高中8.1.2 向量数量积的运算律优秀导学案

这是一份高中8.1.2 向量数量积的运算律优秀导学案，共8页。







1.两个向量数量积的运算律


(1)交换律：a·b＝b·a.


(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)．


(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.


思考1：根据实数乘法的分配律，得到向量数量积的分配律：


(1)实数a，b，c的乘法分配律：(a＋b)·c＝______.


(2)向量a，b的数量积的分配律：(a＋b)·c＝____.


[提示](1)ac＋bc(2)a·c＋b·c


2.重要公式：


思考2：根据实数的乘法公式，得到向量数量积的公式：


(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__________；


向量数量积公式：(a＋b)(a－b)＝________.


(2)完全平方公式：(a±b)2＝__________；


向量数量积公式：(a±b)2＝__________.


[提示](1)a2－b2 ；a2－b2


(2)a2±2ab＋b2；a2±2a·b＋b2





1.下面给出的关系式中正确的个数是( )


① 0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；


④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.


A．1 B．2


C．3 D．4


C [①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cs θ)2＝a2·b2cs 2 θ≠a2·b2，选C．]


2.已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝eq \r(2)，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是( )


A．0 B．a


C．b D．c


B [b·c＝|b||c|cs 45°＝1.∴a·(b·c)＝a.]


3.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量|a－4b|2＝( )


A．2 B．2eq \r(3)


C．6 D．12


D [∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cs 60°＋16×12＝12.]


4．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：


①a·c－b·c＝(a－b)·c；


②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；


③|a|－|b|<|a－b|；


④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.


其中正确的序号是________．


①③④ [根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，


∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，② 错误；


因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；④正确．故正确命题的序号是①③④.]





【例1】(1)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝________.





(2)(2019·东营高一检测)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，a＝eq \r(3)e1－e2，b＝e1＋λe2.


①若a⊥b，求实数λ的值；


②若a与b的夹角为60°，求实数λ的值．


[思路探究](1)利用向量垂直的充要条件转化为向量的数量积计算．


(2)利用平面向量的数量积公式以及运算律，解方程求参数的值．


(1)18 [在平行四边形ABCD中，得eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))，eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))－eq \(BA,\s\up8(→)).


由AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，得eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \(AP,\s\up8(→))·(eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→)))＝0⇒eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝－eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(BA,\s\up8(→)).


所以eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(AP,\s\up8(→))·(eq \(BC,\s\up8(→))－eq \(BA,\s\up8(→)))＝eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))－eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(BA,\s\up8(→))＝－2eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(BA,\s\up8(→))＝2eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))


＝2|eq \(AP,\s\up8(→))||eq \(AB,\s\up8(→))|cs〈eq \(AP,\s\up8(→))，eq \(AB,\s\up8(→))〉＝2|eq \(AP,\s\up8(→))|2＝18.]


(2)[解] ①由a⊥b, 得a·b＝0，则(eq \r(3)e1－e2)·(e1＋λe2)＝0，得eq \r(3)eeq \\al(2,1)＋eq \r(3)λe1·e2－e1·e2－λeeq \\al(2,2)＝0，eq \r(3)－λ＝0，所以λ＝eq \r(3).


②因为eq \r(3)e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，所以cs 〈eq \r(3)e1－e2，e1＋λe2〉＝eq \f(1,2)，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)e1－e2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e1＋λe2))＝eq \r(3)eeq \\al(2,1)＋eq \r(3)λe1·e2－e1·e2－λeeq \\al(2,2)＝eq \r(3)－λ，


|eq \r(3)e1－e2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)e1－e2))eq \s\up8(2))＝eq \r(3e\\al(2,1)－2\r(3)e1·e2＋e\\al(2,2))＝2，


|e1＋λe2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e1＋λe2))eq \s\up8(2))＝eq \r(\(e\\al(2,1)＋2λe1·e2＋λ2e\\al(2,2)))＝eq \r(1＋λ2)，∴eq \r(3)－λ＝2×eq \r(1＋λ2)×cs 60°＝eq \r(1＋λ2)，


解得λ＝eq \f(\r(3),3).





利用向量数量积的运算律计算的注意事项


1计算λa＋μb·λa＋μb，可以类比多项式乘法运算律，注意实数的乘法、数乘向量和向量的数量积在表示和意义的异同.


2三个实数的积满足结合律abc＝abc＝acb，而三个向量的“数量积”不一定满足结合律，即下列等式不一定成立：a·b·c＝a·b·c＝a·c·b，这是因为上式的本质为λc＝μa＝kb，当三个向量不共线时，显然等式不成立.








1.已知△ABC外接圆半径是1，圆心为O，且3eq \(OA,\s\up8(→))＋4eq \(OB,\s\up8(→))＋5eq \(OC,\s\up8(→))＝0，则eq \(OC,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＝( )


A．eq \f(8,5) B．eq \f(7,5) C．－eq \f(1,5) D．eq \f(4,5)


C [由3eq \(OA,\s\up8(→))＋4eq \(OB,\s\up8(→))＋5eq \(OC,\s\up8(→))＝0，得5eq \(OC,\s\up8(→))＝－3eq \(OA,\s\up8(→))－4eq \(OB,\s\up8(→))，两边平方，得25eq \(OC,\s\up8(→))2＝9eq \(OA,\s\up8(→))2＋16eq \(OB,\s\up8(→))2＋24eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))，


因为△ABC外接圆半径是1，圆心为O，所以25＝9＋16＋24eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))，即eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝0.


