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高中北师大版 (2019)1 生活中的变量关系一等奖教案
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这是一份高中北师大版 (2019)1 生活中的变量关系一等奖教案，共9页。
§1 生活中的变量关系
1．依赖关系
一般地，在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．
思考1：某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，则他的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？
提示：该人的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟．
2．函数关系
一般地，当变量x每取一个值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应时，变量x、y之间具有函数关系，并且y是x的函数．
思考2：某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动时间作为自变量，他的海拔高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？
提示：每取一个t值，有唯一一个h值与之对应．
3．分段函数
在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫作分段函数．
1．下列各量间不存在依赖关系的是( )
A．扇形的圆心角与它的面积
B．某人的体重与其饮食情况
C．水稻的亩产量与施肥量
D．某人的衣着价格与视力
[答案] D
2．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；下图中与这件事正好吻合的图象是(其中x轴表示时间，y轴表示路程)( )
A B C D
A [开始一段时间路程逐渐增大，增大的速度相同，图象是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图象与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图象知选A.]
3．给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．
其中不是函数关系的有________(填序号).
①③④ [由已知关系判断得，①③④中关系不确定，故不是函数关系，只有②是函数关系．]
4．如图是一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况示意图．
(1)汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它的最高时速是多少？
(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
(3)出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？
[解] (1)汽车从出发到最后停止共经过了24分钟，最高时速为80千米/时．
(2)汽车在出发后2分钟到6分钟，出发后18分钟到22分钟均保持匀速行驶，时速分别为30千米/时和80千米/时．
(3)出发后8分到10分之间汽车速度为0千米/时，重新出发后，车速很快提高到80千米/时，因此在8分到10分这段时间内很可能在修车．
依赖关系与函数关系的辨析
【例1】 下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
①球的体积和它的半径；
②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；
③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；
④正三角形的面积和它的边长．
[解] ①中球的体积V与半径r间存在V＝ eq \f(4,3)πr3的关系；
②中在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；
③中家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性；
④中正三角形的面积S与其边长a间存在S＝ eq \f(\r(3),4)a2的关系．
综上可知①②③④中两个变量间都存在依赖关系，其中①②④是函数关系．
判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，另一个变量是否随之变化．而判断两个变量是否具有函数关系，关键是看对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；
(2)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系；
(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．
[解] (1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系；
(2)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系；
(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系．
综上可知，(1)(3)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系．
变量关系的表示
【例2】 声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表：
(1)根据表内数据作图；
(2)用x表示y；
(3)气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多少米．
[解] (1)
此图反映的是变量音速随气温的变化．
(2)由表中数据可知，气温每升高5 ℃，音速加快3米/秒，又过点(0，331)，
故所求函数关系式为y＝ eq \f(3,5)x＋331.
(3)由(2)可知气温为22 ℃时，音速y＝ eq \f(3,5)×22＋331，
故此人与燃放的烟花所在地约相距为5×( eq \f(3,5)×22＋331)＝66＋1 655＝1 721(米).
借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发现规律．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系：(其中0≤x≤20)
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？
(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？
[解] (1)画出图如下：
反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量．
(2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受能力是59.
(3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强．
(4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受能力逐步降低．
分段函数
【例3】 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P从点A出发沿A→B→C→D的路线移动，设点P移动的路线为x，△PAD的面积为y，
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)求当x＝4和x＝18时的函数值；
(3)当x取何值时，y＝20，并说明此时点P在矩形的哪条边上．
[解] (1)当点P在线段AB上时，此时AP＝x，
根据三角形的面积公式可得：y＝ eq \f(1,2)·AD·AP＝ eq \f(1,2)×8×x＝4x，
当点P在线段BC上运动时，面积不变；
当点P在线段CD上运动时，
DP＝6＋8＋6－x＝20－x，AD＝8
根据三角形的面积公式可得：y＝ eq \f(1,2)·AD·DP＝ eq \f(1,2)×8×(20－x)＝80－4x，
∴y与x之间的函数关系式为y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x（0≤x≤6），,24（6≤x≤14），,80－4x（14≤x≤20）.))
