数学必修 第一册3 数学建模活动的主要过程公开课教案设计

这是一份数学必修 第一册3 数学建模活动的主要过程公开课教案设计，共8页。教案主要包含了建立函数模型解决实际问题实例等内容，欢迎下载使用。

二、建立函数模型解决实际问题实例





建立函数模型解决实际问题


【例1】 据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即t(h)内台风所经过的路程s(km).


(1)当t＝4时，求s的值；


(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；


(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．





[思路点拨] (1)由图求出直线OA的方程，把t＝4代入可得s的值；


(2)由图分析可知s是关于t的分段函数，分三段求出即可；


(3)利用(2)中所得的函数的值域求解．


[解] (1)由图象可知，直线OA的方程是v＝3t，直线BC的方程是v＝－2t＋70.


当t＝4时，v＝12，所以s＝ eq \f(1,2)×4×12＝24.


(2)当0≤t≤10时，s＝ eq \f(1,2)×t×3t＝ eq \f(3,2)t2；


当10

当20

综上可知，s随t变化的规律是


s＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)t2，t∈[0，10]，,30t－150，t∈（10，20]，,－t2＋70t－550，t∈（20，35].))


(3)当t∈[0，10]时，smax＝ eq \f(3,2)×102＝150<650，


当t∈(10，20]时，smax＝30×20－150＝450<650，


当t∈(20，35]时，令－t2＋70t－550＝650，


解得t＝30或t＝40(舍去)，


即在台风发生30小时后将侵袭到N城．





1．解函数应用题的一般步骤


第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；


第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；


第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论；


第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；


第五步：反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．


2．把实际问题数学模型化一定要过好三关


(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口；


(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系；


(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400－6x，040.))


(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；


(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．


[解] (1)当0

当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－ eq \f(40 000,x)－16x＋7 360.


所以W＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－6x2＋384x－40，040.))


(2)①当0

所以Wmax＝W(32)＝6 104；


②当x>40时，W＝－ eq \f(40 000,x)－16x＋7 360，


由于 eq \f(40 000,x)＋16x≥2 eq \r(\f(40 000,x)×16x)＝1 600，


当且仅当 eq \f(40 000,x)＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，


所以W取最大值为5 760.


综合①②知，当x＝32时，W取得最大值6 104万元．


【例2】 [发现问题、提出问题]


作为日常必需品之一的天然气是清洁能源，很多家庭的一日三餐都要用天然气来做，但由于我国的天然气大部分依靠进口，时常出现供应紧张的局面，节约用气刻不容缓，为了研究燃气灶在何种情况下最省气，某学校数学建模小组通过实验得到了如下数据：


燃气旋钮在不同位置的烧开一壶水所需燃气量


[分析问题、建立模型]


用表内数据，在直角坐标系上标出旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的点．


由图可以看出，5个点显示出随着旋钮的角度逐渐增大，燃气用量有一个从大到小又从小到大的过程．在我们学习过的函数图象中，二次函数的图象与之最接近，可以用二次函数近似地表示这种变化．





[确定参数、计算求解]


设函数式为y＝ax2＋bx＋c，取三对数据即可求出表达式的系数，不妨取(18，0.130)，(36，0.122)，(90，0.172)，得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(182a＋18b＋c＝0.130，,362a＋36b＋c＝0.122，,902a＋90b＋c＝0.172.))


解得a＝1.903 3×10－5，b＝－1.472 2×10－3，c＝1.503 3×10－1.


则函数式为y＝1.903 3×10－5x2－1.472 2×10－3x＋1.503 3×10－1.


求燃气用量最少时的旋钮位置，实际上是求函数


y＝1.903 3×10－5x2－1.472 2×10－3x＋1.503 3×10－1的最小值点x0.


x0＝－ eq \f(b,2a)＝－ eq \f(－1.472 2×10－3,2×1.903 3×10－5)≈39°.


即燃气用量最少时的旋钮位置是旋转39°的位置，这时的用气量大约是


y0＝ eq \f(4ac－b2,4a)


＝ eq \f(4×1.903 3×10－5×1.503 3×10－1－（－1.472 2×10－3）2,4×1.903 3×10－5)


≈0.121 8(m3).


