高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试优秀同步测试题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试优秀同步测试题，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题，都不满足；等内容，欢迎下载使用。

章末综合测评(六) 幂函数、指数函数和对数函数


(满分：150分 时间：120分钟)


一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)


1．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，当x<0时，f(x)＝lg2(－x)＋m，则实数m＝( )


A．－1 B．0 C．1 D．2


C [∵f(x)是定义在R上的奇函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，且x<0时，f(x)＝lg2(－x)＋m，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝lg2eq \f(1,4)＋m＝－2＋m＝－1，∴m＝1．故选C．]


2．若a>1，－1

A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限


C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限


A [y＝ax的图象在第一、二象限．∵－1

3．若lg34·lg48·lg8m＝lg416，则m等于( )


A．eq \f(1,2) B．9


C．18 D．27


B [lg416＝2，由换底公式得lg34·lg48·lg8m＝lg3m＝2，∴m＝9．]


4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≥a,－x，x

A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，1))


C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))


D [函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≥a,－x，x




若函数f(x)存在实根，则实数a的取值范围是(0，＋∞)．故选D．]


5．函数y＝f(x)的图象与g(x)＝lg2x(x>0)的图象关于直线y＝x对称，则f(－2)＝( )


A．－1 B．1


C．－eq \f(1,4) D．eq \f(1,4)


D [由y＝f(x)的图象与g(x)＝lg2x的图象关于直线y＝x对称，可知f(x)与g(x)互为反函数．令lg2x＝－2，得x＝eq \f(1,4)，即f(－2)＝eq \f(1,4)．]


6．已知a＝lg2 0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )


A．a＜b＜c B．a＜c＜b


C．c＜a＜b D．b＜c＜a


B [∵a＝lg20.2＜0，b＝20.2＞1，c＝0．20.3∈(0,1)，∴a

7．已知函数y＝f(x)的定义域为R，f(x＋1)为偶函数，且对∀x1

A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，8)) B．(1,8)


C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(8，＋∞) D．(－∞，1)∪(8，＋∞)


A [因为对∀x11时，是单调递增函数，又因为f(3)＝1，所以有f(－1)＝1，当lg2x≤1，即当0

f(lg2x)<1⇒f(lg2x)－1⇒x>eq \f(1,2)，∴eq \f(1,2)

当lg2x>1，即当x>2时，


f(lg2x)<1⇒f(lg2x)

综上所述：不等式f(lg2x)<1的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，8))．故选A．]


8．设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )








二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)


9．已知a>0，且a≠1，下列函数中一定经过点(2,1)的是( )


A．y＝lga(x－1)＋1 B．y＝ax－2


C．y＝(x－1)a D．y＝ax2－5ax＋6a＋1


ABCD [因为x＝2时，y＝lga(2－1)＋1＝1，y＝a2－2＝1，y＝(2－1)a＝1，y＝4a－10a＋6a＋1＝1，所以应该选择ABCD．]


10．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )


A．奇函数 B．偶函数


C．在(0,1)上是增函数 D．在(0,1)上是减函数


AC [由已知可得，f(x)的定义域为(－1,1)，f(x)＝ln eq \f(1＋x,1－x)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1－x)－1))，又y＝eq \f(2,1－x)－1在(0,1)上为增函数，∴f(x)在(0,1)上是增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．故选AC．]


11．设函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域为D，若对于任意x∈D，存在y∈D使eq \f(fx－fy,2)＝C(C为常数)成立，则称函数f(x)在D上的“半差值”为C．下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是( )


A．y＝x3＋1(x∈R) B．y＝2x(x∈R)


C．y＝ln x(x>0) D．y＝x2


AC [即对任意定义域中的x，存在y，使得f(y)＝f(x)－2；由于A、C值域为R，故满足；


对于B，当x＝0时，函数值为1，此时不存在自变量y，使得函数值为－1，故B不满足；


对于D，当x＝0时，不存在自变量y，使得函数值为－1，所以D不满足．故选AC．]


12．已知函数f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x，则以下结论错误的是( )


A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0


B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有eq \f(gx1－gx2,x1－x2)<0


C．f(x)有最小值，无最大值


D．g(x)有最小值，无最大值


ABC [对A，f(x)＝ex－e－x中，y＝ex为增函数，y＝e－x为减函数．故f(x)＝ex－e－x为增函数．


故任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2)),x1－x2)>0．故A错误．


对B，易得反例g(1)＝e1＋e－1，g(－1)＝e－1＋e1＝g(1)．故eq \f(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))－g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2)),x1－x2)<0不成立．故B错误．