(2)当x＝4时，y＝4x＝4×4＝16，
当x＝18时，y＝80－4×18＝8；
(3)当y＝4x＝20，解得x＝5，此时点P在线段AB上，
当y＝80－4x＝20，解得x＝15，此时点P在线段CD上．
某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段的解析式．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离s(千米)和时间t(小时)的函数关系式．
[解] 先考虑由甲地到乙地的过程，
当0≤t≤2时，y＝6t，
再考虑在乙地耽搁的情况，
当2
最后考虑由乙地返回甲地的过程，
当3
所以s(t)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6t（0≤t≤2）,12（2
1．依赖关系和非依赖关系
在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系．
2．函数关系
如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有唯一确定的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系．
3．借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发现规律．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一个人受教育的程度与他的能力之间的关系是依赖关系．( )
(2)圆上的点的纵坐标与横坐标之间的关系是函数关系．( )
(3)若y是x的函数，则x一定是y的函数．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．下列说法不正确的是( )
A．圆的周长与其直径的比值是常量
B．任意四边形的内角和的度数是常量
C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系
D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系
[答案] D
3．下列关系不是函数关系的是________(填序号).
①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系；
②某同学学习时间与其学习成绩的关系；
③人的睡眠质量与身体状况的关系．
②③ [对于①，所付车费与乘车距离是一种确定性关系，是函数关系；而对于②，③中的两个变量是非确定性关系，不是函数关系．]
4．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系如图所示．
(1)试求图中阴影部分的面积，说明面积的实际含义，并分析面积与时间是否构成函数关系？
(2)假设汽车里程表在行驶这段路程前的读数为a km，当1
[解] (1)阴影部分的面积为S＝50＋80＋90＋70＋60＝350，
阴影部分的面积表示汽车在这5个小时内行驶的总路程为350 km.
由于对于时间t的每一个取值，都有唯一的面积的值与之对应，因此面积与时间构成函数关系．
(2)根据图象可得，s＝80(t－1)＋a＋50(1
1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象．(重点)
2．能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系．(重、难点)
通过生活中的变量关系的学习，培养数学建模素养．
气温x/℃
0
5
10
15
20
音速y(米/秒)
331
334
337
340
343
提出概念
所用时间(x)
2
5
7
10
12
13
14
17
20
对概念的
接受能力(y)
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
§1 生活中的变量关系
1．依赖关系
一般地，在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．
思考1：某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，则他的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？
提示：该人的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟．
2．函数关系
一般地，当变量x每取一个值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应时，变量x、y之间具有函数关系，并且y是x的函数．
思考2：某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动时间作为自变量，他的海拔高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？
提示：每取一个t值，有唯一一个h值与之对应．
3．分段函数
在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫作分段函数．
1．下列各量间不存在依赖关系的是( )
A．扇形的圆心角与它的面积
B．某人的体重与其饮食情况
C．水稻的亩产量与施肥量
D．某人的衣着价格与视力
[答案] D
2．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；下图中与这件事正好吻合的图象是(其中x轴表示时间，y轴表示路程)( )
A B C D
A [开始一段时间路程逐渐增大，增大的速度相同，图象是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图象与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图象知选A.]
3．给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．
其中不是函数关系的有________(填序号).
①③④ [由已知关系判断得，①③④中关系不确定，故不是函数关系，只有②是函数关系．]
4．如图是一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况示意图．
(1)汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它的最高时速是多少？
(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
(3)出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？
[解] (1)汽车从出发到最后停止共经过了24分钟，最高时速为80千米/时．
(2)汽车在出发后2分钟到6分钟，出发后18分钟到22分钟均保持匀速行驶，时速分别为30千米/时和80千米/时．
(3)出发后8分到10分之间汽车速度为0千米/时，重新出发后，车速很快提高到80千米/时，因此在8分到10分这段时间内很可能在修车．
依赖关系与函数关系的辨析
【例1】 下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
①球的体积和它的半径；
②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；
③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；
④正三角形的面积和它的边长．
[解] ①中球的体积V与半径r间存在V＝ eq \f(4,3)πr3的关系；
②中在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；
③中家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性；
④中正三角形的面积S与其边长a间存在S＝ eq \f(\r(3),4)a2的关系．
综上可知①②③④中两个变量间都存在依赖关系，其中①②④是函数关系．
判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，另一个变量是否随之变化．而判断两个变量是否具有函数关系，关键是看对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；
(2)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系；
(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．
[解] (1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系；
(2)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系；
(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系．
综上可知，(1)(3)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系．
变量关系的表示
【例2】 声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表：
(1)根据表内数据作图；
(2)用x表示y；
(3)气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多少米．
[解] (1)
此图反映的是变量音速随气温的变化．
(2)由表中数据可知，气温每升高5 ℃，音速加快3米/秒，又过点(0，331)，
故所求函数关系式为y＝ eq \f(3,5)x＋331.
