苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试精品同步练习题

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试精品同步练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(三十八) 正切函数的图象与性质


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．下列命题正确的是( )


A．y＝tan x为增函数


B．y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为eq \f(2π,ω)


C．在x∈[－π，π]上y＝tan x是奇函数


D．在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上y＝tan x的最大值是1，最小值为－1


D [函数y＝tan x在定义域内不具有单调性，故A错误；函数y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为eq \f(π,ω)，故B错误；当x＝－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)时，y＝tan x无意义，故C错误；由正切函数的图象可知D正确．]


2．函数f(x)＝eq \f(tan 2x,tan x)的定义域为( )


A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)，k∈Z)))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))


C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,4)，k∈Z)))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))


C [要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，,x≠kπ，,2x≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，))


∴x≠eq \f(kπ,2)且x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，∴x≠eq \f(kπ,4)，k∈Z．]


3．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)，说法错误的是( )


A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数


B．f(x)的图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－φ，0))对称


C．f(x)的图象关于(π－φ，0)对称


D．f(x)是以π为最小正周期的周期函数


A [A项，若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tan x，此时，f(x)为奇函数，所以A错；观察正切函数y＝tan x的图象，可知y＝tan x关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)对称，令x＋φ＝eq \f(kπ,2)得x＝eq \f(kπ,2)－φ，分别令k＝1,2知B、C正确，D显然正确．]


4．函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))的最小正周期是eq \f(π,2)，则ω＝( )


A．4 B．2 C．－2 D．2或－2


D [由eq \f(π,|ω|)＝eq \f(π,2)，可知ω＝±2．]


5．已知函数y＝tan ωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是减函数，则ω的取值范围是( )


A．(－1,0) B．[－1,0)


C．(0,1) D．(0,1]


B [∵y＝tan ωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是减函数，


∴T＝eq \f(π,|ω|)≥π，∴0＜|ω|≤1．


∵y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内为增函数，


∴ω<0，∴－1≤ω<0．]


二、填空题


6．比较大小：tan eq \f(π,5)________tan eq \f(13π,10)．


＜ [tan eq \f(13π,10)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(3π,10)))＝tan eq \f(3π,10)．


∵y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数且0＜eq \f(π,5)＜eq \f(3π,10)＜eq \f(π,2)，


∴tan eq \f(π,5)＜tan eq \f(3π,10)，即tan eq \f(π,5)＜tan eq \f(13π,10)．]


7．函数y＝6taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)－6x))的对称中心为________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,12)＋\f(π,48)，0))(k∈Z) [y＝6taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)－6x))


＝－6taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x－\f(π,8)))，


由6x－eq \f(π,8)＝eq \f(kπ,2)，k∈Z得x＝eq \f(kπ,12)＋eq \f(π,48)，k∈Z，


故对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,12)＋\f(π,48)，0))，k∈Z．]


8．若tan x>tan eq \f(π,5)且x在第三象限，则x的取值范围是________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(6π,5)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z) [tan x>tan eq \f(π,5)＝tan eq \f(6π,5)，又x为第三象限角，∴2kπ＋eq \f(6π,5)

三、解答题


9．已知f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))．


(1)求f(x)的最小正周期；


(2)若f(x＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|

[解] (1)f(x)的最小正周期T＝eq \f(π,2)．


(2)∵f(x＋φ)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋2φ))是奇函数，


∴图象关于原点中心对称，


∴eq \f(π,3)＋2φ＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，∴φ＝eq \f(kπ,4)－eq \f(π,6)(k∈Z)．


令eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)－\f(π,6)))

解得－eq \f(4,3)

∴k＝－1,0,1或2．


从而得φ＝－eq \f(5π,12)，－eq \f(π,6)，eq \f(π,12)或eq \f(π,3)．


10．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为eq \f(π,2)，且图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))对称．


(1)求f(x)的解析式；


(2)求f(x)的单调区间；


(3)求不等式－1≤f(x)≤eq \r(3)的解集．


[解] (1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝eq \f(π,2)，即eq \f(π,|ω|)＝eq \f(π,2)．


因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)．


因为函数y＝f(x)的图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))对称，


所以2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＋φ＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，


即φ＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z．


因为0<φ

故f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))．


(2)令－eq \f(π,2)＋kπ<2x＋eq \f(π,4)

得－eq \f(3π,4)＋kπ<2x

即－eq \f(3π,8)＋eq \f(kπ,2)

所以函数的单调增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)＋\f(kπ,2)，\f(π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z，无单调减区间．


(3)由(1)知，f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))．


由－1≤taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))≤eq \r(3)，


得－eq \f(π,4)＋kπ≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，


即－eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)≤x≤eq \f(π,24)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z．


所以不等式－1≤f(x)≤eq \r(3)的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋\f(kπ,2)))≤x≤\f(π,24)＋\f(kπ,2)，k∈Z))．





1．(多选题)关于函数f(x)＝tan(x＋φ)的下列说法，正确的有( )


A．对任意的φ，f(x)既不是奇函数也不是偶函数


B．不存在φ，使f(x)既是奇函数又是偶函数


C．存在φ，使f(x)是奇函数


D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数


BCD [对于A，显然当φ＝kπ或kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时，f(x)是奇函数，故A错，C正确；既是奇函数又是偶函数的函数为y＝0，显然对于任意的φ，f(x)都不可能恒为0，故B正确；D显然正确．故选BCD．]


2．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))内的图象是( )





D [当eq \f(π,2)＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；


当x＝π时，y＝0；当π＜x＜eq \f(3,2)π时，tan x＞sin x，


y＝2sin x＜0．故选D．]


3．(一题两空)已知x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，则函数y＝eq \f(1,cs2x)＋2tan x＋1的最小值为________，取最小值时相应的x的值为________．


1 －eq \f(π,4) [y＝eq \f(1,cs2x)＋2tan x＋1＝eq \f(cs2x＋sin2x,cs2x)＋2tan x＋1＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1．


∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))，∴tan x∈[－eq \r(3)，1]．


当tan x＝－1，即x＝－eq \f(π,4)时，y取得最小值1．]


4．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan ωx(ω为常数且ω>0)相交的两相邻交点间的距离为________．


eq \f(π,ω) [∵ω>0，∴函数y＝tan ωx的周期为eq \f(π,ω)．


且在每一个独立的区间内都是单调函数，


∴两交点间的距离为eq \f(π,ω)．]


5．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－ax))在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(5π,8)))上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．


[解] ∵y＝tan θ在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上为增函数，∴a＜0．


又x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(5,8)π))，∴－ax∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,8)π，－\f(5a,8)π))，


∴eq \f(π,4)－ax∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(a,8)π，\f(π,4)－\f(5a,8)π))，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)≤\f(π,4)－\f(a,8)πk∈Z，,kπ＋\f(π,2)≥\f(π,4)－\f(5a,8)πk∈Z.))


解得－eq \f(2,5)－eq \f(8k,5)≤a≤6－8k(k∈Z)．


令－eq \f(2,5)－eq \f(8k,5)＝6－8k，解得k＝1，此时－2≤a≤－2，


∴a＝－2＜0，∴存在a＝－2∈Z，满足题意．