高中北师大版 (2019)第七章 概率本章综合与测试公开课教案及反思

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[巩固层·知识整合]





[提升层·题型探究]





互斥事件与对立事件


【例1】 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：


(1)P(A)，P(B)，P(C)；


(2)1张奖券的中奖概率；


(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．


[解] (1)P(A)＝ eq \f(1,1 000)，P(B)＝ eq \f(10,1 000)＝ eq \f(1,100)，P(C)＝ eq \f(50,1 000)＝ eq \f(1,20).


故事件A，B，C的概率分别为 eq \f(1,1 000)， eq \f(1,100)， eq \f(1,20).


(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，


则M＝A∪B∪C.


∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝ eq \f(1＋10＋50,1 000)＝ eq \f(61,1 000).


故1张奖券的中奖概率为 eq \f(61,1 000).


(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，


∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1 000)＋\f(1,100)))＝ eq \f(989,1 000).


故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 eq \f(989,1 000).





互斥事件、对立事件的概念与计算


(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．


(2)若A1，A2，…，An互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).对立事件概率由公式可得P(A)＝1－P( eq \x\t(A))(这里 eq \x\t(A)是A的对立事件).





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．调查一批黄种人群，其中各种血型的人所占的比例如下：


已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是B型血，若张三因病需要输血，问：


(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？


(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？


[解] (1)对任一人，其血型为A，B，AB，O的事件分别记为A′，B′，C′，D′，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35，因为B，O型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件B′∪D′.依据互斥事件概率的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.


(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件A′∪C′，依据互斥事件概率的加法公式，有P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.


法二：因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有，P(A′∪C′)＝1－P(B′∪D′)＝1－P(B′)－P(D′)＝1－0.64＝0.36.





古典概型


【例2】 某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：


(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值；


(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3，4.4，4.5，4.6，4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．


[解] (1)高三(1)班学生视力的平均值为 eq \f(4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.1,8)＝4.7，故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.


(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3，4.5)，(4.3，4.6)，(4.3，4.7)，(4.3，4.8)，(4.4，4.6)，(4.4，4.7)，(4.4，4.8)，(4.5，4.7)，(4.5，4.8)，(4.6，4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P＝ eq \f(10,15)＝ eq \f(2,3).





古典概型概率的计算


(1)古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．


(2)在应用公式P(A)＝ eq \f(m,n)时，关键是正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m.





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：


(1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干名大众评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表；


(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的大众评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的大众评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．


[解] (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：


(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为





由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝ eq \f(4,18)＝ eq \f(2,9).





频率与概率


【例3】 某射击运动员为备战下届奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：


(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？


(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？


(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？


[解] (1)由题意，得击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.


(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次).


(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心．





1．假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？(只做出判断，不必说明理由)


[解] 不一定．


2．利用例3(1)得到的该运动员射击一次击中靶心的概率，估计该运动员连续射击3次，其中有2次击中靶心的概率．


[解] 由例3(1)可得运动员射击一次击中靶心概率约为0.9，那么连续射击3次，其中有2次击中靶心的概率为0.9×0.9×(1－0.9)＋0.9×(1－0.9)×0.9＋(1－0.9)×0.9×0.9＝0.243.





对于概率的定义应注意以下几点


(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验．


(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率．


(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．


(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小．


(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.





eq \a\vs4\al([跟进训练])


3．对一批优盘进行抽检，结果如下表：


(1)计算表中次品的频率；


(2)从这批优盘中任抽一个是次品的概率约是多少？


(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个优盘，至少需进货多少个优盘？


[解] (1)表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025，0.017，0.02，0.018.


(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批优盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.


(3)设需要进货x个优盘，为保证其中有2 000个正品优盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个优盘．





事件的独立性


【例4】 某射击队为备战奥运会进行紧张艰苦的训练，训练项目完成后，教练总会设计安排一些放松、娱乐性恢复活动．在一次速射“飞碟”的游戏活动中，教练制定如下规则：每次飞碟飞行过程中只允许射击三次，根据飞碟飞行的规律，队员甲在飞行距离为50米远处命中的概率为 eq \f(2,3).


(1)如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏，试求队员甲在这三次游戏中第一次至少有一次击中的概率；


(2)如果队员甲射击飞行距离为50米远处的飞碟，如果第一次未命中，则进行第二次射击，同时第二次射击时飞碟飞行距离变为100米；如果第二次未命中，则进行第三次射击，第三次射击时飞碟飞行距离变为150米(此后飞碟不在射程之内).已知，命中的概率与飞碟飞行距离的平方成反比，求队员甲在一次游戏中命中飞碟的概率．


[解] (1)记“队员甲在三次游戏中，第一次至少有一次命中”为事件A，


则P(A)＝1－P( eq \x\t(A))＝ eq \f(26,27).即队员甲在这三次游戏中第一次至少有一次击中的概率为 eq \f(26,27).


(2)记“在一次游戏中，第i次击中飞碟”为事件Bi(i＝1，2，3)，“队员甲在一次游戏中命中飞碟”为事件B.


P(B1)＝ eq \f(2,3)，P(B2)＝ eq \f(2,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(2)＝ eq \f(1,6)，P(B3)＝ eq \f(2,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up8(2)＝ eq \f(2,27).


又Bi是相互独立事件，所以P(B)＝P(B1)＋P( eq \x\t(B)1B2)＋P( eq \a\vs4\al(\x\t(B)1) eq \a\vs4\al(\x\t(B)2) B3)


＝P(B1)＋P( eq \x\t(B)1)·P(B2)＋P( eq \x\t(B)1)·P( eq \x\t(B)2)·P(B3)＝ eq \f(2,3)＋ eq \f(1,3)× eq \f(1,6)＋ eq \f(1,3)× eq \f(5,6)× eq \f(2,27)＝ eq \f(361,486).


即队员甲在一次游戏中命中飞碟的概率为 eq \f(361,486).





相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


4．抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝{第一枚为正面向上}，B＝{第二枚为正面向上}，则事件C＝{两枚向上的面为一正一反}的概率为( )


A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.375


B [P(A)＝P(B)＝ eq \f(1,2)，P( eq \x\t(A))＝P( eq \x\t(B))＝ eq \f(1,2).


则P(C)＝P(A eq \a\vs4\al(\x\t(B))＋ eq \x\t(A)B)＝P(A)P( eq \x\t(B))＋P( eq \x\t(A))P(B)＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)＝0.5，故选B.]


血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例(%)
28
29
8
35
视力数据
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
人数
2
2
2
1
1
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率 eq \f(b,a)