高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 随机现象精品教学设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 随机现象精品教学设计，共6页。




§1 随机现象与随机事件


1.1 随机现象


1.2 样本空间








1．确定性现象和随机现象


(1)确定性现象：在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象．


(2)随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一个结果的现象，称为随机现象．


(3)随机现象的两个特点：


①结果至少有2种；②事先并不知道会出现哪一种结果．


2．样本空间


(1)试验与试验结果：在概率与统计中，把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，一般用E来表示，把观察结果或实验结果称为试验结果．


(2)样本空间：将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间，记作Ω．


(3)样本点：样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点，记作ω．


(4)有限样本空间：如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间．


思考：(1)“向上抛掷一枚骰子，观察向上的点数”是随机现象吗？如果是随机现象，那么它可能的结果有哪些？


提示：是随机现象．它可能的结果有：出现1点，出现2点，出现3点，出现4点，出现5点，出现6点，共6个．


(2)观察随机现象或进行试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的吗？


提示：不一定，也可能是无限的．如在实数集中，任取一个实数．





1．下列现象中，是随机现象的有( )


①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；


②若a为整数，则a＋1为整数；


③发射一颗炮弹，命中目标；


④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


C [当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，其余3个均为随机现象．]


2．下列事件中，确定性现象的个数为( )


①三角形内角和为180°；


②三角形中大边对大角，大角对大边；


③三角形中两个内角和小于90°；


④三角形中任意两边的和大于第三边．


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


C [若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故③不一定成立，∴③为随机现象，而①②④均为确定性现象．]


3．从数字1，2，3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝________．


{(1，2)，(1，3)，(2，3)} [从数字1，2，3中任取两个数字，共有3个结果：(1，2)，(1，3)，(2，3)，所以Ω＝{(1，2)，(1，3)，(2，3)}．]








随机现象和确定性现象的判断


【例1】 指出下列现象是确定性现象还是随机现象．


(1)小明在校学生会主席竞选中成功；


(2)掷一枚质地均匀的硬币出现的结果；


(3)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码；


(4)标准大气压下，把水加热至100 ℃沸腾；


(5)骑车经过十字路口时，红绿灯的颜色．


[解] (1)随机现象．因为竞选能否成功是不可预知，无法确定的；


(2)随机现象．因为出现的结果可能是正面，也可能是反面，结果并不确定．


(3)随机现象．因为彩票号码是否为中奖号码，本身无法预测，是不可知的．


(4)确定性现象．因为标准大气压下，水加热至100 ℃时“沸腾”这个结果一定会发生，是确定的．


(5)随机现象．因为红绿灯的颜色对每位过路口的人来说事先都是不可知的，是无法确定的．





判断某一现象是随机现象还是必然现象的关键是看在一定条件下，现象的结果是否可以预知、确定．若在一定条件下，出现的结果是可以预知的，这类现象为必然现象；若在一定条件下，出现哪种结果是无法预知、无法事先确定的，这类现象称为随机现象．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


下列现象中，随机现象有______，确定性现象有_______．


①长度为3、4、5的三条线段可以构成一个直角三角形；


②打开电视机，正好在播新闻；


③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个，全部都是黄球；


④下周六是晴天．


②④ ① [①是确定性现象，③是不可能现象，②④是随机现象．]





确定试验的样本空间


[探究问题]


1．如何确定试验的样本空间？


提示：确定试验的样本空间就是写出试验所有可能的结果，并写出Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．


2．写试验的样本空间要注意些什么？


提示：要考虑周全，应想到试验的所有可能的结果，避免发生遗漏、重复和出现多余的结果．


【例2】 指出下列试验的样本空间：


(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；


(2)从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差．


[思路点拨] 根据题意，按照一定的顺序列举试验的样本空间．


[解] (1)样本空间Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}．


(2)由题意可知：


1－3＝－2，3－1＝2，


1－6＝－5，6－1＝5，


1－10＝－9，10－1＝9，


3－6＝－3，6－3＝3，


3－10＝－7，10－3＝7，


6－10＝－4，10－6＝4.


即试验的样本空间Ω＝{－2, 2，－5, 5，－9, 9，－3, 3，－7, 7，－4, 4}．





1．求本例(2)中试验的样本点的总数．


[解] 样本点的总数为12.


2．满足“两个数的差大于0”的样本点有哪些？


[解] 满足“两个数的差大于0”的样本点有：2, 5, 9, 3, 7, 4，共6个．


3．在本例(1)中，从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，记下颜色后放回，连续取两次，写出试验的样本空间．


[解] 样本空间Ω＝{(红球，红球)，(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，白球)，(白球，红球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑球，红球)}．


4．在本例(2)中，从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)分别作为平面内点的横、纵坐标，指出试验的样本空间．


[解] 由题意可知：样本空间Ω＝{(1，3)，(1，6)，(1，10)，(3，1)，(3，6)，(3，10)，(6，1)，(6，3)，(6，10)，(10，1)，(10，3)，(10，6)}．





当基本事件的总数比较大时，首先要列举基本事件，然后查个数，得出总数．在列举时要按照一定的顺序，才能确保基本事件不重、不漏．











1．理解随机现象和确定性现象的概念．


2．掌握样本空间和样本点的概念．


3．在写样本空间时，要明确试验的条件，按一定次序列举，做到不重、不漏．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)试验的样本点的个数是有限的．( )


(2)某同学竞选本班班长成功是随机现象．( )


(3)连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一个样本点．( )


[提示] (1)错误．试验的样本点的个数也可能是无限的．


(2)正确．


(3)错误．“(正面，反面)”表示第一次得到正面，第二次得到反面，而“(反面，正面)”表示第一次得到反面，第二次得到正面，所以二者是不同的样本点．


[答案] (1)× (2)√ (3)×


2．下列现象：


①当x是实数时，x－|x|＝2；


②某班一次数学测试，及格率低于75%；


③从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；


④体育彩票某期的特等奖号码．


其中是随机现象的是( )


A．①②③ B．①③④


C．②③④ D．①②④


C [由随机现象的定义知②③④正确．]


3．从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本点数为________．


6 [该试验的结果中，含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；不含a、b，含c的有cd，∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，即该试验的样本点数为6.]


4．已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标．


(1)写出这个试验的样本空间；


(2)求这个试验样本点的总数；


(3)写出“第一象限内的点”所包含的样本点．


[解] (1)Ω＝{(－2，－4)，(－2，5)，(－2，6)，(3，－4)，(3，5)，(3，6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4，3)，(5，3)，(6，3)}．


(2)样本点的总数是12.


(3)“第一象限内的点”包含以下4个样本点：(3，5)，(3，6)，(5，3)，(6，3).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解确定性现象、随机现象的概念．(重点)


2．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．(重点)


3．掌握试验的样本空间的写法．(重点)
1．通过对确定性现象、随机现象、样本空间等概念的学习，培养数学抽象素养．


2．通过利用穷举法写出试验的样本空间，培养数学建模素养．