高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.1 向量数量积的概念优质学案设计

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8.1 向量的数量积


8.1.1向量数量积的概念








1.两个向量的夹角


给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作eq \(OA,\s\up8(→))＝a，eq \(OB,\s\up8(→))＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．


(1)两个向量夹角的取值范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．


(2)当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.


2.向量数量积的定义


一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cs〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，即a·b＝|a||b|·cs〈a，b〉．


(1)当〈a，b〉∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0， \f(π,2)))时，a·b>0;


当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a·b＝0；


当〈a，b〉∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，a· b<0.


(2)两个非零向量a，b的数量积的性质：


3.向量的投影与向量数量积的几何意义


(1)给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则向量a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．


(2)一般地，如果a，b都是非零向量，则|a|cs 〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量．


(3)两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．





1.已知|a|＝3，向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，则a在b方向上的投影为( )


A．eq \f(3\r(3),2) B．eq \f(3\r(2),2) C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,2)


D [向量a在b方向上的投影为|a|cs〈a，b〉＝3×cs eq \f(π,3)＝eq \f(3,2).故选D．]


2.在△ABC中，eq \(AB,\s\up8(→))＝a，eq \(BC,\s\up8(→))＝b，且b·a＝0，则△ABC是( )


A．锐角三角形B．钝角三角形


C．直角三角形D．无法确定


C [在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．]


3.如图，在△ABC中，eq \(AC,\s\up8(→))，eq \(AB,\s\up8(→))的夹角与eq \(CA,\s\up8(→))，eq \(AB,\s\up8(→))的夹角的关系为________．





互补 [根据向量夹角定义可知向量eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(AC,\s\up8(→))夹角为∠BAC，而向量eq \(CA,\s\up8(→))，eq \(AB,\s\up8(→))夹角为π－∠BAC，故二者互补．]


4．如图所示，一个大小为5 N，与水平方向夹角37°的拉力F作用在小车上，小车沿水平方向向右运动．运动过程中，小车受到的阻力大小为3 N，方向水平向左．小车向右运动的距离为2 m的过程中，小车受到的各个力都没有发生变化．求在此过程中：拉力F对小车做的功(取cs37°≈0.8)为_____．小车克服阻力做的功为______．





8 J 6 J [拉力F对小车做的功WF＝FScs θ＝5×2×0.8 J＝8 J，


小车克服阻力做的功为W克f＝－Wf＝3×2 J＝6 J．]








【例1】(1)(2019·东营高一检测)已知向量|a|＝2，|b|＝eq \r(3)，且a·b＝－3，则〈a，b〉＝( )


A．eq \f(π,6) B．eq \f(2π,3) C．eq \f(3π,4) D．eq \f(5π,6)


(2)已知△ABC中， AB＝4，BC＝2，eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝－4，则向量eq \(BC,\s\up8(→))与eq \(CA,\s\up8(→))的夹角为________， 向量eq \(AB,\s\up8(→))与eq \(CA,\s\up8(→))的夹角为________．


[思路探究](1)由平面向量的夹角公式计算夹角的余弦值再求角．


(2)先由向量的数量积公式计算B，再由平面几何性质计算∠ACB，∠BAC，最后求向量的夹角．


(1)D(2)90° 150° [ (1)因为向量|a|＝2，|b|＝eq \r(3)，且a·b＝－3，所以cs 〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(\r(3),2)，


又〈a，b〉∈[0, π]，所以〈a，b〉＝eq \f(5π,6).


(2)在△ABC中，因为AB＝4，BC＝2，eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝－4，


所以|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|cs 〈eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(BC,\s\up8(→))〉＝－4，


得4×2cs(π－B)＝－4，所以cs B＝eq \f(1,2)，得B＝60°.


如图，延长BC到D，使CD＝BC，则△ABD为等边三角形，所以AC⊥BC，∠BAC＝30°，所以向量eq \(BC,\s\up8(→))与eq \(CA,\s\up8(→))的夹角为90°，eq \(AB,\s\up8(→))与eq \(CA,\s\up8(→))的夹角为150°.]





求平面向量的夹角的方法技巧


1已知平面向量的长度和数量积，利用夹角余弦公式计算cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)，若是特殊角，再求向量的夹角.


2在△ABC中，注意三角形的内角与平面向量的夹角的区别和联系，常常利用几何图形确定是“相等”还是“互补”的关系.








1.若两个单位向量的数量积等于－1，则这两个单位向量的夹角为( )


A．0 B．eq \f(π,2) C．eq \f(2π,3) D．π


D [设两个单位向量分别为e1，e2，则e1·e2＝cs 〈e1，e2〉＝－1，由于〈e1，e2〉∈[0, π]，


所以〈e1，e2〉＝π.]


2.已知a是单位向量，且3a·b＝|b|，则sin〈a，b〉＝________.


eq \f(2\r(2),3) [因为a是单位向量，且3a·b＝|b|，则3|a||b|cs 〈a，b〉＝|b|，得cs 〈a，b〉＝eq \f(1,3)，


又sin2〈a，b〉＋cs 2〈a，b〉＝1，得sin2〈a，b〉＝eq \f(8,9).又0≤〈a，b〉≤π，得sin〈a，b〉＝eq \f(2\r(2),3).]


【例2】(1)以下四种说法中正确的是________．(填序号)


①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；


②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角；


③△ABC中，如果eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝0，那么△ABC为直角三角形；


④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2.


