北师大版 (2019)必修 第一册第四章 对数运算和对数函数4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较一等奖教学设计及反思

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§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较











三种函数的增长趋势


思考：举例说明“指数爆炸”增长的含义？


提示：如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图象上看出，存在x0，当x>x0时，数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效果．





1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )





A B C D


D [设该林区的森林原有蓄积量为a，


由题意得，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝lg1.104x(x≥1)，


∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．]


2．下列函数中，增长速度最慢的是( )


A．y＝6x B．y＝lg6x


C．y＝x6 D．y＝6x


B [对数函数增长的速度越来越慢，故选B.]


3．当x>4时，a＝4x，b＝lg4x，c＝x4的大小关系是________．


b

所以a，b，c的大小关系是b

4．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元， 且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R).


(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；


(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．


[解] (1)依题意：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（1）＝6，,f（2）＝14，))有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋b1＝0，,4a1＋2b1＝8.))


解得a1＝4，b1＝－4，∴f(x)＝4x2－4x＋6.


由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g（1）＝6，,g（2）＝8，))有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a2＋b2＝6，,9a2＋b2＝8.))解得a2＝ eq \f(1,3)，b2＝5，


∴g(x)＝ eq \f(1,3)×3x＋5＝3x－1＋5，


所以甲在今年5月份的利润为f(5)＝86万元，乙在今年5月份的利润为g(5)＝86万元， 故有f(5)＝g(5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．


(2)作函数图象如图所示：





从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：


当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；


当1g(x)；


当5







函数模型的增长差异


【例1】 (1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )


A．y＝10 000xB．y＝lg2x


C．y＝x1 000 D．y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,2))) eq \s\up8(x)


(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：


关于x呈指数函数变化的变量是________．


(1)D (2)y2 [(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,2))) eq \s\up8(x)增长速度最快．


(2)从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．]





常见函数模型及增长特点


⑴线性函数模型


y＝kx＋b eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k>0))的增长特点是直线上升，其增长速度不变．


⑵指数函数模型


y＝ax eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>1))随x增大，y增长速度越来越快，并且当a越大时，y＝ax的函数值增长的越快．


⑶对数函数模型


y＝lgax随x增大，y增长速度越来越慢，并且当a越大时，y＝lgax的函数值增长的越慢．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．下面对函数f(x)＝lg eq \s\d2(\f(1,2))x，g(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x)与h(x)＝x eq \s\up6(－ eq \f(1,2))在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )


A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢


B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快


C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢


D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快


C [函数f(x)＝lg eq \s\d2(\f(1,2))x，g(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x)与h(x)＝x eq \s\up6(－ eq \f(1,2))在区间(0，＋∞)上的图象如图所示．





观察图象可知，函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．


同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．


函数h(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C.]





函数模型的选择问题


【例2】 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y(单位：元/102kg)与上市时间x(单位：天)的数据如下表：


(1)根据上述表格中的数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系：


y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝a·bx，y＝algax.


(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本．


[解] (1)由表格中数据可知，种植成本不是常函数，


∴a≠0，而此时y＝ax＋b，y＝a·bx，y＝algax均为单调函数，


与表中数据不符，因此y＝ax2＋bx＋c，将三组数据代入


得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2500a＋50b＋c＝150，,12 100a＋110b＋c＝108，,62 500a＋250b＋c＝150，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,200)，,b＝－\f(3,2)，,c＝\f(425,2)．))


∴描述西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系为y＝ eq \f(1,200)x2－ eq \f(3,2)x＋ eq \f(425,2).


(2)当x＝150时，ymin＝100(元/102kg).


即西红柿种植成本最低时的上市天数是150天，最低种植成本是100元/102kg.





(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；


(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；


(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．


因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．某汽车制造商在2020年初公告：公司计划2020年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：


如果我们分别将2016，2017，2018，2019定义为第一、二、三、四年．现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？


[解] 建立年产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30).


(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，


将点坐标代入，


可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝8，,4a＋2b＋c＝18.,9a＋3b＋c＝30，))解得a＝1，b＝7，c＝0，


则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1.


