高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第五章 函数应用本章综合与测试获奖教案及反思
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函数的零点及其应用
【例1】 (1)已知函数f (x)=ln x- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x-2)的零点为x0,则x0所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
(2)已知函数f(x)= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex,x≤0,,ln x,x>0,))g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
(1)C (2)C [(1)因为f (x)=ln x- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x-2)在(0,+∞)上为增函数,又f (1)=ln 1- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(-1)=ln 1-2<0,f(2)=ln 2- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(0)<0,f (3)=ln 3- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(1)>0,所以x0∈(2,3),故选C.
(2)函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点.作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1,故选C.]
1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法:
(1)利用函数零点的存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
2.已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1.函数f(x)= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2+x-2,x≤0,,-1+ln x,x>0))的零点个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
B [法一:由f(x)=0得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤0,,x2+x-2=0))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0,,-1+ln x=0,))
解得x=-2或x=e.因此函数f(x)共有2个零点.
法二:函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.
]
二分法及应用
【例2】 设函数f(x)=x3+3x-5,其图象在(-∞,+∞)上是连续不断的.
先求值:f(0)=_______,f(1)=_______,f(2)=_______,f(3)=_______.
所以f(x)在区间________内存在一个零点x0,填下表,
结论x0的值为多少?(精确度0.1)
[解] f(0)=-5,f(1)=-1,f(2)=9,f(3)=31,
所以初始区间为(1,2).
因为|1.187 5-1.125|=0.062 5<0.1,所以x0≈1.125(不唯一).
使用二分法的注意事项
(1)二分法的实质是通过“取中点”,不断缩小零点所在区间的范围,所以要选好计算的初始区间,保证所选区间既符合条件,又使区间长度尽量小.
(2)计算时注意依据给定的精度,及时检验计算所得的区间是否满足精度的要求.
(3)二分法在具体使用时有一定的局限性,首先二分法只能一次求得一个零点,其次f(x)在(a,b)内有不变号零点时,不能用二分法求得.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下:f(1)=-2,f(1.5)=0.625;f(1.25)=-0.984,f(1.375)=-0.260;f(1.438)=0.165.那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根可以为(精度为0.1)( )
A.1.2 B.1.35 C.1.43 D.1.5
C [∵f(1.438)=0.165>0,f(1.375)=-0.260<0,∴函数f(x)在(1.375,1.438)内存在零点,又1.438-1.375<0.1,结合选项知1.43为方程f(x)=0的一个近似根.]
函数的实际应用
【例3】 《中华人民共和国个人所得税法》规定,个人所得税起征点为3 500元(即3 500元以下不必纳税,超过3 500元的部分为当月应纳税所得额),应缴纳的税款按下表分段累计计算:
(1)列出公民全月工资总额x(0
(2)李明1月份工资总额为6 500元,他本月应缴纳的个人所得税款是多少?
[解] (1)依题意可得:
①当0
②当3 500
③当5 000
综上可得y= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0,0
(2)由(1)可得,当x=15 000元时,应缴纳的个人所得税为0.1×6 500-455=205元.
刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元,那么她当月工资总额是多少?
[解] 因为需交税300元,故有5 000
所以300=0.1x-455,所以x=7 550.
答:刘丽十二月份工资总额为7 550元.
建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤
(1)对实际问题进行抽象概括,确定变量之间的主、被动关系,并用x,y分别表示.
(2)建立函数模型,将变量y表示为x的函数,此时要注意函数的定义域.
(3)求解函数模型,并还原为实际问题的解.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q- eq \f(1,20)Q2,则总利润L(Q)的最大值是________万元.
2 500 [由已知得L(Q)=K(Q)-10Q-2 000= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(40Q-\f(1,20)Q2))-10Q-2 000=- eq \f(1,20)(Q-300)2+2 500,所以当Q=300时,L(Q)max=2 500(万元).]
区间
中点m
f(m)符号
区间长度
区间
中点m
f(m)符号
区间长度
(1,2)
1.5
+
1
(1,1.5)
1.25
+
0.5
(1,1.25)
1.125
-
0.25
(1.125,1.25)
1.187 5
+
0.125
(1.125,1.187 5)
0.062 5
全月应纳税所得额
税率%
不超过1 500元的部分
3
超过1 500元至4 500元部分
10
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