数学必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.1 一元二次函数一等奖教案设计

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§4 一元二次函数与一元二次不等式


4.1 一元二次函数











1．一元二次函数的三种形式


(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；


(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；


(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)；


思考1：如何把二次函数的一般式化成顶点式？


提示：y＝ax2＋bx＋c＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(b,a)x))＋c＝a[x2＋2× eq \f(b,2a)×x＋( eq \f(b,2a))2－( eq \f(b,2a))2]＋c


＝a eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))\s\up8(2)－\f(b2,4a2)))＋c＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a))) eq \s\up8(2)－ eq \f(b2,4a)＋c＝a(x＋ eq \f(b,2a))2＋ eq \f(4ac－b2,4a)


2．一元二次函数的图象


二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．


思考2：(1)能否仅通过平移函数y＝x2的图象得到y＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1)) eq \s\up8(2)的图象？


(2)二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的参数a对其图象的开口大小与方向有什么影响？


提示： (1)不能，平移只改变图象的位置，不改变其形状，而二者形状不同．


(2)当a>0时，图象开口向上，a值越大，开口越小；


当a<0时，图象开口向下，a值越大，开口越大．


3．一元二次函数的性质





1．二次函数y＝x2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图象的二次函数是( )


A．y＝x2＋2 B．y＝2x2


C．y＝ eq \f(1,2)x2 D．y＝x2－2


[答案] B


2．将二次函数的图象向下、向右各平移2个单位长度得到图象的解析式为y＝－x2，则原二次函数的解析式是( )


A．y＝－(x－2)2＋2 B．y＝－(x＋2)2＋2


C．y＝－(x＋2)2－2 D．y＝－(x－2)2－2


B [将函数y＝－x2的图象进行逆变换，即将y＝－x2的图象向左平移2个单位，可得y＝－(x＋2)2的图象，然后再将其向上平移2个单位可得y＝－(x＋2)2＋2的图象，即原函数的图象．]


3．将函数y＝2(x＋1)2－2向________平移________个单位，再向________平移________个单位可得到函数y＝2x2的图象．


右 1 上 2 [通过y＝2x2→y＝2(x＋1)2－2反向分析，也可借助顶点分析．]


4．对于二次函数y＝－x2＋4x＋3，


(1)指出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；


(2)说明其图象是由y＝－x2的图象经过怎样的平移得来．


[解] (1)∵y＝－(x－2)2＋7，∴函数图像开口向下；对称轴为直线x＝2；顶点坐标为(2，7)；


(2)先将y＝－x2的图象向右平移2个单位，然后再向上平移7个单位，即可得到y＝－x2＋4x＋3的图象．








二次函数的图象及应用


【例1】 在同一坐标系中作出下列函数的图象．


(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.


并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象．


[解] 列表：


描点、连线即得相应函数的图象，如图所示．





由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下．


法一：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象．


法二：先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象．





任意二次函数y＝ax2＋bx＋c都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示：





上述平移规律为：“h正左移，h负右移”；“k正上移，k负下移”．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．如何把y＝2x2－4x的图象变换成y＝x2的图象？


[解] ∵y＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，


故可先把y＝2x2－4x的图象向上平移2个单位长度得到y＝2(x－1)2的图象，


然后再把y＝2(x－1)2的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x2的图象，


最后把y＝2x2的图象纵坐标变为原来的 eq \f(1,2)，便可得到y＝x2的图象．





二次函数的性质及应用


【例2】 已知二次函数y＝3x2－2x－1.


(1)求其顶点坐标；


(2)判断其在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0))上是增加的还是减小的；


(3)当x取何值时，y＝0.


[思路点拨] 通过配方，将其化成顶点式来求解．


[解] (1)配方得y＝3x2－2x－1＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,3))) eq \s\up8(2)－ eq \f(4,3)，


所以其顶点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(4,3))).


(2)由于该函数在区间 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))上是减小的，且 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0))⊆ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))，所以该函数在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0))上也是减小的．


(3)y＝0，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或－ eq \f(1,3)，


所以，当x＝1或－ eq \f(1,3)时，y＝0.





