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    苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试精品课堂检测

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    这是一份苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试精品课堂检测,共6页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    课时分层作业(三十四) 三角函数的诱导公式(五~六)


    (建议用时:40分钟)





    一、选择题


    1.如果cs α=eq \f(1,5),且α是第四象限角,那么cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,2)))=( )


    A.eq \f(1,5) B.-eq \f(1,5)


    C.eq \f(2\r(6),5) D.-eq \f(2\r(6),5)


    C [由已知得,sin α=-eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up12(2))=-eq \f(2\r(6),5),


    所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,2)))=-sin α=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2\r(6),5)))=eq \f(2\r(6),5).]


    2.计算sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=( )


    A.89 B.90


    C.eq \f(89,2) D.45


    C [∵sin21°+sin289°=sin21°+cs21°=1,sin22°+sin288°=sin22°+cs22°=1,…,∴sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin244°+sin245°+cs244°+cs243°+…+cs23°+cs22°+cs21°=44+eq \f(1,2)=eq \f(89,2).故选C.]


    3.已知cs(75°+α)=eq \f(1,3),且-180°<α<-90°,则cs(15°-α)=( )


    A.eq \f(1,3) B.-eq \f(1,3)


    C.eq \f(2\r(2),3) D.-eq \f(2\r(2),3)


    D [因为cs(75°+α)=eq \f(1,3),且-180°<α<-90°,


    所以sin(75°+α)=-eq \f(2\r(2),3),


    故cs(15°-α)=cs[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)=-eq \f(2\r(2),3).]


    4.已知cs 31°=m,则sin 239°tan 149°的值是( )


    A.eq \f(1-m2,m) B.eq \r(1-m2)


    C.-eq \f(1-m2,m) D.-eq \r(1-m2)


    B [sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)·tan(180°-31°)=-sin 59°(-tan 31°)


    =-sin(90°-31°)·(-tan 31°)


    =-cs 31°·(-tan 31°)=sin 31°


    =eq \r(1-cs231°)=eq \r(1-m2).]


    5.若f(sin x)=3-cs 2x,则f(cs 30°)=( )


    A.eq \f(5,2) B.eq \f(7,2)


    C.eq \f(6+\r(3),2) D.eq \f(6-\r(3),2)


    B [f(cs 30°)=f(sin 60°)=3-cs 120°=3+cs 60°=eq \f(7,2)或f(cs 30°)=f(sin 120°)=3-cs 240°=3-cs 120°=eq \f(7,2).]


    二、填空题


    6.代数式sin2(A+45°)+sin2(A-45°)的化简结果是________.


    1 [∵(A+45°)+(45°-A)=90°,


    ∴sin(45°-A)=cs(45°+A),


    ∴sin2(A-45°)=sin2(45°-A)=cs2(45°+A),


    ∴sin2(A+45°)+sin2(A-45°)=1.]


    7.已知tan θ=2,则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+θ))-csπ-θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-θ))-sinπ-θ)=________.


    -2 [eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+θ))-csπ-θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-θ))-sinπ-θ)=eq \f(cs θ+cs θ,cs θ-sin θ)


    =eq \f(2cs θ,cs θ-sin θ)=eq \f(2,1-tan θ)=eq \f(2,1-2)=-2.]


    8.在△ABC中,eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-A))=3sin(π-A),且cs A=-eq \r(3)cs(π-B),则C=________.


    eq \f(π,2) [由已知得eq \r(3)cs A=3sin A,∴tan A=eq \f(\r(3),3),


    又∵A∈(0,π),∴A=eq \f(π,6).


    又cs A=-eq \r(3)(-cs B)=eq \r(3)cs B,


    由cs A=eq \f(\r(3),2)知cs B=eq \f(1,2),∴B=eq \f(π,3),


    ∴C=π-(A+B)=eq \f(π,2).]


    三、解答题


    9.已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+α))=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,2))),


    求eq \f(sin3π+α+csα+π,5cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)-α))+3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)-α)))的值.


