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    (新)北师大版数学必修第一册教学讲义:第7章 章末综合提升
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    高中北师大版 (2019)第七章 概率本章综合与测试公开课教案及反思

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    这是一份高中北师大版 (2019)第七章 概率本章综合与测试公开课教案及反思,共8页。




    [巩固层·知识整合]





    [提升层·题型探究]





    互斥事件与对立事件


    【例1】 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求:


    (1)P(A),P(B),P(C);


    (2)1张奖券的中奖概率;


    (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.


    [解] (1)P(A)= eq \f(1,1 000),P(B)= eq \f(10,1 000)= eq \f(1,100),P(C)= eq \f(50,1 000)= eq \f(1,20).


    故事件A,B,C的概率分别为 eq \f(1,1 000), eq \f(1,100), eq \f(1,20).


    (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,


    则M=A∪B∪C.


    ∵A、B、C两两互斥,∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= eq \f(1+10+50,1 000)= eq \f(61,1 000).


    故1张奖券的中奖概率为 eq \f(61,1 000).


    (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,


    ∴P(N)=1-P(A∪B)=1- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1 000)+\f(1,100)))= eq \f(989,1 000).


    故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 eq \f(989,1 000).





    互斥事件、对立事件的概念与计算


    (1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件;对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,对立事件是互斥事件的特殊情况.


    (2)若A1,A2,…,An互斥,则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).对立事件概率由公式可得P(A)=1-P( eq \x\t(A))(这里 eq \x\t(A)是A的对立事件).





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    1.调查一批黄种人群,其中各种血型的人所占的比例如下:


    已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,其他不同血型的人不能互相输血,张三是B型血,若张三因病需要输血,问:


    (1)任找一个人,其血可以输给张三的概率是多少?


    (2)任找一个人,其血不能输给张三的概率是多少?


    [解] (1)对任一人,其血型为A,B,AB,O的事件分别记为A′,B′,C′,D′,由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35,因为B,O型血可以输给张三,所以“任找一人,其血可以输给张三”为事件B′∪D′.依据互斥事件概率的加法公式,有P(B′∪D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.


    (2)法一:由于A,AB型血不能输给B型血的人,所以“任找一人,其血不能输给张三”为事件A′∪C′,依据互斥事件概率的加法公式,有P(A′∪C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.


    法二:因为事件“任找一人,其血可以输给张三”与事件“任找一人,其血不能输给张三”是对立事件,所以由对立事件的概率公式,有,P(A′∪C′)=1-P(B′∪D′)=1-P(B′)-P(D′)=1-0.64=0.36.





    古典概型


    【例2】 某校高三学生体检后,为了解高三学生的视力情况,该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人),每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据.其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表:


    (1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值;


    (2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3,4.4,4.5,4.6,4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较,求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率.


    [解] (1)高三(1)班学生视力的平均值为 eq \f(4.4×2+4.6×2+4.8×2+4.9+5.1,8)=4.7,故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.


    (2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较,所有的取法共有15种,而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有:(4.3,4.5),(4.3,4.6),(4.3,4.7),(4.3,4.8),(4.4,4.6),(4.4,4.7),(4.4,4.8),(4.5,4.7),(4.5,4.8),(4.6,4.8),共有10种,故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P= eq \f(10,15)= eq \f(2,3).





    古典概型概率的计算


    (1)古典概型是一种最基本的概率模型,也是学习其他概率模型的基础,在高考题中,经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性.


    (2)在应用公式P(A)= eq \f(m,n)时,关键是正确理解试验的发生过程,求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    2.有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次,根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下:


    (1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干名大众评委,其中从B组中抽取了6人.请将其余各组抽取的人数填入下表;


    (2)在(1)中,若A,B两组被抽到的大众评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的大众评委中分别任选1人,求这2人都支持1号歌手的概率.


    [解] (1)由题设知,分层抽样的抽取比例为6%,所以各组抽取的人数如下表:


    (2)记从A组抽到的3个评委为a1,a2,a3,其中a1,a2支持1号歌手;从B组抽到的6个评委为b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中b1,b2支持1号歌手.从{a1,a2,a3}和{b1,b2,b3,b4,b5,b6}中各抽取1人的所有结果为





    由以上树状图知所有结果共18种,其中2人都支持1号歌手的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2共4种,故所求概率P= eq \f(4,18)= eq \f(2,9).





    频率与概率


    【例3】 某射击运动员为备战下届奥运会,在相同条件下进行射击训练,结果如下:


    (1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少?


    (2)假设该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大约是多少?


    (3)假如该射击运动员射击了300次,前270次都击中靶心,那么后30次一定都击不中靶心吗?


    [解] (1)由题意,得击中靶心的频率与0.9接近,故概率约为0.9.


    (2)击中靶心的次数大约为300×0.9=270(次).


    (3)由概率的意义,可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变化.后30次中,每次击中靶心的概率仍是0.9,所以不一定不击中靶心.





    1.假如该射击运动员射击了10次,前9次中有8次击中靶心,那么第10次一定击中靶心吗?(只做出判断,不必说明理由)


    [解] 不一定.