所以eq \(OC,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \f(1,5)(5eq \(OC,\s\up8(→)))·(eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→)))＝eq \f(1,5)(－3eq \(OA,\s\up8(→))－4eq \(OB,\s\up8(→)))·(eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→)))＝eq \f(1,5)(－3eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＋3eq \(OA,\s\up8(→))2－4eq \(OB,\s\up8(→))2＋4eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→)))＝－eq \f(1,5).]


【例2】 如图，已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB．求证：AD⊥CE.





[思路探究] 借助平面向量垂直的充要条件解题，即通过计算eq \(AD,\s\up8(→))·eq \(CE,\s\up8(→))＝0完成证明．


[证明] 设此等腰直角三角形的直角边长为a，则


eq \(AD,\s\up8(→))·eq \(CE,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up8(→))＋\(CD,\s\up8(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up8(→))＋\(AE,\s\up8(→))))


＝eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(AE,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))·eq \(AE,\s\up8(→))


＝－a2＋0＋a·eq \f(2\r(2),3)a·eq \f(\r(2),2)＋eq \f(a,2)·eq \f(2\r(2),3)a·eq \f(\r(2),2)


＝－a2＋eq \f(2,3)a2＋eq \f(1,3)a2＝0.


所以AD⊥CE.





利用向量法证明几何问题的方法技巧


1利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系，角度关系.


2进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算.


3将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线平行，向量的夹角与直线的夹角等.








2.在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，E是线段CD上一点，满足|eq \(CE,\s\up8(→))|＝2|eq \(DE,\s\up8(→))|，如图所示，设eq \(AB,\s\up8(→))＝a，eq \(AD,\s\up8(→))＝b.


(1)用a，b表示eq \(BE,\s\up8(→))；


(2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE？若存在，确定F点的位置，并求|eq \(AF,\s\up8(→))|；若不存在，请说明理由．





[解](1)根据题意得：eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))＝b，


eq \(CE,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up8(→))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up8(→))＝－eq \f(2,3)a，


∴eq \(BE,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CE,\s\up8(→))＝b－eq \f(2,3)a；


(2)结论：在线段BC上存在使得4|eq \(BF,\s\up8(→))|＝|eq \(BC,\s\up8(→))|的一点F满足AF⊥BE，此时|eq \(AF,\s\up8(→))|＝eq \f(\r(,21),4).


理由如下：


设eq \(BF,\s\up8(→))＝teq \(BC,\s\up8(→))＝tb，则eq \(FC,\s\up8(→))＝(1－t)b，(0≤t≤1)，


∴eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BF,\s\up8(→))＝a＋tb，


∵在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，


∴|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cs 60°＝eq \f(1,2)，


∵AF⊥BE，


∴eq \(AF,\s\up8(→))·eq \(BE,\s\up8(→))＝(a＋tb)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(2,3)a))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)t))a·b－eq \f(2,3)a2＋tb2


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)t))×eq \f(1,2)－eq \f(2,3)＋t＝0，


解得t＝eq \f(1,4)，从而eq \(AF,\s\up8(→))＝a＋eq \f(1,4)b，


∴|eq \(AF,\s\up8(→))|＝eq \r(,\(\(AF,\s\up8(→))eq \s\up8(2)))＝eq \r(,a2＋\f(1,2)a·b＋\f(1,16)b2)


＝eq \r(,1＋\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,16))＝eq \f(\r(,21),4).





1.向量的数量积与实数乘积运算性质的比较


2.知识导图


eq \x(交换律)——数量积运算律——eq \x(结合律)


∣


eq \x(分配律)





1.已知|a|＝3，|b|＝2，则(a＋b)·(a－b)＝( )


A．2 B．3


C．5D．－5


C [因为|a|＝3，|b|＝2，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝9－4＝5.]


2.已知▱ABCD中，|eq \(AB,\s\up8(→))|＝4，|eq \(AD,\s\up8(→))|＝3，N为DC的中点，eq \(BM,\s\up8(→))＝2eq \(MC,\s\up8(→))，则eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(NM,\s\up8(→))＝( )


A．2 B．5


C．6 D．8


C [eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(NM,\s\up8(→))＝(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BM,\s\up8(→)))·(eq \(NC,\s\up8(→))＋eq \(CM,\s\up8(→)))


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))＋\f(2,3)\(AD,\s\up8(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up8(→))－\f(1,3)\(AD,\s\up8(→))))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))2－eq \f(2,9)eq \(AD,\s\up8(→))2


＝eq \f(1,2)×42－eq \f(2,9)×32＝6.故选C．]


3.已知向量|a|＝2|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a＋2b|＝( )


A．2 B．3


C．4 D．6


A [因为向量|a|＝2|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4|a||b|cs 120°＋4＝4.所以|a＋2b|＝2.]


4．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________.


eq \r(3) [因为|2a－b|＝1，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋|b|2－4|b|cs 30°＝1，


即|b|2－2eq \r(3)|b|＋3＝0，所以(|b|－eq \r(3))2＝0，所以|b|＝eq \r(3).]


学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律．(难点)


2.能利用运算律进行向量的数量积运算．(重点，难点)
1.通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养学生的数学抽象的核心素养．


2.利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算的核心素养.
平方差公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方公式
(a±b)2＝a2±2a·b＋b2
利用向量数量积的运算律计算
利用平面向量的数量积证明几何问题
实数a，b，c
向量a，b，c
a≠0，a·b＝0⇒b＝0
a≠0，a·b＝0⇒/ b＝0
a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c
a·b＝b·c(b≠0)⇒/ a＝c
|a·b|＝|a|·|b|
|a·b|≤|a|·|b|
满足乘法结合律
不满足乘法结合律