吉林省白城市通榆县第一中学2021届高三上学期第一次月考 数学（理）（含答案） 试卷

高三上学期第一次月考

数学理科试题

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 下列命题中正确的是

“若，则 不全为0 ”的否命题；

“等腰三角形都相似”的逆命题；

“若 ，则方程有实根”的逆否命题；

“若是有理数，则x 是无理数”的逆否命题

A.  B.  C.  D.

3. 已知正实数a，b，则“”是“”的

A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知，，则

A.  B.  C.  D.

5. 若，则   

A.  B.  C.  D.

6. 已知，则的值为   

A.  B.  C.  D.

A.  B.  C.  D.

8. 下列说法正确的是

A. 命题“，使”的否定为“，都有”
B. 命题“若向量与的夹角为锐角，则”及它的逆命题均为真命题
C. 命题“若，则的逆否命题为真命题
D. 命题“在锐角中，”为真命题

9. 函数，若要得到奇函数的图象，可以将函数的图象 

A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位

10. 若，则

A.  B.  C. 6 D.

11. 已知定义在R上的函数满足，且则的单调递增区间为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

12. 已知函数，若在区间上有m个零点，，，，，则

A. 4042 B. 4041 C. 4040 D. 4039

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知函数，对任意的，，有，则实数k的取值范围是                ．
14. 已知函数是奇函数，当时，，则________．
15. 已知，且，则a的值为_______．
16. 已知函数，，则函数的值域为_________．

二、解答题（本大题共6小题，17-21各12分,22题10分,共70分）

17. 已知集合，函数的值域为集合B．
    求；
    若，求函数的值域．

18. 已知函数满足，对任意都有，且．
    求函数的解析式；
    是否存在实数a，使函数在上为减函数？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

19. 已知定义在R上的函数满足，且当时，
    求的值；
    解不等式；
    若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围．
20. 函数的部分图象如图所示，其中，，．
    
    Ⅰ求函数解析式；
    Ⅱ求时，函数的值域．
     
21. 以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆C的参数方程为是参数，直线l的极坐标方程为．

求直线l的直角坐标方程与圆C的普通方程；

若直线l与x轴的交点为A，与y轴交点为B，点P在圆C上，求面积的最大值，及取得最大值时点P的直角坐标．
 

22. 已知函数，

Ⅰ求的最小正周期；

Ⅱ求在上的值域．
 

参考答案

1.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题．
解方程及解不等式，得到集合A，B，利用交集运算得到答案．
【解答】
解：集合，，
所以．
故选B．
2.【答案】B

【解析】【分析】本题考查命题的真假判断，根据题意逐项进行判断即可得到结果．

【解答】

解：“若，则x，y不全为零”的否命题是：若，则x，y全为零．它是真命题；
“正多边形都相似”的逆命题是：相似的多边形都是正多边形．它是假命题；
“若，则有实根”的逆否命题是：若没有实根，则它是真命题；
“若是有理数，则x是无理数”的逆否命题是：若x不是无理数，则不是有理数．它是真命题．
故选B．

3.【答案】B
【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题时要仔细分析题设条件，寻找它们之间的相互关系，从而作出正确判断．

由，不能推导出；反过来由能推导出由此可得结果．

【解答】解：不充分性：时，，
但是，不满足；
必要性：，
故选B．
4.【答案】A
【解析】解：，
，，可得，
，
．
故选：A．
由已知可求得，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由已知利用诱导公式可求的值，利用二倍角公式可求的值，进而求解即可．
【解答】
解：，，
，
．
故选：A．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．
根据题意得到进而得到，，从而有．
【解答】
解：，
，
则，
，

，
故选A．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查三角函数的化简求值，应用同角三角函数的关系，二倍角公式、诱导公式变形是就解题的关键．
先根据同角三角函数的关系变形，然后利用二倍角公式，再用诱导公式，最后代入特殊角三角函数值可得结果．
【解答】
解：原式

．
故选D．
8.【答案】C
【解析】【分析】本题考查简易逻辑的知识，主要是命题的否定和复合命题的真假和四种命题，考查判断能力和推理能力，属于基础题．逐个判断即可．
【解答】解：“，使”的否定为“，都有”，故A错误；
命题“若向量与的夹角为锐角，则”的逆命题为
“若，则向量与的夹角为锐角”
当时，向量与的夹角为锐角或0，假命题，故B错误；
命题“若，则为真命题，则其逆否命题为真命题，故C正确；
“在锐角中，，，
，故D错误．
故选C．
9.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查的图象变换规律，正弦型函数的性质，是基础题．
利用辅助角公式，结合的图象变换规律及正弦型函数的性质得出结论．
【解答】
解：
，
将函数的图象向左平移个单位，
可得的图象，
显然，为奇函数．
故选A．
10.【答案】D
【解析】【分析】本题考查诱导公式和二倍角公式，属于基础题．
利用诱导公式、二倍角公式以及两角和的正切公式化简，然后代入即可求解．
【解答】
解：因为，所以
．
故选D．
11.【答案】B

