人教B版 (2019)必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式优秀导学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式优秀导学案，共8页。







同角三角函数的基本关系


(1)平方关系：sin2 α＋cs2 α＝1.


商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan_αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).


(2)语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．


思考：“同角”一词的含义是什么？


[提示] 一是“角相同”，如sin2α＋cs2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cs215°＝1，sin2eq \f(π,19)＋cs2eq \f(π,19)＝1等．





1.已知α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(,5),5)，则tan α＝( )


A．－eq \f(1,2) B．2


C．eq \f(1,2)D．－2


A [∵α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(,5),5)，


∴cs α＝－eq \r(,1－sin2α)＝－eq \r(,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,5),5)))eq \s\up8(2))＝－eq \f(2\r(,5),5)，


则tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(1,2)，故选A．]


2.已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，则sin4α－cs4α的值为( )


A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(3,5)


C．eq \f(1,5) D．eq \f(3,5)


B [∵cs2α＝1－sin2α＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5)，


∴sin4α－cs4α＝(sin2α＋cs2α)(sin2α－cs2α)＝eq \f(1,5)－eq \f(4,5)＝－eq \f(3,5).]


3.若sin α＋3cs α＝0，则eq \f(cs α＋2sin α,2cs α－3sin α)的值为________．


－eq \f(5,11) [因为sin α＋3cs α＝0，所以tan α＝－3，因此


原式＝eq \f(1＋2tan α,2－3tan α)＝eq \f(1＋2×－3,2－3×－3)＝－eq \f(5,11).]





【例1】(1)若sin α＝－eq \f(4,5)，且α是第三象限角，求cs α，tan α的值；


(2)若cs α＝eq \f(8,17)，求tan α的值；


(3)若tan α＝－eq \f(15,8)，求sin α的值．


[思路探究] 对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果．


[解](1)∵sin α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，


∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(3,5)，


tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))＝eq \f(4,3).


(2)∵cs α＝eq \f(8,17)>0，


∴α是第一、四象限角．


当α是第一象限角时，


sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,17)))eq \s\up8(2))＝eq \f(15,17)，


∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(15,8)；


当α是第四象限角时，


sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,17)))eq \s\up8(2))＝－eq \f(15,17)，


∴tan α＝－eq \f(15,8).


(3)∵tan α＝－eq \f(15,8)<0，


∴α是第二、四象限角．


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α＝\f(sin α,cs α)＝－\f(15,8)，,sin2α＋cs2α＝1，))可得sin2α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,17)))eq \s\up8(2).


当α是第二象限角时，sin α＝eq \f(15,17)；


当α是第四象限角时，sin α＝－eq \f(15,17).





利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：


(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；


(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．








1.已知sin αcs α＝－eq \f(12,25)，且0<α<π，求tan α的值．


[解] 法一：∵sin αcs α＝－eq \f(12,25)，sin2α＋cs2α＝1，


∴sin2α＋cs2α＋2sin αcs α＝1＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,25)))＝eq \f(1,25)，


∴(sin α＋cs α)2＝eq \f(1,25)，∴sin α＋cs α＝±eq \f(1,5).


同理(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25).


∵sin αcs α＝－eq \f(12,25)<0,0<α<π，


∴eq \f(π,2)<α<π，


∴sin α>0，cs α<0，


∴sin α－cs α＝eq \f(7,5).


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＋cs α＝±\f(1,5),sin α－cs α＝\f(7,5)))，


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(4,5),cs α＝－\f(3,5)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(3,5),cs α＝－\f(4,5)))，


∴tan α＝－eq \f(4,3)或tan α＝－eq \f(3,4).


法二：∵sin αcs α＝－eq \f(12,25)，


∴eq \f(sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝－eq \f(12,25)，


∴eq \f(tan α,tan2α＋1)＝－eq \f(12,25)，


∴12tan2α＋25tan α＋12＝0，


∴(3tan α＋4)(4tan α＋3)＝0，


∴tan α＝－eq \f(4,3)或tan α＝－eq \f(3,4).


【例2】 已知tan α＝3，求下列各式的值．


(1)eq \f(4sin α－cs α,3sin α＋5cs α)；


(2)eq \f(sin2α－2sin α·cs α－cs2α,4cs2α－3sin2α)；


(3)eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(1,2)cs2α.


[解](1)原式＝eq \f(4tan α－1,3tan α＋5)＝eq \f(4×3－1,3×3＋5)＝eq \f(11,14).


(2)原式＝eq \f(tan2α－2tan α－1,4－3tan2α)＝eq \f(9－2×3－1,4－3×32)＝－eq \f(2,23).


(3)原式＝eq \f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)＝eq \f(\f(3,4)×9＋\f(1,2),9＋1)＝eq \f(29,40).





化切求值的方法技巧


1已知tan α＝m，可以求 eq \f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α) 或


eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,dsin2α＋esin αcs α＋fcs2α) 的值，将分子分母同除以cs α或cs2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的.