[验证结果、改进模型]


对于上一个步骤中得到的用气量的函数模型


y＝1.903 3×10－5x2－1.472 2×10－3x＋1.503 3×10－1能够很好地反映用气量y与旋钮位置x的关系吗？试选择一个数据进行验证．


当x＝54时，由函数的解析式可得y≈0.126 3(m3)，和实验所得数据相比的差为0.139－0.126 3＝0.012 7，数值很小，说明该函数模型可以很好地反映用气量y与旋钮位置x的关系．





建立函数模型解决问题的框图表示








eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．房屋造价(元/m2)与建筑层数有关，可表示为一般造价(元/m2)乘上层数系数λ.根据经验数据，绘出层数系数λ与层数n的关系，如图所示，其中2层到5层的建筑由于共用地基和层顶等原因，λ随层数增加沿抛物线下降，而5层～8层及以上的建筑则由于防震、防风等因素需增加成本，λ随层数增加而增加．





(1)请根据所给图与表格建立λ随层数n增加而改变的函数关系式，并将表中数据填完整；


(2)某单位为建造楼房筹集资金100万元，用于支付房屋造价和土地使用权购置费，若一般造价为800元/m2，土地价为300元/亩 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1亩＝\f(2 000,3)m2))，试利用(1)中的条件求该单位最多能建房多少平方米．(精确到1 m2)


[解] (1)由题设知，当2≤n≤5时，λ＝f(n)的图象为抛物线的一段，所以设λ＝an2＋bn＋c，


将(2，1.08)，(3，1.03)，(4，1)代入，得：


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1.08＝4a＋2b＋c，,1.03＝9a＋3b＋c，,1＝16a＋4b＋c，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0.01，,b＝－0.1，,c＝1.24.))


所以λ＝0.01n2－0.1n＋1.24.


当5＜n≤8时，观察图形，三点似乎在同一条直线上，


所以设λ＝kn＋b，将(6，1.08)和(8，1.26)代入，


得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1.08＝6k＋b，,1.26＝8k＋b，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝0.09，,b＝0.54，))


所以λ＝0.09n＋0.54，


通过验证知(7，1.17)正好在此直线上．


故所求函数λ＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.01n2－0.1n＋1.24（2≤n≤5），,0.09n＋0.54（5＜n≤8）.))


把n＝5代入上式，得λ＝0.99.


又由图可得n＝1时，λ＝1.25.


将1.25，0.99填入表中的对应格里即可(表略).


(2)设所建楼房占地面积为x m2，


由(1)知当n＝5时，造价最低，此时λ＝0.99，


故总建房面积为5x m2，


其总造价为0.99×800×5x＋ eq \f(x,\f(2 000,3))×300，


依题意得1 000 000＝0.99×800×5x＋ eq \f(9,20)x，


解得5x≈1 262，即该单位最多可建房1 262 m2.





利用已有函数模型解决实际问题


【例3】 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故原因的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据．


[思路点拨] 根据已经给出的刹车距离与车速的函数关系，由刹车距离建立不等式，求出两辆车的车速范围，然后进行判断．


[解] 依题意，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，即x2＋10x－1 200＞0，


解得x＞30或x＜－40(不合实际意义，舍去)，


这说明，甲车的速度超过30 km/h.


但根据题意，刹车距离略超过12 m，由此估计甲车速度不会超过限速40 km/h.


对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2 000＞0，


解得x＞40或x＜－50(不合实际意义，舍去)，


这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速．





求解所给函数模型解决实际问题的关注点


(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．


(2)根据已知，利用待定系数法确定模型中的待定系数．


(3)利用该模型求解实际问题．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


3．某地上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55～0.75元/千瓦时，经测算，若电价调至x元/千瓦时，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x－0.4)成反比例．又当x＝0.65时，y＝0.8.


(1)求y与x之间的函数关系式；


(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元/千瓦时，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]


[解] (1)∵y与(x－0.4)成反比例，∴设y＝ eq \f(k,x－0.4)(k≠0).


把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0.8＝ eq \f(k,0.65－0.4)，


解得k＝0.2.∴y＝ eq \f(0.2,x－0.4)＝ eq \f(1,5x－2).


即y与x之间的函数关系式为y＝ eq \f(1,5x－2).


(2)依题意，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,5x－2)))(x－0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%).


整理，得x2－1.1x＋0.3＝0.解得x1＝0.5，x2＝0.6.


经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是方程的根．


又∵0.55≤x≤0.75，∴x＝0.6.


即当电价调至0.6元/千瓦时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.


项目


位置
燃气表开始时读数/m3
燃气表水开时读数/m3
所用燃气量/m3
18°
9.080
9.210
0.130
36°
8.958
9.080
0.122
54°
8.819
8.958
0.139
72°
0.670
8.819
0.149
90°
8.498
8.670
0.172
n
1
2
3
4
5
6
7
8
λ
1.08
1.03
1
1.08
1.17
1.26