(2)已知等腰△ABC的底边BC长为4，则eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝________.


[思路探究] 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．


(1)③④(2)8 [(1)由数量积的定义知a·b＝|a||b|·cs θ(θ为向量a，b的夹角)．


①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错；


②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；


③由eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确；


④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确．


(2)如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．


因为AB＝AC，


所以BD＝eq \f(1,2)BC＝2，


于是|eq \(BA,\s\up8(→))|cs∠ABC＝|eq \(BD,\s\up8(→))|


＝eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up8(→))|＝eq \f(1,2)×4＝2，


所以eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝|eq \(BA,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|cs∠ABC＝4×2＝8.]





1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．


2.求平面向量数量积的方法：


(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cs θ.


(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.








3.给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cs θ表示向量b在向量a方向上的投影长．其中正确的是________．(填序号)


①②⑥ [由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；


若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，故②正确；


a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；


对于④应有|a||b|≥a·b，所以④不正确；


对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤不正确；


⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；


当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错；


|b|cs θ表示向量b在向量a方向上的正投影的数量，而非投影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．]


【例3】(1)(2019·永州高一检测)已知向量b的模为1，且b在a方向上的投影的数量为eq \f(\r(3),2)，则a与b的夹角为( )


A．30° B．60°


C．120° D．150°


(2)已知平面向量|a|＝2，|b|＝6且a·b＝－4，则a在b上投影的数量为________，b在a上投影的数量为________．


[思路探究](1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cs 〈a，b〉，再求向量的夹角．


(2)先由平面向量数量积的公式计算cs 〈a，b〉，再计算投影的数量．


(1)A(2)－eq \f(2,3) －2 [(1)因为向量b的模为1.且b在a方向上的投影的数量为eq \f(\r(3),2)，则|b|cs 〈a，b〉＝eq \f(\r(3),2)，


得cs 〈a，b〉＝eq \f(\r(3),2)，因为〈a，b〉∈[0, π]，所以〈a，b〉＝eq \f(π,6)＝30°.


(2)因为平面向量|a|＝2，|b|＝6且a·b＝－4，


所以|a||b|cs 〈a，b〉＝－4，得cs 〈a，b〉＝－eq \f(1,3).


所以a在b上投影的数量为|a|cs 〈a，b〉＝－eq \f(2,3)，b在a上投影的数量为|b|cs 〈a，b〉＝－2.]





关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项


1向量a在b所在直线上的投影是一个向量，向量a在b所在直线上的投影的数量是一个实数.


2向量a在向量b上的投影的数量是|a|cs 〈a，b〉，向量b在向量a上的投影的数量是|b|cs〈a，b〉，二者不能混为一谈.








4．(2019·青岛高一检测)如图，圆心为C的圆的半径为r，弦AB的长度为2，则 eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))的值为( )





A．r B．2r


C．1 D．2


D [如图，作AB的中点H，连接CH，则向量eq \(AC,\s\up8(→))在eq \(AB,\s\up8(→))方向上的投影的数量为AH＝|eq \(AC,\s\up8(→))|cs ∠CAB，


所以eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(AC,\s\up8(→))|cs ∠CAB＝|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(AH,\s\up8(→))|＝2.]





5．已知向量a在向量b上的投影的数量是2，|b|＝3，则a·b＝________.


6 [因为向量a在向量b上的投影的数量是2，|b|＝3，则a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉＝(|a|cs 〈a，b〉)|b|＝2×3＝6.]





1.对正投影的三点诠释


(1)a·b等于|a|与b在a方向上的正投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的正投影的乘积．其中a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影是不同的．


(2)b在a方向上的正投影为|b|cs θ(θ是a与b的夹角)，也可以写成eq \f(a·b,|a|) .


(3)正投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．


2.知识导图


eq \x(物理背景)——向量数量积——eq \x(概念公式)


∣


eq \x(几何意义与变形公式)





1.已知平面向量|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝eq \f(π,3)，则a·b＝( )


A．2 B．3


C．6 D．0


B [因为|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝eq \f(π,3)，则a·b＝|a||b|cs eq \f(π,3)＝2×3×eq \f(1,2)＝3.]


2.已知平面向量|a|＝1，|b|＝2，则a2＋b2＝( )


A．2 B．3


C．5 D．－5


C [因为|a|＝1，|b|＝2，


所以a2＋b2＝|a|2＋|b|2＝5.]


3.已知向量|a|＝6，|b|＝2，向量a，b的夹角为120°，则向量a在b上的投影的数量为( )


A．1 B．3


C．－1 D．－3


D [根据向量数量积的几何意义，向量a在b上的投影的数量为|a|cs 120°＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－3.]


4．已知等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD和AC的夹角为________，eq \(CD,\s\up8(→))和eq \(AC,\s\up8(→))的夹角为________．


45° 135° [等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD⊥AB, CD和AC的夹角为45°，eq \(CD,\s\up8(→))和eq \(AC,\s\up8(→))的夹角为135°.]


学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(难点)


2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．(重点)


3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直．(重点，难点)
1.通过物理学中力对物体做功引出向量的数量积概念，培养学生数学抽象的素养．


2.利用向量的投影领会向量的数量积的几何意义，提高学生几何直观的数学素养.
不等式
|a·b|≤ |a||b|
恒等式
a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝eq \r(,a·a)
向量垂直


的充要条件
a⊥b ⇔a·b＝0
平面向量的夹角
与向量数量积有关的概念
平面向量数量积的几何意义