高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试优秀巩固练习

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试优秀巩固练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(三十二) 同角三角函数关系


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．若sin θ＝－eq \f(3,5)，tan θ＜0，则cs θ＝( )


A．eq \f(3,4) B．eq \f(4,5)


C．－eq \f(4,5) D．eq \f(4,5)或－eq \f(4,5)


B [∵sin θ＝－eq \f(3,5)＜0，tan θ＜0．


∴θ为第四象限角，


∴cs θ＝eq \r(1－sin2θ)＝eq \f(4,5)．]


2．(1＋tan2α)·cs2α＝( )


A．1 B．1＋sin2α


C．tan2α D．1＋cs2α


A [原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(sin2α,cs2α)))·cs2α


＝cs2α＋sin2α＝1．]


3．已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，则sin4α－cs4α＝( )


A．eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5)


C．eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)


D [∵sin α＝eq \f(\r(5),5)，


∴sin4α－cs4α＝(sin2α－cs2α)(sin2α＋cs2α)


＝sin2α－cs2α＝2sin2α－1


＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))eq \s\up12(2)－1


＝－eq \f(3,5)．]


4．已知α是第二象限角，tan α＝－eq \f(1,2)，则cs α＝( )


A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5)


C．－eq \f(2\r(5),5) D．－eq \f(3\r(5),5)


C [∵tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(1,2)，∴cs α＝－2sin α．


又sin2α＋cs2α＝1，∴eq \f(5,4)cs2α＝1，


又α为第二象限角，∴cs α＜0，


∴cs α＝－eq \f(2\r(5),5)．]


5．已知eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，则sin2α－sin αcs α＝( )


A．eq \f(2,5) B．－eq \f(3,5)


C．eq \f(4,5) D．－eq \f(2,5)


A [由题意知cs α≠0，则由eq \f(sin α＋3cs α,3cs α－sin α)＝5，得eq \f(tan α＋3,3－tan α)＝5，即tan α＝2．所以sin2α－sin αcs α＝eq \f(sin2α－sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α－tan α,tan2α＋1)＝eq \f(2,5)．]


二、填空题


6．已知α是第三象限角，化简： eq \r(\f(1＋sin α,1－sin α))－ eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＝ ．


－2tan α [原式＝eq \r(\f(1＋sin α1＋sin α,1＋sin α1－sin α))－


eq \r(\f(1－sin α1－sin α,1＋sin α1－sin α))＝ eq \r(\f(1＋sin α2,1－sin2 α))－ eq \r(\f(1－sin α2,1－sin2 α))＝eq \f(1＋sin α,|cs α|)－eq \f(1－sin α,|cs α|)．


∵α是第三象限角，∴cs α＜0．


∴原式＝eq \f(1＋sin α,－cs α)－eq \f(1－sin α,－cs α)＝－2tan α．]


7．若sin α＋cs α＝eq \r(2)，则tan α＋eq \f(1,tan α)的值为 ．


2 [tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,sin αcs α)．


又sin α＋cs α＝eq \r(2)，


∴sin αcs α＝eq \f(1,2)，


∴tan α＋eq \f(1,tan α)＝2．]


8．已知0<α<π，sin αcs α＝－eq \f(60,169)，则sin α－cs α的值等于 ．


eq \f(17,13) [∵sin αcs α<0,0<α<π，


∴sin α>0，cs α<0，∴sin α－cs α>0，


∵(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝eq \f(289,169)，


∴sin α－cs α＝eq \f(17,13)．]


三、解答题


9．已知eq \f(tan2α,1＋2tan α)＝eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))．


(1)求tan α的值；


(2)求eq \f(sin α＋2cs α,5cs α－sin α)的值．


[解] (1)由eq \f(tan2α,1＋2tan α)＝eq \f(1,3)，


得3tan2α－2tan α－1＝0，


即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，


解得tan α＝－eq \f(1,3)或tan α＝1．


因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以tan α<0，


所以tan α＝－eq \f(1,3)．


(2)由(1)，得tan α＝－eq \f(1,3)，所以eq \f(sin α＋2cs α,5cs α－sin α)＝eq \f(tan α＋2,5－tan α)＝eq \f(－\f(1,3)＋2,5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))＝eq \f(5,16)．