(3)由(2)可知气温为22 ℃时，音速y＝ eq \f(3,5)×22＋331，
故此人与燃放的烟花所在地约相距为5×( eq \f(3,5)×22＋331)＝66＋1 655＝1 721(米).
借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发现规律．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系：(其中0≤x≤20)
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？
(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？
[解] (1)画出图如下：
反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量．
(2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受能力是59.
(3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强．
(4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受能力逐步降低．
分段函数
【例3】 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P从点A出发沿A→B→C→D的路线移动，设点P移动的路线为x，△PAD的面积为y，
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)求当x＝4和x＝18时的函数值；
(3)当x取何值时，y＝20，并说明此时点P在矩形的哪条边上．
[解] (1)当点P在线段AB上时，此时AP＝x，
根据三角形的面积公式可得：y＝ eq \f(1,2)·AD·AP＝ eq \f(1,2)×8×x＝4x，
当点P在线段BC上运动时，面积不变；
当点P在线段CD上运动时，
DP＝6＋8＋6－x＝20－x，AD＝8
根据三角形的面积公式可得：y＝ eq \f(1,2)·AD·DP＝ eq \f(1,2)×8×(20－x)＝80－4x，
∴y与x之间的函数关系式为y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x（0≤x≤6），,24（6≤x≤14），,80－4x（14≤x≤20）.))
(2)当x＝4时，y＝4x＝4×4＝16，
当x＝18时，y＝80－4×18＝8；
(3)当y＝4x＝20，解得x＝5，此时点P在线段AB上，
当y＝80－4x＝20，解得x＝15，此时点P在线段CD上．
某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段的解析式．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离s(千米)和时间t(小时)的函数关系式．
[解] 先考虑由甲地到乙地的过程，
当0≤t≤2时，y＝6t，
再考虑在乙地耽搁的情况，
当2
最后考虑由乙地返回甲地的过程，
当3
所以s(t)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6t（0≤t≤2）,12（2
1．依赖关系和非依赖关系
在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系．
2．函数关系
如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有唯一确定的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系．
3．借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发现规律．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一个人受教育的程度与他的能力之间的关系是依赖关系．( )
(2)圆上的点的纵坐标与横坐标之间的关系是函数关系．( )
(3)若y是x的函数，则x一定是y的函数．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．下列说法不正确的是( )
A．圆的周长与其直径的比值是常量
B．任意四边形的内角和的度数是常量
C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系
D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系
[答案] D
3．下列关系不是函数关系的是________(填序号).
①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系；
②某同学学习时间与其学习成绩的关系；
③人的睡眠质量与身体状况的关系．
②③ [对于①，所付车费与乘车距离是一种确定性关系，是函数关系；而对于②，③中的两个变量是非确定性关系，不是函数关系．]
4．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系如图所示．
(1)试求图中阴影部分的面积，说明面积的实际含义，并分析面积与时间是否构成函数关系？
(2)假设汽车里程表在行驶这段路程前的读数为a km，当1
[解] (1)阴影部分的面积为S＝50＋80＋90＋70＋60＝350，
阴影部分的面积表示汽车在这5个小时内行驶的总路程为350 km.
由于对于时间t的每一个取值，都有唯一的面积的值与之对应，因此面积与时间构成函数关系．
(2)根据图象可得，s＝80(t－1)＋a＋50(1
1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象．(重点)
2．能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系．(重、难点)
通过生活中的变量关系的学习，培养数学建模素养．
气温x/℃
0
5
10
15
20
音速y(米/秒)
331
334
337
340
343
提出概念
所用时间(x)
2
5
7
10
12
13
14
17
20
对概念的
接受能力(y)
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