对C，因为f(x)＝ex－e－x为增函数，且当x→－∞时f(x)→－∞，


当x→＋∞时f(x)→＋∞．故f(x)无最小值，无最大值．故C错误．


对D，g(x)＝ex＋e－x≥2eq \r(ex·e－x)＝2，当且仅当ex＝e－x即x＝0时等号成立．当x→＋∞时，g(x)→＋∞．故g(x)有最小值，无最大值．故选ABC．]


三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)


13．若函数f(x)＝x2－(a－2)x＋1(x∈R)为偶函数，则a＝ ，lgaeq \f(2,7)＋lgeq \s\d12(eq \f(1,a))eq \f(8,7)＝ ．(本题第一空2分，第二空3分)


2 －2 [函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，


即：x2－(a－2)x＋1＝x2＋(a－2)x＋1恒成立，


∴a－2＝0，a＝2．


则lgaeq \f(2,7)＋lgeq \s\d12(eq \f(1,a))eq \f(8,7)＝lg2eq \f(2,7)＋lg2eq \f(7,8)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,7)×\f(7,8)))＝lg2eq \f(1,4)＝－2． ]


14．已知a>0，若函数f(x)＝lg3(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是 ．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)) [要使f(x)＝lg3(ax2－x)在[3,4]上单调递增，则y＝ax2－x在[3,4]上单调递增，且y＝ax2－x>0恒成立，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)≤3，,9a－3>0，)) 解得a>eq \f(1,3)．]


15．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量P mg/L，与时间t h间的关系为P＝P0e－kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，则10小时后还剩 %的污染物．


81 [由题意知，前5小时消除了10%，即(1－10%)P0＝P0·e－5k．解得k＝－eq \f(1,5)ln 0．9．则10小时后还剩P＝P0·e－10k＝P0·e2ln 0．9＝P0·eln 0．81＝0．81 P0＝81%P0．]


16．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a

(0,1) [由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以|lg a|＝|lg b|，又因为y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，且a




四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)


17．(本小题满分10分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2,9)．


(1)求函数f(x)的解析式；


(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．


[解] (1)将点(－2,9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)得a－2＝9，解得a＝eq \f(1,3)，∴f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)．


(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，


∴f(2m－1)

∵f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)为减函数，


∴2m－1>m＋3，解得m>4，


∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．


18．(本小题满分12分)设函数y＝f(x)且lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)．


(1)求f(x)的解析式及定义域；


(2)求f(x)的值域．


[解] (1)∵lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)，


∴lg(lg y)＝lg[3x(3－x)]，


∴lg y＝3x(3－x)，


∴y＝103x(3－x)，即f(x)＝103x(3－x)．


∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x>0，,3－x>0，))


∴0

(2)令t＝3x(3－x)＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(27,4)，则f(x)＝10t．


∵x∈(0,3)，∴t∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(27,4)))，


∴10t∈(1,10eq \s\up12(eq \f(27,4))]，


∴函数的值域为(1,10eq \s\up12(eq \f(27,4))]．


19．(本小题满分12分)已知幂函数y＝f(x)＝x－2eq \s\up12(m2－m＋3)，其中m∈{x|－2

(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；


(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0．


求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．


[解] 因为m∈{x|－2

所以m＝－1,0,1．


因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，


即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．


当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)、(2)都不满足；


当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)、(2)都满足，且在区间[0，＋∞)上是增函数．


所以幂函数f(x)的解析式为f(x)＝x3


所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．


20．(本小题满分12分)(1)已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2·3x＋1－9x的值域；


(2)已知－3≤lgeq \s\d12(eq \f(1,2))x≤－eq \f(3,2)，求函数f(x)＝lg2 eq \f(x,2)·lg2 eq \f(x,4)的值域．


[解] (1)f(x)＝3＋2·3x＋1－9x＝－(3x)2＋6·3x＋3，令3x＝t，则y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12，∵－1≤x≤2，∴eq \f(1,3)≤t≤9，∴当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，即f(x)的最大值为12，最小值为－24，所以函数f(x)的值域为[－24，12]．


