北师大版 (2019)必修第一册3.1 不等式性质精品教学设计

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§3 不等式

3.1 不等式的性质

1．实数a，b大小的比较

设a，b∈R，则

(1)a>b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0;_(3)a

2．不等式的基本性质

思考：若ab≠0，则a>b⇔ eq \f(1,a)< eq \f(1,b)成立吗？

提示：当a，b同号时成立，异号时不成立．

1．若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是( )

A．a－b>d－c B．a＋d>b＋c

C．a－c>b－c D．a－c

[答案] B

2．与a>b等价的不等式是( )

A． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))> eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) B．a2>b2

C． eq \f(a,b)>1 D．a3>b3

D [可以用赋值法，令a＝－1，b＝－2，可知选项A、B、C错误，故选D.]

3．已知a<0，－1

a＜ab2＜ab [因为－1＜b＜0，所以1＞b2＞b，又因为a＜0，所以a＜ab2＜ab.]

4．已知a≠b，试比较a2＋b2与2ab的大小．

[解] 因为a2＋b2－2ab＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b)) eq \s\up8(2)，

又a≠b，

所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b)) eq \s\up8(2)>0，即a2－ab＋b2－ab>0.

所以a2＋b2>2ab.

作差法比较两实数大小

【例1】已知－ eq \f(1,2)

[思路点拨] 先通过赋值估计A、B、C、D的大小，再用作差比较法比较．

[解] 注意到－ eq \f(1,2)

这时A＝ eq \f(17,16)，B＝ eq \f(15,16)，C＝ eq \f(4,3)，D＝ eq \f(4,5)，

由此猜测：C>A>B>D.

下面再来证明这个结论：

C－A＝ eq \f(1,1＋a)－(1＋a2)＝ eq \f(－a（a2＋a＋1）,1＋a)

＝ eq \f(－a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))\s\up8(2)＋\f(3,4))),1＋a).

∵1＋a>0，－a>0， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2))) eq \s\up8(2)＋ eq \f(3,4)>0，∴C>A.

∵A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0，

∴A>B.

B－D＝1－a2－ eq \f(1,1－a)＝ eq \f(a（a2－a－1）,1－a)

＝ eq \f(a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))\s\up8(2)－\f(5,4))),1－a).

∵－ eq \f(1,2)

∴1－a>0， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2))) eq \s\up8(2)－ eq \f(5,4)< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(1,2))) eq \s\up8(2)－ eq \f(5,4)<0，

∴B>D.

综上：C>A>B>D.

1．要比较多个式子的大小，为避免盲目性，可通过赋值估计各式的大小关系，再用作差比较法比较．

2．作差比较法中关键的一步是对差变形，常见的变形有通分、分解、配方等，变形的目的是有利于判断差的符号．

eq \a\vs4\al([跟进训练])

1．设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1与－2m2－2mx的大小．

[解] ∵(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)

＝x2＋(2m－1)x＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m－1,2))) eq \s\up8(2)＋2m2＋1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m－1,2))) eq \s\up8(2)

＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2m－1,2))) eq \s\up8(2)＋m2＋m＋ eq \f(3,4)

＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2m－1,2))) eq \s\up8(2)＋ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(m2＋m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up8(2)))＋ eq \f(3,4)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(2)

＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2m－1,2))) eq \s\up8(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(1,2))) eq \s\up8(2)＋ eq \f(1,2)≥ eq \f(1,2)>0，

∴x2－x＋1>－2m2－2mx.

对不等式性质的理解

【例2】下面的推理过程 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b⇒ac＞bc,c＞d⇒bc＞bd))⇒ac＞bd⇒ eq \f(a,d)＞ eq \f(b,c)，其中错误之处的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

[思路点拨] 考虑不等式性质成立的条件．

D [①a>b推不出ac>bc，②c>d推不出bc>bd，③ac>bd推不出 eq \f(a,d)> eq \f(b,c).]

