高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.1 角的推广优质导学案

7.1　任意角的概念与弧度制

7.1.1　角的推广

1.角的概念

(1)角：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角．这两条射线分别称为角的始边和终边．由于是旋转生成的，也称为转角．

(2)角的分类：

按旋转方向可将角分为如下三类：

2.角的加减法运算

引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β)．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．

3.象限角

角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

4．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

思考：终边和始边重合的角一定是零角吗？

[提示]　不一定．零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的终边和始边也重合．

1.钟表的分针在一个半小时内转了(　　)

A．180°　　　B．－180°　　　C．540°　　　D．－540°

D　[钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过－360°，当分针转过一个半小时时，它转了－540°.]

2.下列各角中，与330°角的终边相同的角是(　　)

A．510°　　　　B．150°　　　C．－150°　　D．－390°

D　[与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D．]

3.下列说法：

①第一象限角一定不是负角；

②第二象限角大于第一象限角；

③第二象限角是钝角；

④小于180°的角是钝角、直角或锐角．

其中错误的序号为________．(把错误的序号都写上)

①②③④　[由象限角定义可知①②③④都不正确．]

【例1】(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)

A．A＝B＝C　　 B．A⊆C

C．(A∩C)＝B D．(B∪C)⊆C

(2)设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　)

A．A＝B B．B＝C

C．A＝C　　   D．A＝D

[思路探究]　利用角的概念进行判断．

(1)D(2)D　　[(1)第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°<β<90°；小于90°的角可表示为γ<90°；由三者之间的关系可知，选D．

(2)直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．]

1.判断角的概念问题的关键与技巧：

(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．

(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．

2.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：

(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．

(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．

1.有下列说法：

①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；

②终边相同的角一定相等；

③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k·360°，(k∈Z)．

其中正确说法的序号是________．

③　[①不正确．终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；

②不正确．由①可知终边相同的两个角一定相差k·360°，(k∈Z)；

③正确．因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k·360°(k∈Z)．]

【例2】(1)如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是(　　)

A．{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋45°，k∈Z}

B．{α|k·180°＋150°<α<k·180°＋225°，k∈Z}

C．{α|k·360°＋150°<α<k·360°＋225°，k∈Z}

D．{α|k·360°＋30°<α<k·180°＋45°，k∈Z}

(2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围．

[思路探究]　

(1)C　[在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋150°<α<k·360°＋225°，k∈Z}．]

(2)[解]　阴影在x轴上方部分的角的集合为：

A＝{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}．

阴影在x轴下方部分的角的集合为：B＝{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}．

所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B，即{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}．

其中B可以化为：{β|k·360°＋180°＋60°≤β<k·360°＋180°＋105°，k∈Z}．

即{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}．

集合A可以化为：{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}．

故A∪B可化为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．

表示区间角的三个步骤：

第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；

第二步：按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；

第三步：扇形区域起始、终止边界对应角α，β再加上k·360°，即得区间角集合．对顶区域，始边、终边再加上k·180°即得区间角集合．(k∈Z)．

2.写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合．

[解]　在－180°～180°内落在阴影部分角的集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}.

[探究问题]

1.由α所在象限如何求(k∈N*)所在象限？

[提示](1)代数推导法：先表示为角α所在的象限范围，再求出所在的范围，进一步由k值确定．如：当角α在第二象限时，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，则30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z，所以在第一、二、四象限．

(2)等分象限法：将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n象限时，就在n号区域．例如：当角α在第二象限时，在图k＝2时的2号区域，在图k＝3时的2号区域．但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法．

2.若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？

[提示](1)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.

(2)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.

(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.

(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.

【例3】(1)若α是第四象限角，则180°－α是(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

(2)已知α为第二象限角，则2α，分别是第几象限角？

[思路探究](1)可通过写出α的取值范围，逐步求得180°－α范围来求解；

(2)由α的范围写出2α，的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定的位置．

(1)C　[因为α是第四象限角，则角α应满足：

k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z，

所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，

则－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°，k∈Z，

当k＝0时，180°<180°－α<270°，

故180°－α为第三象限角．]

(2)[解]　∵α是第二象限角，

∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，

∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，

∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．

同理45°＋·360°<<90°＋·360°.

当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°<<90°＋n·360°，此时，为第一象限角；

当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°<<270°＋n·360°，此时，为第三象限角．

∴为第一或第三象限角．

解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或\f(α,n)的范围，再根据k与n的关系进行讨论.

1.终边在坐标轴上的角的集合表示

2.象限角的集合表示

3.对终边相同的角的说明

所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下三点：

①k是整数，这个条件不能漏掉．

②α是任意角．

③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z).

1.以下说法正确的是(　　)

A．若α是第一象限角，则2α是第二象限角

B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A⊆B

C．若k·360°<α<k·360°＋180°(k∈Z)，则α为第一或第二象限角

D．终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)

B　[对于选项B：集合A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，∴A⊆B，故选B．]

2.已知集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，集合N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则有(　　)

A．M＝N　 B．NM

C．MN D．M∩N＝

C　[由于k·90°(k∈Z)表示终边在x轴或y轴上的角，所以k·90°＋45°(k∈Z)表示终边落在y＝x或y＝－x上的角．(如图(1))

又由于k·45°＋90°(k∈Z)表示终边落在x轴、y轴、直线y＝±x 8个位置上的角(如图(2))，因而MN，故正确答案为C．]

3.若角α与角β终边相同，则α－β＝________.

k·360°(k∈Z)　[根据终边相同角的定义可知：

α－β＝k·360°(k∈Z)．]

4．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．

(1)－120°；(2)640°.

[解](1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．

当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．

(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．

当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．