2对于asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cs2α进行代替后分子分母同时除以cs2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值.








2.已知tan α＝2，求下列各式的值：


(1)eq \f(2sin α－3cs α,4sin α－9cs α)；


(2)4sin2α－3sin αcs α－5cs2 α.


[解](1)eq \f(2sin α－3cs α,4sin α－9cs α)＝eq \f(2tan α－3,4tan α－9)＝eq \f(2×2－3,4×2－9)＝－1.


(2)4sin2α－3sin αcs α－5cs2α＝eq \f(4sin2α－3sin αcs α－5cs2α,sin2α＋cs2α).


这时分子和分母均为关于sin α，cs α的二次齐次式．


因为cs2α≠0，所以分子和分母同除以cs2α，


则4sin2α－3sin αcs α－5cs2α＝eq \f(4tan2α－3tan α－5,tan2α＋1)＝


eq \f(4×4－3×2－5,4＋1)＝1.


【例3】 若sin α·tan α<0，化简eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＋eq \r(\f(1＋sin α,1－sin α)).


[解] ∵sin α·tan α<0，∴cs α<0.


原式＝eq \r(\f(1－sin α1＋sin α,1＋sin α2))＋eq \r(\f(1＋sin α1－sin α,1－sin α2))


＝eq \f(|cs α|,|1＋sin α|)＋eq \f(|cs α|,|1－sin α|)＝eq \f(－cs α,1＋sin α)＋eq \f(－cs α,1－sin α)


＝eq \f(－2cs α,1－sin2α)＝－eq \f(2,cs α).





解答此类题目常用的方法有：


1化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.


2对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.


3对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cs2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.








3.化简：eq \r(1－tan θ·cs2θ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,tan θ)))·sin2θ).


[解] 原式＝eq \r(\f(cs θ－sin θ,cs θ)·cs2θ＋\f(sin θ＋cs θ,sin θ)·sin2θ)


＝eq \r(cs2θ－sin θ·cs θ＋sin2θ＋sin θ·cs θ)


＝eq \r(cs2θ＋sin2θ)


＝1.





1.同角三角函数基本关系式的变形形式


(1)平方关系：1－sin2 α＝cs2 α，1－cs2 α＝sin2 α.


(2)商数关系：sin α＝tan α·cs α，cs α＝eq \f(sin α,tan α).


2.已知sin α±cs α，整体代入求值


已知sin α±cs α求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式：


(sin α＋cs α)2＝1＋2sin α cs α；


(sin α－cs α)2＝1－2sin α cs α；


(sin α＋cs α)2＋(sin α－cs α)2＝2；


(sin α－cs α)2＝(sin α＋cs α)2－4sin α cs α.


所以知道sin α＋cs α，sin α－cs α，sin α·cs α这三者中任何一个，另两个式子的值均可求出．


3.应用平方关系式由sin α求cs α或由cs α求sin α时，注意α的范围，如果出现无法确定的情况一定要对α所在的象限进行分类讨论，以便确定其符号.





1.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )


A．tan α＝－eq \f(sin α,cs α) B．cs α＝－eq \r(1－sin2 α)


C．sin α＝－eq \r(1－cs2 α)D．tan α＝eq \f(cs α,sin α)


B [由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cs α＜0，sin α＞0，故B项正确．]


2.已知α是第四象限角，cs α＝eq \f(12,13)，则sin α等于( )


A．eq \f(5,13)B．－eq \f(5,13)


C．eq \f(5,12)D．－eq \f(5,12)


B [由条件知sin α＝－eq \r(1－cs2α)


＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))eq \s\up8(2))＝－eq \f(5,13).]


3.已知sin α＋cs α＝eq \f(1,2)，则sin αcs α＝________.


－eq \f(3,8) [∵sin α＋cs α＝eq \f(1,2)，


∴(sin α＋cs α)2＝eq \f(1,4).


∴sin2α＋2sin αcs α＋cs2α＝eq \f(1,4).


∴1＋2sin αcs α＝eq \f(1,4).


∴sin αcs α＝－eq \f(3,8).]


4．已知tan α＝eq \f(4,3)，且α是第三象限的角，求sin α，cs α的值．


[解] 由tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(4,3)得


sin α＝eq \f(4,3)cs α.①


又∵sin2α＋cs2α＝1，②


由①②得eq \f(16,9)cs2α＋cs2α＝1.


∴cs2α＝eq \f(9,25).


又∵α是第三象限的角，


∴cs α＝－eq \f(3,5).


∴sin α＝eq \f(4,3)cs α＝－eq \f(4,5).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)


2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)
1.通过同角三角函数基本关系式推理，培养学生的逻辑推理素养．


2.借助同角三角函数基本关系式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.
已知一个三角函数值求另两个三角函数值
化切求值
应用同角三角函数关系化简