(2)∵－3≤lgeq \s\d12(eq \f(1,2))x≤－eq \f(3,2)，


∴－3≤eq \f(lg2x,lg2\f(1,2))≤－eq \f(3,2)，


即－3≤eq \f(lg2x,－1)≤－eq \f(3,2)，


∴eq \f(3,2)≤lg2x≤3．


∵f(x)＝lg2eq \f(x,2)·lg2eq \f(x,4)


＝(lg2x－lg2 2)·(lg2x－lg24)


＝(lg2x－1)·(lg2x－2)．


令t＝lg2x，则eq \f(3,2)≤t≤3，


f(x)＝g(t)＝(t－1)(t－2)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)．


∵eq \f(3,2)≤t≤3，


∴f(x)max＝g(3)＝2，f(x)min＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \f(1,4)．


∴函数f(x)＝lg2eq \f(x,2)·lg2eq \f(x,4)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2))．


21．(本小题满分12分)已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2．


(1)求实数a的取值范围；


(2)求不等式lga(3x＋1)

(3)若函数y＝lga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．


[解] (1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，


∴a＜1，即0＜a＜1．∴实数a的取值范围是(0,1)．


(2)由(1)得，0＜a＜1，∵lga(3x＋1)

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋1>0，,7－5x>0，,3x＋1>7－5x，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－\f(1,3)，,x<\f(7,5)，,x>\f(3,4)，))解得eq \f(3,4)

即不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(7,5)))．


(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝lga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即lga5＝－2，∴a－2＝eq \f(1,a2)＝5，解得a＝eq \f(\r(5),5)．


22．(本小题满分12分)如图，已知A(x1，m)，B(x2，m＋2)，C(x3，m＋4)(其中m≥2)是指数函数f(x)＝2x图象上的三点．





(1)当m＝2时，求f(x1＋x2＋x3)的值；


(2)设L＝x2＋x3－x1，求L关于m的函数L(m)；


(3)设△ABC的面积为S，求S关于m的函数S(m)及其最大值．


[解] (1)由题意A(x1，m)，B(x2，m＋2)，C(x3，m＋4)(其中m≥2)是指数函数f(x)＝2x图象上的三点，2x1＝m,2x2＝m＋2,2x3＝m＋4，


当m＝2时，2x1＝2,2x2＝4,2x3＝6，


f(x1＋x2＋x3)＝2x1＋x2＋x3＝2x1·2x2·2x3＝2×4×6＝48．


(2)x1＝lg2m，x2＝lg2(m＋2)，x3＝lg2(m＋4)，


L＝x2＋x3－x1＝lg2(m＋2)＋lg2(m＋4)－lg2m


＝lg2eq \f(m＋4m＋2,m)，


即L(m)＝lg2eq \f(m＋4m＋2,m)，m≥2．


(3)过A，B，C分别作x轴的垂线，垂足为D，E，F，如图所示：





△ABC的面积为S＝SADFC－SADEB－SBEFC


＝eq \f(1,2)(m＋m＋4)[lg2(m＋4)－lg2m]－eq \f(1,2)(m＋m＋2)[lg2(m＋2)－lg2m]－eq \f(1,2)(m＋2＋m＋4)[lg2(m＋4)－lg2(m＋2)]


＝eq \f(1,2)(2m＋4)lg2eq \f(m＋4,m)－eq \f(1,2)(2m＋2)lg2eq \f(m＋2,m)－eq \f(1,2)(2m＋6)lg2eq \f(m＋4,m＋2)


＝eq \f(1,2)(2m＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(m＋4,m)－lg2\f(m＋2,m)－lg2\f(m＋4,m＋2)))＋lg2eq \f(m＋4,m)－2lg2eq \f(m＋4,m＋2)


＝lg2eq \f(m＋4,m)－2lg2eq \f(m＋4,m＋2)


＝lg2eq \f(m＋22,mm＋4)


即S(m)＝lg2eq \f(m＋22,mm＋4)，要取得最大值，只需y(m)＝eq \f(m＋22,mm＋4)取得最大值，


y(m)＝eq \f(m＋22,mm＋4)＝eq \f(m2＋4m＋4,m2＋4m)＝1＋eq \f(4,m2＋4m)，m∈[2，＋∞)，m2＋4m取得最小值12，


所以当m＝2时，y(m)＝eq \f(m＋22,mm＋4)取得最大值eq \f(4,3)，


S(m)＝lg2eq \f(m＋22,mm＋4)取得最大值lg2eq \f(4,3)．