北师大版 (2019)必修 第一册第四章 对数运算和对数函数1 对数的概念一等奖教学设计

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§1 对数的概念














1．对数


(1)指数式与对数式的互化及有关概念：





(2)底数a的范围是a＞0，且a≠1．


2．常用对数与自然对数





3．对数的基本性质


(1)负数和零没有对数．


(2)lga1＝0(a＞0，且a≠1).


(3)lgaa＝1(a＞0，且a≠1).


(4)algaN＝N


思考：为什么零和负数没有对数？


提示：由对数的定义：ax＝N(a＞0且a≠1)，则总有N＞0，所以转化为对数式x＝lgaN时，不存在N≤0的情况．





1．lg2 eq \r(2)的值为( )


A．－ eq \r(2) B． eq \r(2) C．－ eq \f(1,2) D． eq \f(1,2)


D [设lg2 eq \r(2)＝x，则2x＝ eq \r(2)＝2 eq \s\up6 (\f(1,2))，∴x＝ eq \f(1,2).]


2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )


A．e0＝1与ln 1＝0


B．8 eq \s\up6 (－ eq \f(1,3))＝ eq \f(1,2)与lg8 eq \f(1,2)＝－ eq \f(1,3)


C．lg39＝2与9 eq \s\up6 (\f(1,2))＝3


D．lg77＝1与71＝7


C [根据ab＝N⇔b＝lgaN可知，A，B，D均正确，C不正确．]


3．若lg(ln x)＝0，则x＝________．


e [ln x＝1，x＝e.]


4．求下列对数的值：


(1)lg28；(2)lg9 eq \f(1,9)；(3)ln e；(4)lg 1.


[解] (1)设lg28＝x，则2x＝8＝23，


∴x＝3.∴lg28＝3.


(2)设lg9 eq \f(1,9)＝x，则9x＝ eq \f(1,9)＝9－1，∴x＝－1.


∴lg9 eq \f(1,9)＝－1.


(3)ln e＝1.


(4)lg 1＝0.








对数的概念


【例1】 已知对数lg(1－a)(a＋2)有意义，求实数a的取值范围．


[解] 由于对数lg(1－a)(a＋2)有意义，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋2>0,1－a>0,1－a≠1))，解得－2

所以实数a的取值范围是(－2，0)∪(0，1).





正确理解对数的概念


(1)底数大于0且不等于1，真数大于0.


(2)明确指数式和对数式的区别和联系，以及二者之间的相互转化．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．若对数lg3a(－2a＋1)有意义，则a的取值范围是________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) [根据题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2a＋1>0,3a>0,3a≠1))


解得0




指数式与对数式的互化


【例2】 求下列各式中x的值：


(1)lg16x＝－2； (2)lgx27＝ eq \f(3,4).


[思路点拨] 利用对数的定义，把对数式化为指数式，即可解得x的值．


[解] (1)由lg16x＝－2，得x＝16－2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16))) eq \s\up8(2)＝ eq \f(1,256)，


故x＝ eq \f(1,256).


(2)由lgx27＝ eq \f(3,4)，得x eq \s\up6(\f(3,4))＝27，即x eq \s\up6(\f(3,4))＝33，∴x＝34＝81.





1．首先掌握指数式与对数式的关系，即ab＝N⇔b＝lgaN.


2．对数的定义是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意各自的位置及表示方式．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：


(1)2－7＝ eq \f(1,128)；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；(4)lg eq \s\d2(\f(1,2))32＝－5；(5)lg 0.001＝－3.


[解] (1)lg2 eq \f(1,128)＝－7；(2)lg327＝3；(3)lg 0.1＝－1；(4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(－5)＝32；(5)10－3＝0.001.





对数的性质


【例3】 求下列各式中x的值


(1)lg2(lg5x)＝0；


(2)lg3(lg x)＝1；


(3)lg3(lg4(lg5x))＝0.


[解] (1)∵lg2(lg5x)＝0，


∴lg5x＝20＝1，∴x＝51＝5.


(2)∵lg3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，


∴x＝103＝1 000.


(3)由lg3(lg4(lg5x))＝0可得lg4(lg5x)＝1，故lg5x＝4，所以x＝54＝625.





1．本例(3)中若将“lg3(lg4(lg5x))＝0”改为“lg3(lg4(lg5x))＝1”，又如何求解x呢？


[解] 由lg3(lg4(lg5x))＝1可得，lg4(lg5x)＝3，则lg5x＝43＝64，所以x＝564.


2．在本例(3)条件下，计算625 eq \s\up6 (lgx3)的值．


[解] 因为x＝625，则625 eq \s\up6 (lgx3)＝3.


3．本例(3)中若将“lg3(lg4(lg5x))＝0”改为“3 eq \s\up6 (lg3 (lg4 (lg5 x)))＝1”，又如何求解x呢？


[解] 由3 eq \s\up6 (lg3 (lg4 (lg5 x)))＝1可得lg4(lg5x)＝1，故lg5x＝4，所以x＝54＝625.





利用对数性质求解的两类问题的解法


(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求lga(lgbc)的值，先求lgbc的值，再求lga(lgbc)的值．


(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“lg”后再求解．











1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔lgaN＝b(a>0且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：


(1)lgaab＝b；(2)a eq \s\up6 (lgaN)＝N.


2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．


3．指数式与对数式的互化








1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)lgaN是lga与N的乘积．( )


(2)(－2)3＝－8可化为lg(－2)(－8)＝3.( )


(3)对数运算的实质是求幂指数．( )


[答案] (1)× (2)× (3)√


2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有( )


A．lg2M＝a B．lgaM＝2


C．lga2＝M D．lg2a＝M


[答案] B


3．已知lg3 eq \f(2x－1,5)＝0，则x＝________．


3 [ eq \f(2x－1,5)＝30＝1，解得x＝3.]


4．若lg eq \s\up-3(\f(1,2)) x＝m，lg eq \s\up-3(\f(1,4)) y＝m＋2，求 eq \f(x2,y)的值．


[解] ∵lg eq \s\up-3(\f(1,2)) x＝m，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(m)＝x，x2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(2m).


∵lg eq \s\up-3(\f(1,4)) y＝m＋2，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up8(m＋2)＝y，y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(2m＋4).


∴ eq \f(x2,y)＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2m),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2m＋4))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(2m－（2m＋4）)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(－4)＝16.


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数的概念．(重点)


2．掌握指数式与对数式的互化．(重点)


3．理解并掌握对数的基本性质．(难点、易混点)
通过指数式与对数式的互化及对数的基本性质的学习，培养逻辑推理素养与数学运算素养．