高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.5 已知三角函数值求角优秀学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.5 已知三角函数值求角优秀学案，共8页。







1.已知正弦值，求角


对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上有唯一的x值和它对应，记为x＝arcsin_yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中－1≤y≤1，－\f(π,2)≤x≤\f(π,2))).


2.已知余弦值，求角


对于余弦函数y＝cs x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记为x＝arccs_y(其中－1≤y≤1,0≤x≤π)．


3.已知正切值，求角


一般地，如果y＝tan x(y∈R)且x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，那么对每一个正切值y，在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内，有且只有一个角x，使tan x＝y，记为x＝arctan_yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＜x＜\f(π,2))).


思考：符号arcsin a(a∈[－1,1])arccs a(a∈[－1,1])，arctan a(a∈R)分别表示什么？


[提示] arcsin a表示在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，正弦值为a的角；arccs a表示在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π))上，余弦值为a的角；arctan a表示在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，正切值为a的角．





1.下列说法中错误的是( )


A．arcsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝－eq \f(π,4) B．arcsin 0＝0


C．arcsin(－1)＝eq \f(3,2)πD．arcsin 1＝eq \f(π,2)


C [根据已知正弦值求角的定义知arcsin(－1)＝－eq \f(π,2)，故C项错误．]


2.已知α是三角形的内角，且sin α＝eq \f(\r(3),2)，则α＝( )


A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) D．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)


D [因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，当sin α＝eq \f(\r(3),2)时，α＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)，故选D．]


3.已知tan 2x＝－eq \f(\r(3),3)且x∈[0，π]，则x＝________.


eq \f(5π,12)或eq \f(11π,12) [∵x∈[0，π]，


∴2x∈[0,2π]．


∵tan 2x＝－eq \f(\r(3),3)，


∴2x＝eq \f(5π,6)或2x＝eq \f(11π,6)，


∴x＝eq \f(5π,12)或eq \f(11π,12).]





【例1】 已知sin x＝eq \f(\r(3),2).


(1)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，求x的取值集合；


(2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合；


(3)当x∈R时，求x的取值集合．


[思路探究] 尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解．


[解](1)∵y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，且sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，∴x＝eq \f(π,3)，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))是所求集合．


(2)∵sin x＝eq \f(\r(3),2)＞0，∴x为第一或第二象限角，且sin eq \f(π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2)，


∴在[0,2π]上符合条件的角有x＝eq \f(π,3)或x＝eq \f(2,3)π，


∴x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3))).


(3)当x∈R时，x的取值集合为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ＋\f(π,3)))，或x＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)).





1.给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．


2.对于已知正弦值求角有如下规律：








1.已知sin α＝eq \f(3,5)，根据所给范围求角α.


(1)α为锐角；(2)α∈R.


[解](1)由于sin α＝eq \f(3,5)，且α为锐角，即α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


所以α＝arcsin eq \f(3,5).


(2)由于sin α＝eq \f(3,5)，且α∈R，所以符合条件的所有角为α1＝2kπ＋arcsin eq \f(3,5)(k∈Z)，


α2＝2kπ＋π－arcsin eq \f(3,5)(k∈Z)，


即α＝nπ＋(－1)narcsin eq \f(3,5)(n∈Z).


【例2】 已知cs x＝－eq \f(1,3).


(1)当x∈[0，π]时，求值x；


(2)当x∈R时，求x的取值集合．


[思路探究] 解答本题可先求出定义arccs a的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合．


[解](1)∵cs x＝－eq \f(1,3)且x∈[0，π]，


∴x＝arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))).


(2)当x∈R时，先求出x在[0,2π]上的解．


∵cs x＝－eq \f(1,3)，故x是第二或第三象限角．


由(1)知x＝arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))是第二象限角，


又cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－arccs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))))


＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(arccs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))))＝－eq \f(1,3)，


且2π－arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3,2)π))，


所以，由余弦函数的周期性知，


当x＝arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋2kπ或


x＝2π－arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋2kπ(k∈Z)时，


cs x＝－eq \f(1,3)，即所求x值的集合是


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ±arccs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))))，k∈Z)).





cs x＝a－1≤a≤1，当x∈[0，π]时，则x＝arccs a，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±arccs a，k∈Z}.








2.已知cs x＝－eq \f(\r(2),2)且x∈[0,2π)，求x的取值集合．


[解] 由于余弦函数值是负值且不为－1，所以x是第二或第三象限角，由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,4)))＝－cs eq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),2)，所以在区间[0,2π)内符合条件的第二象限的角是x＝π－eq \f(π,4)＝eq \f(3π,4).又cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋π))＝－cs eq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),2)，所以在区间[0,2π)内符合条件的第三象限的角是x＝eq \f(π,4)＋π＝eq \f(5π,4).