二次函数的性质可以通过图象直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图象、利用数形结合的思想方法来解决问题．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．已知二次函数y＝－3x2－4x＋6.


(1)求其顶点坐标；


(2)判断其在区间(－2，－1)上是增加的还是减小的；


(3)若当x＝ eq \f(a－2,3)时，y＝0，则当x＝－ eq \f(a＋2,3)时，y的值是多少？


[解] (1)配方得y＝－3x2－4x＋6＝－3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,3))) eq \s\up8(2)＋ eq \f(22,3)，


所以其顶点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(22,3))).


(2)由于该函数在区间 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3)))上是增加的，又(－2，－1)⊆ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3)))，所以该函数在区间(－2，－1)上是增加的．


(3)由对称性知，y＝0.





求二次函数的解析式


【例3】 已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－1)，求二次函数的解析式．


[思路点拨] 由题目中所给出的条件：最大值及顶点位置，可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a.


[解] ∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，


∴顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y＝x＋1上，


所以，2＝x＋1，∴x＝1.


∴顶点坐标是(1，2).


设该二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋2(a<0)，


∵二次函数的图象经过点(3，－1)，


∴－1＝a(3－1)2＋2，解得a＝－ eq \f(3,4).


∴二次函数的解析式为y＝－ eq \f(3,4)(x－1)2＋2.





确定二次函数的解析式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的解析式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择．二次函数的解析式可设成如下三种形式：


①给出三点坐标可利用一般式来求；


②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求；


③给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时可利用交点式来求．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


3．已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．


[解] 设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).


由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－22＝a－b＋c，,－8＝c，,8＝4a＋2b＋c，))


解得 a＝－2，b＝12，c＝－8.


所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8.








1．确定二次函数的解析式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的解析式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择．


2．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，要掌握下列数形之间的对应关系：


(1)a的正负决定了抛物线的开口方向；a的绝对值决定了抛物线的开口大小；


(2)顶点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))决定了抛物线的位置；


(3)判别式Δ＝b2－4ac相对于0的大小决定了抛物线与x轴是否相交．


这是我们用数形结合思想求解二次函数问题的切入点．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)y＝ax2＋bx＋c是二次函数．( )


(2)函数y＝ax2＋bx＋c的图象一定与y轴相交．( )


(3)二次函数y＝2x2与y＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向相反．


( )


(4)把函数y＝x2图象上的每一点的横坐标伸长为原来的 eq \r(2)倍，纵坐标不变，可得到函数y＝2x2的图象．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√


2．函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是( )


A．(－1，4) B．(－1，－4)


C．(1，－4) D．(1，4)


[答案] D


3．已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C(2，4)，则该二次函数的表达式为_______．


[答案] y＝x2＋x－2


4．求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象．


[解] ∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，


∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；


当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；


当x＜－1时，y随着x的增大而增大；


当x＞－1时，y随着x的增大而减小；


采用描点法画图，选顶点A(－1，4)，与x轴交于点B( eq \f(2\r(3)－3,3)，0)和C(－ eq \f(2\r(3)＋3,3)，0)，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象如图所示．








学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握一元二次函数的图象和性质．(重点)


2．体会用平移的方法研究一元二次函数的图象，并能迁移到对其他函数的图象的研究之中．(难点、易混点)
1．通过一元二次函数的图象学习，培养直观想象素养．


2．借助一元二次函数性质的应用，培养逻辑推理素养．
解析式
y＝ax2＋bx＋c eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0))
y＝ax2＋bx＋c eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a<0))
图象
定义域
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
最值
ymin＝ eq \f(4ac－b2,4a)
ymax＝ eq \f(4ac－b2,4a)
增减性
在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上递减


在 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上递增
在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上递增


在 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上递减
对称性
关于直线x＝－ eq \f(b,2a)对称
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y＝x2
9
4
1
0
1
4
9
y＝x2－2
7
2
－1
－2
－1
2
7
y＝2x2－4x
30
16
6
0
－2
0
6