【解析】【分析】
本题考查函数的单调性和周期性，属于基础题．
当时，单调递增，当时，单调递减，又因为函数的周期为2，即可求解．
【解答】
解：当时，函数单调递增
当时，函数单调递减．
又因为，所以的周期为2，
所以单增区间为，
故选B．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分段函数以及函数零点问题和函数的对称性，问题转化为与在区间上有m个交点，然后根据对称性和周期性求出结果，属于中档题．
【解答】
解：在区间上有m个零点，在区间上有m个零点，
即与在区间上有m个交点，且关于原点对称，
在区间上，

在区间上，
且关于原点对称．
根据和函数图象特点易知在一个周期内，
和图象有两个交点．
在内共有1010个周期，
和图象共有2020个交点，
和图象都关于原点对称，
和图象在共有4040个交点，
再加上这个交点．
关于原点对称，设，为关于原点对称的两个交点横坐标，
，即，
即，
．
故选：B．
13.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查分段函数的单调性，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
由题意，得在R上递减，则在递减，且，解之即可．
【解答】解：由题意，得在R上递减，
则在递减，且，
解得，即实数k的取值范围是 
故答案为 ．
14.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题．
由已知当时，，结合奇偶性，求值即可．
【解答】
解：当时，，
当时，，
又是奇函数，

．
故答案为．
15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了复合函数的定义域和值域，属于基础题．
先令，则，可求出的表达式，然后再进行后面的求解的即可得．
【解答】
解：令，则，
所以，
所以，即 ．
故答案是 ．
16.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查函数的值域、幂函数的运算，对号函数的值域，分离常数法等．
【解答】
解：已知函数，
，
当时，，，
当时取最大值，当或1时取最小值．
所以．
故答案为．
17.【答案】解：，
，，
；
递增，，
当时，，
当时，．
，
故值域为．

【解析】求解一元二次不等式化简集合A，再由x的范围求得对数型函数的值域得到集合B，然后直接利用交集运算得答案；
由函数为增函数，利用函数的单调性求得函数的值域．
本题考查了交集及其运算，考查了函数的定义域及其值域的求法，是基础题．
18.【答案】解：由及
又对任意，有．
图象的对称轴为直线，则，
又对任意都有，
即对任意成立，
，故
 
由知，其定义域为R
令
要使函数在上为减函数，
只需函数在上为增函数，
由指数函数的单调性，有，解得或 
故存在实数a，当或时，函数在上为减函数

【解析】根据可求出c的值，根据可得a与b的关系，最后根据对任意都有，可求出a与b的值，从而求出函数的解析式；
令，要使函数在上为减函数，只需函数在上为增函数，由指数函数的单调性可得a的取值范围．
本题主要考查了函数解析式的求解及常用方法，以及复合函数的单调性的判定，同时考查了计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：函数满足，且当时，

函数满足，
图象关于直线对称，且在上单调递增
故原不等式可化为，
即，得
若关于x的方程在上有解，
即在上有解
在上有两等根，即，无解
一根大于1，一根小于1，即，得到
一根为1，则，解得另一根为，不符
综上所述，

【解析】由已知中函数满足，且当时，，将，代入可求的值；
由已知可得图象关于直线对称，且在上单调递增，故原不等式可化为，即，解得答案；
若关于x的方程在上有解，即在上有解，分类讨论满足条件的实数a的取值，综合讨论结果，可得答案．
本题考查的知识点是函数的对称性，函数的单调性，方程的根，对数函数的图象和性质，绝对值不等式，是函数，方程，不等式的综合应用，难度较大．

20.【答案】解：Ⅰ根据函数的一部分图象，其中，，，
可得，，，
．
又，得，
，即，
，，
；
Ⅱ，
，
，
．
 

【解析】本题主要考查由函数的部分图象求解析式、正弦函数的定义域和值域及正弦函数的单调性，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．
Ⅰ由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由求出的值，可得函数的解析式；
Ⅱ由已知可求范围，利用正弦函数的图象和性质可得，即可求解．
21.【答案】解：由是参数得．
故圆C的普通方程为．
由，得，
，将代入得，
故直线l的直角坐标方程是．
设，则点P到直线l的距离

，
时，，
，，，
面积的最大值为，
由，知此时P点坐标为．
 

【解析】本题考查圆的参数方程与直线的极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，考察三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB的距离的最大值，继而得到面积的最大值及取得最大值时点P的直角坐标．
22.【答案】解：Ⅰ由

．
即的最小正周期为．
Ⅱ因为，，
即有，
所以 ，
故在上的值域为．
 

【解析】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的性质问题，属于中档题．
Ⅰ将函数利用三角公式化为，即可求出结果．
Ⅱ根据所给定义域得到，进而有，由此即可求出函数在上的值域．