(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，


将点坐标代入，可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ab＋c＝8，,ab2＋c＝18，,ab3＋c＝30，))


解得a＝ eq \f(125,3)，b＝ eq \f(6,5)，c＝－42.


则g(x)＝ eq \f(125,3)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5))) eq \s\up8(x)－42，


故g(4)＝ eq \f(125,3)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5))) eq \s\up8(4)－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，二次函数模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系．








指数函数、对数函数与幂函数模型的比较


【例3】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1




(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．


(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小．


[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.


(2)因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，


所以1

所以x1<6x2.


从图象上可以看出，当x1

当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 020)>g(2 020).


又因为g(2 020)>g(6)，


所以f(2 020)>g(2 020)>g(6)>f(6).





1．若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解(1)呢？


[解] 由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x.


2．本例条件不变，(2)中条件若改为：试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2 019)，g(2 019)的大小．


[解] 因为f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2.从图象上可以看出，当x1

当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 019)>g(2 019).又因为g(2 019)>g(8)，所以f(2 019)>g(2 019)>g(8)>f(8).





判断函数的增长速度，一个方面是从x增加相同量时，函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图象的变化判断，图象越陡，增长越快．











1．三种函数模型的增长特点


(1)指数函数模型：表达式为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0)，当b>1时，增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0

(2)对数函数模型：表达式为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝mlgax＋n(m，n，a为常数，m>0)，当a>1时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢；当0

(3)幂函数模型：表达式为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α>0，α≠1)，其增长情况由a和α的取值确定．


2．三种函数模型的选取


(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．


(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，常常选用对数函数模型．


(3)幂函数模型y＝xα eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α>0))，则可以描述增长幅度不同的变化：α值较小(α<1)时，增长较慢；α值较大(α>1)时，增长较快．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)当x>1时，y＝x2比y＝2x增长得更快．( )


(2)存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，lgax

(3)函数y＝lg eq \s\d2(\f(1,2))x衰减的速度越来越慢．( )


[答案] (1)√ (2)√ (3)√


2．若x∈(1，2)，则下列结论正确的是( )


A．2x>x eq \s\up6(\f(1,2))>lg x B．2x>lg x>x eq \s\up6(\f(1,2))


C．x eq \s\up6(\f(1,2))>2x>lg x D．x eq \s\up6(\f(1,2))>lg x>2x


A [∵x∈(1，2)，∴2x>2.


∴x eq \s\up6(\f(1,2))∈(1， eq \r(2))，lg x∈(0，1).


∴2x>x eq \s\up6(\f(1,2))>lg x．]


3．当a>1时，有下列结论：


①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；


②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；


③对数函数y＝lgax，当a越大时，其函数值的增长越快；


④对数函数y＝lgax，当a越小时，其函数值的增长越快．


其中正确的结论是________．


[答案] ①④


4．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示：





(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数．


(2)比较f(x)，g(x)的大小．


[解] (1)曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.


(2)当0f(x)；


当x1g(x)；


当x>x2时，g(x)>f(x)；


当x＝x1或x＝x2时，g(x)＝f(x).学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解三种函数的增长特征．(重点)


2．初步认识“直线上升”、“指数爆炸”和“对数增长”．(重点)


3．尝试函数模型的简单应用．(重点、难点)
通过三种函数的增长特征的实际应用，培养数学建模素养．
y＝ax eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>1))
y＝lgax eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>1))
y＝xα eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α>0))
在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上的增减性
增函数
图象的变


化趋势
随x增大，近似与y轴平行．
随x增大，近似与x轴平行．
α值较小(α<1)，增长较慢；α值较大(α>1)时，增长较快．
增长速度
①随x增大，y＝ax增长速度越来越快，并且当a越大时，y＝ax增长的速度越快．


②随x增大，y＝lgax增长速度越来越慢，并且当a越大时，y＝lgax增长速度越慢．


③当x足够大时，一定有ax>xα>lgax.
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
时间x
50
110
250
种植成本y
150
108
150
年份
2017
2018
2019
产量
8(万)
18(万)
30(万)