高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算优秀第1课时教学设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算优秀第1课时教学设计，共7页。

1.3 集合的基本运算


第1课时 交集与并集











1．交集与并集的定义


思考1：在什么条件下，集合A∪B的元素个数等于集合A与B的元素个数之和？


提示：A∩B＝∅.


2．交集与并集的运算性质


思考2：交集与并集的运算满足结合律吗？


提示：满足．





1. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x是矩形))))∩ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x是菱形))))＝( )


A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x是平行四边形)))) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x是矩形))))


C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x是菱形)))) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x是正方形))))


[答案] D


2．设M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，1))，N＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，2))，则M∩N＝________；M∪N＝________．


[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1)) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，1，2))


3．若集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－32))))则A∪B＝________．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>－3)))) [如图





所以A∪B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>－3)))).]


4．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，且9∈(A∩B)，求a的值．


[解] ∵9∈(A∩B)，∴9∈B且9∈A，


∴2a－1＝9或a2＝9，解得a＝5或a＝±3.


当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，集合B的元素不满足互异性，所以a＝5或a＝－3.








交集运算


【例1】 (1) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x是等腰三角形))∩{x|x是等边三角形}＝______．


(2) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))－1≤x≤2))∩ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))0≤x≤4))＝( )


A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))0≤x≤2)) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))1≤x≤2))


C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))0≤x≤4)) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))1≤x≤4))


(3)已知集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝3n＋2，n∈Z))))，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B元素的个数为( )


A．5 B．4 C．3 D．2


(1){x|x是等边三角形} (2)A (3)D [(1)因为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x是等边三角形))⊆{x|x是等腰三角形}，


所以 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x是等腰三角形))∩ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x是等边三角形))＝{x|x是等边三角形}．


(2)如图，





所以{x|－1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(0≤x≤2)))).


(3)因为8＝3×2＋2；14＝3×4＋2，


所以A∩B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(8，14)).]





1．在进行集合的交集运算时，要根据交集的定义进行运算，尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时要用Venn图表示；集合元素是连续时用数轴表示，但要注意端点值的取舍．


2．恰当地使用交集的交换律与结合律，可简化运算过程．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．(1)已知集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，2))，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，－1，0，1，2))，则A∩B＝( )


A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，2)) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2))


C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0)) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，－1，0，1，2))


(2)设集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1≤x<2))))，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x

A．－12


C．a≥－1 D．a>－1


(1)A (2)D [(1)由交集的定义可知，A∩B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，2)).


(2)在数轴上表示两集合，





由上图可知，当a>－1时，A∩B≠∅.]





并集运算


【例2】 (1)设集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x2＋2x＝0))))，B＝{x|x2－2x＝0}，则A∪B＝( )


A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0)) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，2))


C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0)) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，2))


(2)已知集合M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))－35))))，则M∪N＝( )


A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<－5，或x>－3))))


B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))－5

C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))－3

D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<－3，或x>5))))


(3)已知集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，4，x))，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，x2))，且A∪B＝{1，4，x2}，则满足条件的实数x的个数为( )


A．1个 B．2个


C．3 个 D．4个


(1)D (2)A (3)A [(1)因为A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，－2))，B＝{0，2}，所以A∪B＝{－2，0，2}．


(2)如图，在数轴上表示两集合，





所以M∪N＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<－5，或x>－3)))).


(3)由A∪B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，4，x2))，得x＝x2，又x≠1，所以x＝0.]





在进行集合的并集运算时


(1)若集合是用列举法表示的，可以直接用并集的定义求解，但要注意集合元素的互异性．


(2)若集合是连续的数集，可以借助数轴进行运算．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．(1)已知集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，2))，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x))<0 ))，则A∪B＝( )


A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x))≤0，或x＝2 )) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x))<0 ))


C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x))≤2 )) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x))<2 ))


(2)设集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥0))))，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1≤x≤2))))，则A∪B＝________．


[答案] (1)A (2) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥－1))))





集合的交与并的性质的应用


[探究问题]


设A与B是两个集合，


1．若A∩B＝A，则集合A与B有什么关系？


提示：A⊆B.


2．若A∪B＝A，则集合A与B有什么关系？


提示：A⊇B.


3．若A∩B＝A∪B，则集合A与B有什么关系？


提示：A＝B.


【例3】 设集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－3

[思路点拨] eq \x(A∪B＝A) eq \(――――→,\s\up9(等价转化)) eq \x(B⊆A) eq \(――――――→,\s\up9(分B＝∅和B≠∅)) eq \x(建立k的不等关系) eq \(――→,\s\up9(求交集)) eq \x(得k的范围)


[解] 由A∪B＝A，得A⊇B.


当B＝∅，即k＋1>2k－1，k<2时，满足题意；


当B≠∅时，要使A⊇B，只需 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3

综上，k的取值范围是k≤ eq \f(5,2).





1．对于本例中的集合A，B，是否存在实数k，使A∩B＝A?


[解] 若A∩B＝A，则A⊆B.


所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3≥k＋1,4≤2k－1)) ，该不等式组无解，故实数k不存在．


2．若将本例中的“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3

[解] 由题意知， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3

所以实数k的值是3.





已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件．解决这类问题要合理利用数轴、Venn图帮助分析．


提醒： 在涉及集合关系时，必须关注空集的存在，否则会因为遗漏空集使解题不完整．











1．对于交集、并集的定义，要注意“且”与“或”的理解，其中“或”与通常所说的“非此即彼”有本质性的区别，“x∈A或x∈B”包含下列三种情况：(1)x∈A，但xB，(2)x∈A，且x∈B；(3)xA，但x∈B.


2．在进行集合的运算时，要根据定义进行运算，恰当地使用交集与并集的运算律，可简化运算过程．


3．对于数集的运算，尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)A∩B⊆A∪B.( )


(2)若A⊆B，则A∩B＝A.( )


(3)集合A∪B的元素个数，就是集合A，B的元素个数之和．( )


(4)若A∪B＝A∪C，则B＝C.( )


[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×


2．已知集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，2，3，4，5))，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，3，6，9))，C＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(3，7，8))，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A∩B))∪C＝( )


A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，2，6)) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(3，7，8))


C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，3，7，8)) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，3，6，7，8))


C [因为A∩B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，3))，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A∩B))∪C＝{1，3，7，8}．]


3．设集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0))))，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则集合A∩B＝________．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1)))) [A∩B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0,x－y＝2))))))＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1)))).]


4．已知集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x2－px－2＝0))))，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}．且A∩B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2))，A∪B＝{－2，1，5}，求p，q，r的值．


[解] 由A∩B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2))，知－2∈A，


∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2)) eq \s\up8(2)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))p－2＝0，


解得p＝－1.


∴A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x2＋x－2＝0))))＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，1))，


又∵A∪B＝{－2，1，5}，


∴B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，5))，


∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－q＝－2＋5,r＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))×5)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q＝－3,r＝－10)) ，


所以，p＝－1，q＝－3，r＝－10.





学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集．(重点、难点)


2．能使用Venn图表达集合的关系与运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)
1．借助Venn图培养直观想象素养．


2．通过并集与交集的运算，提升数学运算素养．
交集
并集
文字


叙述
由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”．
图示


表示
符号


表示
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
交集的运算性质
并集的运算性质
A∩B＝B∩A
A∪B＝B∪A
A∩A＝A
A∪A＝A
A∩∅＝∅
A∪∅＝A
A⊆B⇔A∩B＝A
A⊆B⇔A∪B＝B