(π,4)，cs B＝eq \f(\r(3),2)，∴B＝eq \f(π,6)，∴C＝eq \f(7,12)π.


综上所述，A＝eq \f(π,4)，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(7,12)π.


[等级过关练]


1.若角α和β的终边关于y轴对称，则下列各式中正确的是( )


A．sin α＝sin β B．cs α＝cs β


C．tan α＝tan β D．cs(2π－α)＝cs β


A [∵α和β的终边关于y轴对称，∴不妨取α＝π－β，


∴sin α＝sin(π－β)＝sin β.]


2.设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcs(πx＋β)＋4，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2 009)＝5，则f(2 015)等于( )


A．4 B．3


C．－5 D．5


D [f(2 009)＝－(asin α＋bcs β)＋4＝5，


f(2 015)＝－(asin α＋bcs β)＋4＝5.]


3.已知cs(π＋α)＝－eq \f(3,5)，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cs(α－π)＝________.


eq \f(1,5) [∵cs(π＋α)＝－cs α＝－eq \f(3,5)，∴cs α＝eq \f(3,5)，


∵π<α<2π，∴eq \f(3π,2)<α<2π，∴sin α＝－eq \f(4,5).


∴sin(α－3π)＋cs(α－π)＝－sin(3π－α)＋cs(π－α)


＝－sin(π－α)＋(－cs α)＝－sin α－cs α＝－(sin α＋cs α)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)＋\f(3,5)))＝eq \f(1,5).]


4．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin πx x<0，,fx－1－1 x>0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,6)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)))的值为________．


－2 [因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(π,6)))


＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2) ，


feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))－1＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)))－2＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))－2


＝－eq \f(1,2)－2＝－eq \f(5,2).


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,6)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,6)))＝－2.]


5．是否存在角α和β，当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈(0，π)时，等式sin(3π－α)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)cs(π＋β) 同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，请说明理由．


[解] 存在α＝eq \f(π,4) ，β＝eq \f(π,6) 使等式同时成立．理由如下：


由sin(3π－α)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)cs(π＋β) 得，


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\r(2)sinβ，,\r(3)cs α＝\r(2)csβ)) 两式平方相加得，


sin2α＋3cs2α＝2，得到sin2α＝eq \f(1,2) ，即sin α＝±eq \f(\r(2),2).


因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α＝eq \f(π,4) 或α＝－eq \f(π,4).将α＝eq \f(π,4) 代入eq \r(3) cs α＝eq \r(2) cs β，得cs β＝eq \f(\r(3),2) ，


由于β∈(0，π)，所以β＝eq \f(π,6).


将α＝－eq \f(π,4) 代入sin α＝eq \r(2) sin β，得sin β＝－eq \f(1,2) ，由于β∈(0，π)，这样的角β不存在．


综上可知，存在α＝eq \f(π,4) ，β＝eq \f(π,6) 使等式同时成立．