高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.4 诱导公式精品第1课时学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.2.4 诱导公式精品第1课时学案设计，共7页。

第1课时 诱导公式①、②、③、④








1.诱导公式①


sin(α＋k·2π)＝sin_α；


cs(α＋k·2π)＝cs_α；


tan(α＋k·2π)＝tan_α.


2.诱导公式②


sin(－α)＝－sin_α；


cs(－α)＝cs_α；


tan(－α)＝－tan_α.


3.诱导公式③


sin(π－α)＝sin α；


cs(π－α)＝－cs α；


tan(π－α)＝－tan α.


4．诱导公式④


sin(π＋α)＝－sin α；


cs(π＋α)＝－cs α；


tan(π＋α)＝tan α.


思考：公式①、②、③、④该如何记忆？


[提示] “ 函数名不变，符号看象限”





1.sin(－30°)的值是( )


A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)


C．eq \f(\r(3),2)D．－eq \f(\r(3),2)


B [sin(－30°)＝－sin 30°＝－eq \f(1,2).]


2.cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))＝________.


eq \r(2) [cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))＝cseq \f(17,4)π＋sineq \f(17,4)π


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,4)))＝cs eq \f(π,4)＋sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)]


3.化简：eq \f(cs－αtan7π＋α,sinπ－α)＝________.


1 [eq \f(cs－αtan7π＋α,sinπ－α)＝eq \f(cs αtanπ＋α,sin α)


＝eq \f(cs α·tan α,sin α)＝eq \f(sin α,sin α)＝1.]





【例1】 求下列各三角函数式的值．


(1)cs 210°；(2)sin eq \f(11,4)π；


(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(43π,6)))；(4)cs(－1 920°)．


[解](1)cs 210°＝cs(180°＋30°)＝－cs 30°＝－eq \f(\r(3),2).


(2)sineq \f(11π,4)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(3π,4)))＝sineq \f(3,4)π＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,4)))＝sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).


(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(43π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π＋\f(7π,6)))＝－sineq \f(7π,6)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2).


(4)cs(－1 920°)＝cs 1 920°＝cs(5×360°＋120°)


＝cs 120°＝cs(180°－60°)＝－cs 60°＝－eq \f(1,2).





利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：


1“ 负化正” ：用公式②或③来转化.


2“ 大化小” ：用公式①将角化为0°到360°间的角.


3“ 小化锐” ：用公式③或④将大于90°的角转化为锐角.


4“ 锐求值” ：得到锐角的三角函数后求值.








1.求下列各三角函数式的值：


(1)sin 1 320°；(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)．


[解](1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)


＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2).


法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)


＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2).


(2)法一：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,6)))＝cseq \f(31π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(7π,6)))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)))＝－cs eq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).


法二：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(5π,6)))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).


(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)


＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.


【例2】(1)已知sin(α－360°)－cs(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)cs(180°－α)等于( )


A．eq \f(m2－1,2) B．eq \f(m2＋1,2)


C．eq \f(1－m2,2) D．－eq \f(m2＋1,2)


(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－eq \f(π,6)))的值．


(1)A [sin(α－360°)－cs(180°－α)＝sin α＋cs α＝m，


sin(180°＋α)cs(180°－α)＝sin αcs α


＝eq \f(sin α＋cs α2－1,2)＝eq \f(m2－1,2).


(2)[解] ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3)，


sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝sin2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝1－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))eq \s\up8(2)＝eq \f(2,3)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)－eq \f(2,3)＝－eq \f(2＋\r(3),3).





1.解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．


2.可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．








2.已知sin β＝eq \f(1,3) ，cs(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )


A．1 B．－1


C．eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)


D [∵cs(α＋β)＝－1，


∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，


∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－eq \f(1,3).]


【例3】 化简下列各式．


(1)eq \f(tan2π－αsin－2π－αcs6π－α,csα－πsin5π－α)；


(2)eq \f(\r(1＋2sin 290°cs430°),sin 250°＋cs790°).


[解](1)原式＝eq \f(\f(sin2π－α,cs2π－α)·sin－αcs－α,csπ－αsinπ－α)


＝eq \f(－sin α－sin αcs α,cs α－cs αsin α)＝－eq \f(sin α,cs α)＝－tan α.


(2)原式＝eq \f(\r(1＋2sin360°－70°cs360°＋70°),sin180°＋70°＋cs720°＋70°)


＝eq \f(\r(1－2sin 70°cs 70°),－sin 70°＋cs 70°)＝eq \f(|cs 70°－sin 70°|,cs 70°－sin 70°)


＝eq \f(sin 70°－cs 70°,cs 70°－sin 70°)＝－1.





三角函数式的化简方法：


1利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.


2常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.


3注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cs2α＝tan eq \f(π,4).








3.化简下列各式．


(1)eq \f(csπ＋α·sin2π＋α,sin－α－π·cs－π－α)；


(2)eq \f(cs 190°·sin－210°,cs－350°·tan－585°).


[解](1)原式＝eq \f(－cs α·sin α,－sinπ＋α·csπ＋α)


＝eq \f(cs α·sin α,sin α·cs α)＝1.


(2)原式＝eq \f(cs180°＋10°·[－sin180°＋30°],cs－360°＋10°·[－tan360°＋225°])


＝eq \f(－cs 10°·sin 30°,cs 10°·[－tan180°＋45°])＝eq \f(－sin 30°,－tan 45°)＝eq \f(1,2).





1.诱导公式的记忆


诱导公式①、②、③、④的记忆口诀是“ 函数名不变，符号看象限”. 其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．


2.利用诱导公式，还可以得出如下公式


sin(2π－α)＝－sin α；


cs(2π－α)＝cs α；


tan(2π－α)＝－tan α.





1.sin 690°的值为( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2)


C．－eq \f(1,2)D．－eq \f(\r(3),2)


C [sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－eq \f(1,2).]


2.点P(cs 2 019°，sin 2 019°)落在( )


A．第一象限B．第二象限


C．第三象限D．第四象限


C [2 019°＝6×360°－141°，


∴cs 2 019°＝cs(－141°)＝cs 141°<0，


sin 2 019°＝sin(－141°)＝－sin 141°<0，


∴点P在第三象限．]


3.已知sin(π＋α)＝eq \f(4,5) ，且α是第四象限角，则cs(α－2π)的值是( )


A．－eq \f(3,5) B．eq \f(3,5)


C．±eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)


B [sin α＝－eq \f(4,5) ，又α是第四象限角，


∴cs(α－2π)＝cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(3,5).]


4.eq \f(cs360°＋α·sin360°－α,cs－α·sin－α)的化简结果为________．


1 [原式＝eq \f(cs α·sin－α,cs α·sin－α)＝1.]


学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握诱导公式①、②、③、④，并会用公式求任意角的三角函数值．(重点)


2.会用诱导公式①、②、③、④，进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明．(重点、难点)
1.通过诱导公式①、②、③、④的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．


2.借助诱导公式的应用，培养学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
给角求值问题
给值(式)求值问题
三角函数式的化简