    [解] ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+α))=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,2))),


    ∴-sin α=-2cs α,∴tan α=2,


    ∴eq \f(sin3π+α+csα+π,5cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)-α))+3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)-α)))


    =eq \f(-sin3α-cs α,5sin α-3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-α)))


    =eq \f(-sin3α+cs α,5sin α-3cs α)=eq \f(sin3α+cs α,3cs α-5sin α)


    =eq \f(sin2α·tan α+1,3-5tan α)=eq \f(\f(sin2α,sin2α+cs2α)·tan α+1,3-5tan α)


    =eq \f(\f(tan3α,1+tan2α)+1,3-5tan α)=eq \f(\f(23,1+22)+1,3-5×2)=-eq \f(13,35).


    10.是否存在这样的△ABC, 使等式sin (2π-A)-eq \r(2)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+B))=0,eq \r(2)cs (3π+B)+eq \r(3)sin (eq \f(π,2)+A)=0同时成立?若存在,求出A,B的值;若不存在,请说明理由.


    [解] 假设存在这样的△ABC满足条件.


    由已知条件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin A=\r(2)sin B,①,\r(3)cs A=\r(2)cs B,②))


    由①2+②2,得sin2A+3cs2A=2.


    所以sin2A=eq \f(1,2),因为A∈(0,π),所以sin A=eq \f(\r(2),2).


    由②知A,B只能为锐角,


    所以A=eq \f(π,4).由②式知cs B=eq \f(\r(3),2),又B∈(0,π),所以B=eq \f(π,6).


    所以存在这样的△ABC,A=eq \f(π,4),B=eq \f(π,6)满足条件.





    1.已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cs 2),则α等于( )


    A.2 B.-2


    C.2-eq \f(π,2) D.eq \f(π,2)-2


    C [由条件可知点P到原点的距离为2,所以P(2cs α,2sin α),所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2cs α=2sin 2,,2sin α=-2cs 2,))根据诱导公式及α为锐角可知,eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α=cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2-\f(π,2))),,sin α=sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2-\f(π,2))),))所以α=2-eq \f(π,2).故选C. ]


    2.已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+α))=-eq \f(3,5),α是第二象限角,则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(3π,2)))=( )


    A.-eq \f(3,5) B.eq \f(3,5)


    C.-eq \f(4,5) D.eq \f(4,5)


    C [∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+α))=-sin α=-eq \f(3,5),∴sin α=eq \f(3,5).


    又α是第二象限角,∴cs α=-eq \f(4,5),


    ∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(3π,2)))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,2)-2π))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,2)))


    =cs α=-eq \f(4,5).]


    3.已知sin α+cs α=-eq \r(2),则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,2)))+eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,2))))的值为_______.


    -2 [因为sin α+cs α=-eq \r(2),所以(sin α+cs α)2=2,所以sin αcs α=eq \f(1,2).


    所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,2)))+eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,2))))=eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,2))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,2))))+eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,2))))=eq \f(cs α,-sin α)+eq \f(sin α,-cs α)


    =-eq \f(sin α,cs α)-eq \f(cs α,sin α)=-eq \f(1,sin αcs α)=-2.]


    4.是否存在角α,β,α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),\f(π,2))),β∈(0,π),使得等式sin(3π-α)=-eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+β))与eq \r(3)cs(-α)=-eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)-β))同时成立?


    [解] 存在.所需成立的两个等式可化为sin α=eq \r(2)sin β,eq \r(3)cs α=eq \r(2)cs β,


    两式两边分别平方相加得:


    sin2α+3cs2α=2,


    得2cs2α=1,所以cs2α=eq \f(1,2).


    又因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),\f(π,2))),所以α=eq \f(π,4)或-eq \f(π,4).


    当α=eq \f(π,4)时,由eq \r(3)cs α=eq \r(2)cs β,得cs β=eq \f(\r(3),2),


    又β∈(0,π),所以β=eq \f(π,6);


    当α=-eq \f(π,4)时,由sin α=eq \r(2)sin β,得sin β=-eq \f(1,2),


    而β∈(0,π),所以无解.


    综上得,存在α=eq \f(π,4),β=eq \f(π,6)使两等式同时成立.


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