高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第4章 指数与对数本章综合与测试优秀课时训练

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第4章 指数与对数本章综合与测试优秀课时训练，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(十二) 从函数观点看一元二次方程


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．函数y＝x2－(a＋1)x＋a的零点的个数是( )


A．1 B．2


C．1或2 D．0


C [由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时函数的零点为1个；当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点的个数是1或2．]


2．函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点为－2和3，那么函数y＝cx2－bx＋a的零点为( )


A．－eq \f(1,3)和eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)和－eq \f(1,2)


C．－3和2 D．无法确定


A [由题意知，－2＋3＝－eq \f(b,a)，－2×3＝eq \f(c,a)， ∴b＝－a，c＝－6a，


由cx2－bx＋a＝0得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1＝－eq \f(1,3)，x2＝eq \f(1,2)，故选A．]


3．关于x的函数y＝ x2－2ax－8a2 (a>0)的两个零点解集为x1, x2，且x2－x1＝15，则a＝( )


A．eq \f(5,2) B．eq \f(7,2)


C．eq \f(15,4) D．eq \f(15,2)


A [由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2．


由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝eq \f(5,2)．故选A．]


4．已知函数y＝x2－6x＋5－m的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是( )


A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，－3))


B．(－4，－3]


C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，－3))


D．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)


C [x2－6x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数y＝x2－6x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，根据图象得：方程的判别式Δ>0，当x＝2时函数值y>0，函数对称轴x＝3>2．即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(62－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－m))>0，,4－12＋5－m>0，))解得－4

二、填空题


5．若函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝ ．


1 [因为函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，所以m，n是方程x2－ax＋a＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝a，,mn＝a，)) 所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(m＋n,mn)＝1．]


6．若函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a的取值集合为 ．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) [当a＝0时，由y＝0得x＝－2符合题意，当a≠0时，由y＝0得x1＝－2，x2＝－eq \f(1,a)，因为函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，所以－eq \f(1,a)＝－2 即a＝eq \f(1,2)，所以实数a的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))．]


7．函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为 ．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(9,4))) [因为函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝32－4m>0，,x1＋x2＝－3<0，,x1x2＝m>0，))解得0

三、解答题


8．求下列函数的零点．


(1) y＝x－2eq \r(x)－3；


(2) y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2)．


[解] (1)由x－2eq \r(x)－3＝0得(eq \r(x)＋1)(eq \r(x)－3)＝0，


又eq \r(x)≥0，所以eq \r(x)＝3，即x＝9，所以函数y＝x－2eq \r(x)－3的零点为9．


(2)由x2－(3a－1)x＋(2a2－2) ＝0得 [x－(a＋1)][x－2(a－1)]＝0，


①当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，函数有唯一零点4；


②当a＋1≠2(a－1)，即a≠3时，函数有两个零点a＋1和2(a－1)．


9．求证：函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．


[证明] 法一：对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4>0，


所以函数y＝ax2－x－a有两个零点．


法二：因为函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)的图象为开口向上的抛物线，


无论a为任何实数，x＝－1时，y＝(－1)2＋a－a－2＝－1，即函数的图象始终经过点M(－1，－1)，


所以函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．





1．对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中错误的是( )


A．函数一定有两个零点


B．a>0时，函数一定有两个零点


C．a<0时，函数一定有两个零点


D．函数的零点个数是1或2


A [当a＝0时，由y＝0得x＝0，函数有一个零点；当a≠0时，相应方程ax2－x－2a＝0中Δ＝1＋8a2>0，所以函数一定有两个零点，所以A选项错误，故选A．]


2．已知实数a

m

3．已知函数y＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有y≤0，则实数a的取值范围是 ．


[－4,0] [若a＝0，则y＝－1≤0恒成立；若a≠0，则由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ＝a2＋4a≤0，)) 解得－4≤a<0，综上，得a∈[－4,0]． ]


4．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是 ．


eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(6,5))) [由题意知(a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0恒成立，即函数y＝(a2－4)x2＋(a＋2)x－1的图象恒在x轴的下方，当a＝－2时，函数y＝－1，符合题意；当a＝2时，函数y＝4x－1的图象恒在x轴的下方，矛盾，当a≠±2时，函数y＝(a2－4)x2＋(a＋2)x－1的图象是抛物线，开口向下，且顶点在x轴下方，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－4<0，,a＋22＋4a2－4<0，))解得－2

5．若函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，且m<－1，n>eq \f(1,2)，求实数a的取值范围．


[解] 函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，


又x2－2ax＋a2－1＝0的两个实数根为a－1，a＋1，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1>\f(1,2)，,a－1<－1，))解得－eq \f(1,2)

即实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))．