高中人教B版 (2019)7.2.4 诱导公式优秀第2课时2课时学案

这是一份高中人教B版 (2019)7.2.4 诱导公式优秀第2课时2课时学案，共8页。







1.诱导公式⑤


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α；


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α.


2.诱导公式⑥


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝cs α；


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－sin α.


3.诱导公式⑦


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝－cs α；


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝sin α.


4．诱导公式⑧


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－cs α；


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sin α.


思考：各组诱导公式虽然形式不同，但存在着一定的规律，有人把它概括为“奇变偶不变，符号看象限”，你理解这句话的含义吗？


[提示] 诱导公式可以归纳为k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)的三角函数值．当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的异名三角函数值．然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”．值得注意的是，这里的奇和偶分别指的是eq \f(π,2)的奇数倍或偶数倍；符号看象限指的是等式右边的正负号恰为把α看成锐角时，原函数值的符号．





1.已知sin 40°＝a，则cs 130°＝( )


A．a B．－a


C．eq \r(1－a2)D．－eq \r(1－a2)


B [cs 130°＝cs(90°＋40°)＝－sin 40°＝－a.]


2.若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))>0，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))<0，则θ是( )


A．第一象限角B．第二象限角


C．第三象限角D．第四象限角


C [由于cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝－sin θ>0，所以sin θ<0，


又因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝cs θ<0，所以角θ的终边落在第三象限，故选C．]


3.如果cs(π＋A)＝－eq \f(1,2) ，那么sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))等于( )


A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)


C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2)


B [cs(π＋A)＝－cs A＝－eq \f(1,2) ，


∴cs A＝eq \f(1,2) ，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＝cs A＝eq \f(1,2).]





【例1】(1)已知cs(π＋α)＝－eq \f(1,2)，α为第一象限角，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))的值．


(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))的值．


[解](1)∵cs(π＋α)＝－cs α＝－eq \f(1,2)，


∴cs α＝eq \f(1,2)，又α为第一象限角．


则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α＝－eq \r(1－cs2α)


＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(2))＝－eq \f(\r(3),2).


(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))


＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))·sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))


＝－eq \f(1,3)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))


＝－eq \f(1,3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(1,9).





这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如 eq \f(π,3)－α与 eq \f(π,6)＋α， eq \f(π,3)＋α与 eq \f(π,6)－α， eq \f(π,4)－α与 eq \f(π,4)＋α等互余， eq \f(π,3)＋θ与 eq \f(2π,3)－θ， eq \f(π,4)＋θ与 eq \f(3π,4)－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.








1.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(\r(3),3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))的值．


[解] ∵eq \f(π,6)＋α＋eq \f(π,3)－α＝eq \f(π,2)，∴eq \f(π,3)－α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α)).


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(\r(3),3).


【例2】 化简eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)－α)),sin[k＋1π＋α]cskπ＋α)，其中k∈Z.


[解] k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则


原式＝eq \f(cs2mπ＋\f(π,2)－αsin2mπ－\f(π,2)－α,sin[2m＋1π＋α]cs2mπ＋α)


＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α)),sinπ＋αcs α)


＝eq \f(－sin αcs α,－sin αcs α)＝1.


k为奇数时，可设k＝2m＋1(m∈Z)．


仿上化简得：原式＝1.


故原式＝1.





用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.








2.已知f(α)＝eq \f(sin－αcsπ＋αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),csπ－αsin2π＋αtanπ＋α).


(1)化简f(α)；


(2)若角α的终边在第二象限且sin α＝eq \f(3,5) ，求f(α)．


[解](1)f(α)＝eq \f(sin－αcsπ＋αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),csπ－αsin2π＋αtanπ＋α)


＝eq \f(－sin α－cs αsin α,－cs αsin αtan α)＝－cs α.


(2)由题意知cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5) ，


∴f(α)＝－cs α＝eq \f(4,5).





【例3】 已知f(x)＝eq \f(sinπ－xcsπ＋xcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－x)),cs3π－xsinπ－xsin－π＋xsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋x))).


(1)化简f(x)；


(2)若x是第三象限角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)π))＝eq \f(1,5)，求f(x)的值；


(3)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31,3)π)).


[解](1)原式＝eq \f(sin x－cs xcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π＋\f(π,2)－x)),csπ－xsin xsin－π＋xsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)))


＝eq \f(sin x－cs x\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x)))),－cs xsin x－sin xcs x)


＝eq \f(sin x－cs xsin x－sin x,－cs xsin x－sin xcs x)


＝tan x.


(2)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)π))＝－sin x，


∴sin x＝－eq \f(1,5).


∵x是第三象限角，


∴cs x＝－eq \r(1－sin2x)＝－eq \f(2\r(6),5).


∴f(x)＝tan x＝eq \f(sin x,cs x)＝eq \f(1,2\r(6))＝eq \f(\r(6),12).


(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31,3)π))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31,3)π))


＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10π＋\f(π,3)))＝－tan eq \f(π,3)＝－eq \r(3).





本题是与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．








3.已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．


[解] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq \f(3,5)，x2＝2，


由α是第三象限角，得sin α＝－eq \f(3,5)，则cs α＝－eq \f(4,5)，


∴eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),sin αcs α)·tan2α


＝eq \f(cs α－sin α,sin αcs α)·tan2α＝－tan2α＝－eq \f(sin2α,cs2α)＝－eq \f(9,16).





1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“ 奇变偶不变，符号看象限” ，是记住这些公式的有效方法．


2.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．





1.若sin(3π＋α)＝－eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))等于( )


A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)


C．eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)


A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－eq \f(1,2)，∴sin α＝eq \f(1,2).


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sin α＝－eq \f(1,2).]


2.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值为( )


A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)


C．－eq \f(2\r(2),3) D．eq \f(2\r(2),3)


A [cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)＋\f(π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(1,3).]


3.如果cs α＝eq \f(1,5)，且α是第四象限的角，，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝________.


eq \f(2\r(,6),5) [∵cs α＝eq \f(1,5)，且α是第四象限角，


∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(2\r(6),5).


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－sin α＝eq \f(2\r(,6),5).]


4．已知sin φ＝eq \f(6,11) ，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)＋φ))＋sin(3π－φ)的值．


[解] ∵sin φ＝eq \f(6,11) ，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)＋φ))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π－\f(π,2)＋φ))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋φ))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－φ))＝sin φ＝eq \f(6,11) ，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)＋φ))＋sin(3π－φ)＝eq \f(6,11)＋sin(π－φ)


＝eq \f(6,11)＋sin φ＝eq \f(12,11).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧，能正确运用这些公式求任意角的三角函数值．(重点)


2.能运用诱导公式进行简单的三角函数的化简与恒等式的证明．(重点、难点)
1.通过诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．


2.通过诱导公式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.
利用诱导公式求值
利用诱导公式化简
诱导公式的综合应用