故所求角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(5π,4))).


【例3】 已知tan α＝－3.


(1)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，求角α；


(2)若α∈R，求角α.


[思路探究] 尝试由arctan α的范围及给值求角的步骤求解．


[解](1)由正切函数在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数可知，符合条件tan α＝－3的角只有一个，即α＝arctan(－3)．


(2)α＝kπ＋arctan(－3)(k∈Z)．





1.已知角的正切值求角，可先求出eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内的角，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角．


2.tan α＝a，a∈R的解集为{α|α＝kπ＋arctan a，k∈Z}．








3.已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.


[解] ∵tan x＝－1＜0，


∴x是第二或第四象限角．


由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－tan eq \f(π,4)＝－1可知，


所求符合条件的第四象限角为x＝－eq \f(π,4).


又由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)π))＝－tan eq \f(π,4)＝－1，得所求符合条件的第二象限角为x＝－eq \f(5,4)π，


∴在[－2π，0]内满足条件的角是－eq \f(π,4)与－eq \f(5π,4).


[探究问题]


1.已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？


[提示] 不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个．


2.怎样求解三角方程？


[提示] 明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用arcsin a或arccs a或arctan a表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角．


【例4】 若cs x＝cseq \f(π,7)，求x的值．


[思路探究] 先求出一个周期内的角，然后利用周期性找出所有的角．


[解] 在同一个周期[－π，π]内，


满足cs x＝cseq \f(π,7)的角有两个：eq \f(π,7)和－eq \f(π,7).


又y＝cs x的周期为2π，所以满足cs x＝cseq \f(π,7)的x为2kπ±eq \f(π,7)(k∈Z)．





已知三角函数值求角的步骤：


1由三角函数值的符号确定角的象限；


2求出[0，2π上的角；


3根据终边相同的角写出所有的角.








4．已知sin x＝eq \f(\r(2),2)，且x∈[0,2π]，则x的取值集合为________．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) [∵x∈[0,2π]，且sin x＝eq \f(\r(2),2)＞0，


∴x∈(0，π)，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，


y＝sin x递增且sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，


∴x＝eq \f(π,4)，又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,4)))＝sineq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2)，


∴x＝eq \f(3π,4)也符合题意．


∴x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))).]





1.反正弦、反余弦、反正切的记法与取值范围


2.已知三角函数值求角的步骤


一、定象限；二、找锐角；三、写x∈[0,2π]的角；四、给答案．


3.若求得的角是特殊角，最好用弧度表示．





1.已知cs x＝－eq \f(\r(2),2)，π＜x＜2π，则x＝( )


A．eq \f(3π,2) B．eq \f(5π,4)


C．eq \f(4π,3) D．eq \f(7π,4)


B [因为x∈(π，2π)且cs x＝－eq \f(\r(2),2)，∴x＝eq \f(5π,4).]


2.函数y＝eq \r(3－2x)＋π－arccs(2x－3)的定义域是________．


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) [由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－2x≥0,－1≤2x－3≤1))，


解得1≤x≤eq \f(3,2)，所以函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).]


3.等腰三角形的一个底角为α，且sin α＝eq \f(3,5)，用含符号arcsin x的关系式表示顶角β＝________.


π－2arcsineq \f(3,5) [由题意，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，又sin α＝eq \f(3,5)，


所以eq \f(π,6)<α

所以β＝π－2arcsineq \f(3,5).]


4．求值：eq \f(arcsin \f(\r(3),2)－arccs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),arctan－\r(3)).


[解] arcsin eq \f(\r(3),2)＝eq \f(π,3)，arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(2π,3)，


arctan(－eq \r(3))＝－eq \f(π,3)，


∴原式＝eq \f(\f(π,3)－\f(2π,3),－\f(π,3))＝1.学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccs x，arctan x表示角．(重点、难点)


2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角．(重点)
通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
已知正弦值求角
sin x＝a(|a|≤1)
x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))
x∈[0,2π]
x＝arcsin a
0≤a≤1
－1≤a＜0
x1＝arcsin a


x2＝π－arcsin a
x1＝π－arcsin a


x2＝2π＋arcsin a
已知余弦值求角
已知正切值求角
三角方程的求解
名称
反正弦
反余弦
反正切
记法
arcsin α
arccs α
arctan α
取值范围
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))
[0，π]
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))