数学必修 第一册第5章 函数概念与性质本章综合与测试精品课后作业题

这是一份数学必修 第一册第5章 函数概念与性质本章综合与测试精品课后作业题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(二十四) 幂函数


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能是一条直线；③n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时是增函数；⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小；⑥幂函数的图象不可能在第四象限．其中正确的有( )


A．①③ B．②④


C．⑤⑥ D．③⑥


C [幂函数y＝xn，只有当n>0时，其图象才都经过点(1,1)和点(0,0)，故①错误；幂函数y＝xn，当n＝1时，则其图象就是一条直线，故②错误；幂函数y＝xn，当n＝0时，则其图象是y＝1这条直线上去除(0,1)点后的剩余部分，故③错误；幂函数y＝x2，当x∈(0，＋∞)时，是增函数，当x∈(－∞，0)时，是减函数，故④错误；根据幂函数的性质可知，只有⑤⑥是正确的．]


2．设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)，1，2，3))，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值的个数为( )


A．1 B．2


C．3 D．4


B [使函数y＝xα的定义域为R的有1,2,3，其中为奇函数的有1,3．]


3．已知幂函数f(x)＝(m2－3)x－m在(0，＋∞)为单调增函数，则实数m的值为( )


A．eq \r(3) B．±2


C．2 D．－2


D [因为函数f(x)＝(m2－3)x－m为幂函数，所以m2－3＝1，所以m＝±2，因为函数f(x)在(0，＋∞)为单调增函数，所以－m>0，因此m＝－2，选D．]


4．若f(x)是幂函数，且满足eq \f(f9,f3)＝2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))＝( )


A．16 B．4


C．eq \f(1,16) D．eq \f(1,4)


D [因为函数f(x)是幂函数，设f(x)＝xα，由题设eq \f(9α,3α)＝2⇒3α＝2，


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \s\up12(a)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3α)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)．]


5．不论α取何值，函数y＝(x－1)α＋2的图象恒过点A，则点A的坐标为( )


A．(1,3) B．(2,3)


C．(2,1) D．(0,3)


B [∵幂函数y＝xα的图象恒过点(1,1)，


∴y＝(x－1)α的图象恒过点(2,1)，


∴y＝(x－1)α＋2的图象恒过点(2,3)．]


二、填空题


6．若幂函数y＝xeq \s\up12(eq \f(m,n)) (m，n∈N*且m，n互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是 ．





①m，n是奇数且eq \f(m,n)<1；②m是偶数，n是奇数，且eq \f(m,n)>1；③m是偶数，n是奇数，且eq \f(m,n)<1；④m，n是偶数，且eq \f(m,n)>1．


③ [由题图知，函数y＝xeq \s\up12(eq \f(m,n))为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以eq \f(m,n)<1，选③．]


7．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xeq \s\up12(n2－3n) (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为 ．


1 [由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，


解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．]


8．如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±eq \f(1,2)四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为 ．





2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2 [函数y＝x－2，y＝x2，y＝xeq \s\up12(－eq \f(1,2))，y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))中令x＝4得到的函数值依次为eq \f(1,16)，16，eq \f(1,2)，2，函数值由大到小对应的解析式为y＝x2，y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，y＝xeq \s\up12(－eq \f(1,2))，y＝x－2，因此相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2．]


三、解答题


9．比较下列各组数的大小：


(1)3eq \s\up12(eq \f(1,2))和3．1eq \s\up12(eq \f(1,2))；


(2)8eq \s\up12(－eq \f(4,3))和(－9) eq \s\up12(－eq \f(4,3))；


(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(2,3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))eq \s\up12(eq \f(2,3))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(1,3))．


[解] (1)构造函数f(x)＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))，此函数在[0，＋∞)上是增函数．∵3<3.1，


∴3eq \s\up12(eq \f(1,2))<3.1eq \s\up12(eq \f(1,2))．


(2)构造f(x)＝xeq \s\up12(－eq \f(4,3))，函数是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，


所以(－9) eq \s\up12(－eq \f(4,3))＝9eq \s\up12(－eq \f(4,3))．


∵8<9，∴8eq \s\up12(－eq \f(4,3))>9eq \s\up12(－eq \f(4,3))，∴ 8eq \s\up12(－eq \f(4,3))>(－9) eq \s\up12(－eq \f(4,3))．


(3)构造函数y＝xeq \s\up12(eq \f(2,3))，此函数为偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(2,3))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up12(eq \f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))eq \s\up12(eq \f(2,3))>0．


函数y＝xeq \s\up12(eq \f(1,3))，此函数在R上是增函数，


则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(1,3))<0eq \s\up12(eq \f(1,3))<0，


故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(1,3))

10．已知幂函数y＝xm－2(m∈N)的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称．求m的值，并画出它的图象．


[解] ∵图象与x，y轴都无交点，


∴m－2≤0，即m≤2．


又m∈N，∴m＝0,1,2．


∵幂函数图象关于y轴对称，∴m＝0，或m＝2．


当m＝0时，函数为y＝x－2，图象如图(1)；


当m＝2时，函数为y＝x0＝1(x≠0)，图象如图(2)．








1．函数y＝xeq \s\up12(eq \f(5,4))的图象是( )





A B C D


C [∵函数y＝xeq \s\up12(eq \f(5,4))是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又eq \f(5,4)>1，故选C．]


2．函数y＝xeq \s\up12(eq \f(3,5))在[－1,1]上是( )


A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数


C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数


A [由幂函数的性质可知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝xeq \s\up12(eq \f(3,5))在(0,1]上是增函数．令y＝f(x)＝xeq \s\up12(eq \f(3,5))，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x) eq \s\up12(eq \f(3,5))＝－xeq \s\up12(eq \f(3,5))＝－f(x)，所以f(x)＝xeq \s\up12(eq \f(3,5))是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x∈[－1,0)时，y＝xeq \s\up12(eq \f(3,5))也是增函数．当x＝0时，y＝0，又当x<0时，y＝xeq \s\up12(eq \f(3,5))<0，当x>0时，y＝xeq \s\up12(eq \f(3,5))>0，所以y＝xeq \s\up12(eq \f(3,5))在[－1,1]上是增函数．故y＝xeq \s\up12(eq \f(3,5))在[－1,1]上是增函数且是奇函数．]


3．若(a＋1)eq \s\up12(－eq \f(1,2)) <(3－2a) eq \s\up12(－eq \f(1,2))，则a的取值范围是 ．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,2))) [(a＋1)－eq \f(1,2)<(3－2a) eq \s\up12(－eq \f(1,2))⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a＋1)))eq \s\up12(eq \f(1,2))

所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1>0，,3－2a>0，,a＋1>3－2a，))解得eq \f(2,3)

4．已知幂函数y＝f(x)经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,8)))，


(1)试求函数解析式；


(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；


(3)试解关于x的不等式f(3x＋2)＋f(2x－4)>0．


[解] (1)设f(x)＝xα，由题意，


得f(2)＝2α＝eq \f(1,8)⇒α＝－3，


故函数解析式为f(x)＝x－3．


(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．


f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数．


其单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．


(3)由(2)得f(3x＋2)>－f(2x－4)＝f(4－2x)．


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2>0⇒x>－\f(2,3)，,4－2x>0⇒x<2，,3x＋2<4－2x⇒x<\f(2,5)，))


或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2<0⇒x<－\f(2,3)，,4－2x<0⇒x>2，,3x＋2<4－2x⇒x<\f(2,5)，))


或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2>0⇒x>－\f(2,3)，,4－2x<0⇒x>2.))


解得－eq \f(2,3)2，


故原不等式的解集为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)2))))