1．应用不等式的性质解题时，要注意不等式的性质成立的条件，否则，会出现错误．

2．不等式的性质是对不等式变形的依据，根据变形的需要，合理选择不等式的性质．

eq \a\vs4\al([跟进训练])

2．下列命题中，真命题有( )

①若a>b>0，则 eq \f(1,a2)< eq \f(1,b2)；

②若a>b，则c－2a

③若a>b，e>f，则f－ac

④若a>b，则 eq \f(1,a)< eq \f(1,b).

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

B [只有①②为真命题，故选B.]

不等式的性质的应用

[探究问题]

1在解一元一次不等式时，其中“移项”与“系数化为1”的依据分别是什么？

提示：不等式的可加性与可乘性．

2．要证明A>C，只需证明A>B，且B>C，这种证明不等式的方法叫作放缩法，放缩法的依据是什么？

提示：不等式的传递性

【例3】已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a－b， eq \f(a,b)的取值范围．

[思路点拨] 欲求a－b与 eq \f(a,b)的取值范围，应先求－b与 eq \f(1,b)的取值范围，再进一步求a－b， eq \f(a,b)的取值范围．

[解] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15.

又12＜a＜60，

∴12－36＜a－b＜60－15.

∴－24＜a－b＜45.

又 eq \f(1,36)＜ eq \f(1,b)＜ eq \f(1,15)，∴ eq \f(12,36)＜ eq \f(a,b)＜ eq \f(60,15).

∴ eq \f(1,3)＜ eq \f(a,b)＜4.

1．在例3的条件下，求 eq \f(1,2)a－ eq \f(1,3)b的取值范围．

[解] ∵12＜a＜60，15＜b＜36，

∴6< eq \f(1,2)a<30，－12<－ eq \f(1,3)b<－5.

∴－6< eq \f(1,2)a－ eq \f(1,3)b<25.

2．若将本例中的条件改为“2≤a－b≤4，1≤a＋b≤2”，求2a－b的取值范围．

[解] 设2a－b＝m(a－b)＋n(a＋b)，

即2a－b＝(m＋n)a＋(n－m)b.

于是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋n＝2,n－m＝－1))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,2),n＝\f(1,2)))

∴2a－b＝ eq \f(3,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))＋ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b)).

又∵2≤a－b≤4，1≤a＋b≤2，

∴ eq \f(7,2)≤ eq \f(3,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))＋ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))≤7.

即 eq \f(7,2)≤2a－b≤7.

求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用“若等式恒成立，则等式两边对应项系数相等”求出待定系数的取值，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．

1．要比较多个式子的大小，为避免盲目性，可通过赋值估计各式的大小关系，再用作差比较法比较．

2．不等式的性质是对不等式变形的依据，在应用不等式的性质时，一定要注意其前提条件．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)不等式 x≥2 的含义是指x不小于2.( )

(2)若 a>b，则ac>bc.( )

(3)当n∈N*时，若a>b，则an>bn.( )

[答案] (1)√ (2)× (3)×

2．设P＝3x2－x＋1，Q＝2x2＋x则( )

A．P≥Q B．P≤Q

C．P>Q D．P

A [因为P－Q＝x2－2x＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1)) eq \s\up8(2)≥0，所以P≥Q.]

3．已知A＝a2＋b2－4a＋2b＋5，则A与0的大小关系是________．

A≥0 [A＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－2)) eq \s\up8(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋1)) eq \s\up8(2)≥0.]

4．若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．

[解] (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y).

∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，

∴－2xy(x－y)＞0，

∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y).

学习目标
核心素养
1.掌握实数大小的比较方法．(重点)

2．掌握不等式的性质．(重点)

3．能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．(重点、难点)
1．通过实数大小的比较及不等式性质的证明，培养逻辑推理素养．

2．借助不等式性质的应用，提升数学运算素养．
性质
性质内容
注意
传递性
a＞b，且b＞c⇒a＞c
⇒
可加性
a＞b⇒a＋c＞b＋c
⇒
可乘性
a>b，且c>0⇒ac＞bc
c的符号
a>b，且c<0⇒ac＜bc
加法法则
a>b，且c>d⇒a＋c＞b＋d
⇒
乘法法则
如果a>b>0，c>d>0⇒ac＞bd＞0；如果a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＜bd＜0
⇒

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