    2.利用例3(1)得到的该运动员射击一次击中靶心的概率,估计该运动员连续射击3次,其中有2次击中靶心的概率.


    [解] 由例3(1)可得运动员射击一次击中靶心概率约为0.9,那么连续射击3次,其中有2次击中靶心的概率为0.9×0.9×(1-0.9)+0.9×(1-0.9)×0.9+(1-0.9)×0.9×0.9=0.243.





    对于概率的定义应注意以下几点


    (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验.


    (2)只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才叫做事件A的概率.


    (3)概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值.


    (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小.


    (5)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,故0≤P(A)≤1.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    3.对一批优盘进行抽检,结果如下表:


    (1)计算表中次品的频率;


    (2)从这批优盘中任抽一个是次品的概率约是多少?


    (3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2 000个优盘,至少需进货多少个优盘?


    [解] (1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.


    (2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批优盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.


    (3)设需要进货x个优盘,为保证其中有2 000个正品优盘,则x(1-0.02)≥2 000,因为x是正整数,所以x≥2 041,即至少需进货2 041个优盘.





    事件的独立性


    【例4】 某射击队为备战奥运会进行紧张艰苦的训练,训练项目完成后,教练总会设计安排一些放松、娱乐性恢复活动.在一次速射“飞碟”的游戏活动中,教练制定如下规则:每次飞碟飞行过程中只允许射击三次,根据飞碟飞行的规律,队员甲在飞行距离为50米远处命中的概率为 eq \f(2,3).


    (1)如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏,试求队员甲在这三次游戏中第一次至少有一次击中的概率;


    (2)如果队员甲射击飞行距离为50米远处的飞碟,如果第一次未命中,则进行第二次射击,同时第二次射击时飞碟飞行距离变为100米;如果第二次未命中,则进行第三次射击,第三次射击时飞碟飞行距离变为150米(此后飞碟不在射程之内).已知,命中的概率与飞碟飞行距离的平方成反比,求队员甲在一次游戏中命中飞碟的概率.


    [解] (1)记“队员甲在三次游戏中,第一次至少有一次命中”为事件A,


    则P(A)=1-P( eq \x\t(A))= eq \f(26,27).即队员甲在这三次游戏中第一次至少有一次击中的概率为 eq \f(26,27).


    (2)记“在一次游戏中,第i次击中飞碟”为事件Bi(i=1,2,3),“队员甲在一次游戏中命中飞碟”为事件B.


    P(B1)= eq \f(2,3),P(B2)= eq \f(2,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(2)= eq \f(1,6),P(B3)= eq \f(2,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up8(2)= eq \f(2,27).


    又Bi是相互独立事件,所以P(B)=P(B1)+P( eq \x\t(B)1B2)+P( eq \a\vs4\al(\x\t(B)1) eq \a\vs4\al(\x\t(B)2) B3)


    =P(B1)+P( eq \x\t(B)1)·P(B2)+P( eq \x\t(B)1)·P( eq \x\t(B)2)·P(B3)= eq \f(2,3)+ eq \f(1,3)× eq \f(1,6)+ eq \f(1,3)× eq \f(5,6)× eq \f(2,27)= eq \f(361,486).


    即队员甲在一次游戏中命中飞碟的概率为 eq \f(361,486).





    相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查,这类问题具有一个明显的特征,那就是在题目的条件中已经出现一些概率值,解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立),再选择相应的公式计算求解.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    4.抛掷两枚质地均匀的硬币,A={第一枚为正面向上},B={第二枚为正面向上},则事件C={两枚向上的面为一正一反}的概率为( )


    A.0.25 B.0.5 C.0.75 D.0.375


    B [P(A)=P(B)= eq \f(1,2),P( eq \x\t(A))=P( eq \x\t(B))= eq \f(1,2).


    则P(C)=P(A eq \a\vs4\al(\x\t(B))+ eq \x\t(A)B)=P(A)P( eq \x\t(B))+P( eq \x\t(A))P(B)= eq \f(1,2)× eq \f(1,2)+ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)=0.5,故选B.]


    血型
    A
    B
    AB
    O
    该血型的人所占比例(%)
    28
    29
    8
    35
    视力数据
    4.0
    4.1
    4.2
    4.3
    4.4
    4.5
    4.6
    4.7
    4.8
    4.9
    5.0
    5.1
    5.2
    5.3
    人数
    2
    2
    2
    1
    1
    组别
    A
    B
    C
    D
    E
    人数
    50
    100
    150
    150
    50
    组别
    A
    B
    C
    D
    E
    人数
    50
    100
    150
    150
    50
    抽取人数
    6
    组别
    A
    B
    C
    D
    E
    人数
    50
    100
    150
    150
    50
    抽取人数
    3
    6
    9
    9
    3
    射击次数n
    10
    20
    50
    100
    200
    500
    击中靶心次数m
    8
    19
    44
    92
    178
    455
    击中靶心的频率
    0.8
    0.95
    0.88
    0.92
    0.89
    0.91
    抽出件数a
    50
    100
    200
    300
    400
    500
    次品件数b
    3
    4
    5
    5
    8
    9
    次品频率 eq \f(b,a)
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