10．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1．


[证明] 因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，


所以eq \f(sin2α,cs2α)＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin2β,cs2β)＋1))，所以eq \f(1,cs2α)＝eq \f(2,cs2β)，


所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1．





1．若sin θ＝eq \f(m－3,m＋5)，cs θ＝eq \f(4－2m,m＋5)，θ是第四象限的角，则m的值为( )


A．0 B．8


C．0或8 D．3

A [由sin2θ＋cs2θ＝1，得eq \f(m－32,m＋52)＋eq \f(4－2m2,m＋52)＝1，解得m＝0或m＝8．当m＝0时，sin θ＝－eq \f(3,5)，cs θ＝eq \f(4,5)，此时θ是第四象限的角；当m＝8时，sin θ＝eq \f(5,13)，cs θ＝－eq \f(12,13)，此时θ是第二象限的角，不符合题意，故选A．]


2．已知sin α，cs α是方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为( )


A．eq \f(5,6) B．eq \f(5,18)


C．－eq \f(5,6) D．－eq \f(5,18)


C [由Δ≥0知，a≤eq \f(1,3)．


又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＋cs α＝\f(2,3)， ①,sin α·cs α＝\f(a,3)， ②))


由①式两边平方得：sin αcs α＝－eq \f(5,18)，


所以eq \f(a,3)＝－eq \f(5,18)，所以a＝－eq \f(5,6)．]


3．若角α的终边在直线x＋my＝0(m>0)上，则eq \f(sin α,\r(1－cs2α))＋eq \f(\r(1－sin2α),cs α)＝ ．


0 [∵eq \f(sin α,\r(1－cs2 α))＋eq \f(\r(1－sin2α),cs α)＝eq \f(sin α,|sin α|)＋eq \f(|cs α|,cs α)．


又角α的终边落在x＋my＝0(m>0)上，故角α的终边在第二、四象限．


当α在第二象限时，sin α>0, cs α<0，原式＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(－cs α,cs α)＝0；


当α在第四象限时，sin α<0, cs α>0，原式＝eq \f(－sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝0．]


4．已知0<α

eq \f(\r(5)－9,5) [因为cs α－sin α＝－eq \f(\r(5),5)，①


所以1－2sin αcs α＝eq \f(1,5)，


即2sin αcs α＝eq \f(4,5)．所以(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝1＋eq \f(4,5)＝eq \f(9,5)．


又0<α0．


所以sin α＋cs α＝eq \f(3\r(5),5)．②


由①②得sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(\r(5),5)，tan α＝2，


所以eq \f(2sin αcs α－cs α＋1,1－tan α)＝eq \f(\r(5)－9,5)．]


5．已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cs θ(θ∈(0，π))，求：


(1)m的值；


(2)eq \f(sin θ,1－ct θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中ct θ＝\f(1,tan θ)))；


(3)方程的两根及此时θ的值．


[解] (1)由根与系数的关系可知，


sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，①


sin θ·cs θ＝m．②


将①式平方得1＋2sin θcs θ＝eq \f(2＋\r(3),2)，


所以sin θcs θ＝eq \f(\r(3),4)，代入②得m＝eq \f(\r(3),4)．


(2)eq \f(sin θ,1－ct θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(sin2 θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2 θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(sin2 θ－cs2 θ,sin θ－cs θ)＝sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)．


(3)因为已求得m＝eq \f(\r(3),4)，所以原方程化为2x2－(eq \r(3)＋1)x＋eq \f(\r(3),2)＝0，解得x1＝eq \f(\r(3),2)，x2＝eq \f(1,2)．


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cs θ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2)，,cs θ＝\f(\r(3),2).))


又因为θ∈(0，π)，所以θ＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(π,6)．