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高中数学4.2 分层随机抽样的均值与方差优秀教学设计及反思
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这是一份高中数学4.2 分层随机抽样的均值与方差优秀教学设计及反思，共7页。教案主要包含了eq，，w1，w2，…，wn；等内容，欢迎下载使用。
4.2 分层随机抽样的均值与方差
4.3 百分位数
1．分层随机抽样的均值
设样本中不同层的平均数和相应权重分别为 eq \x\t(x)1， eq \x\t(x)2，…，xn和 w1，w2, …，wn，则这个样本的平均数为w1 eq \x\t(x)1＋w2 eq \x\t(x)2＋…＋wnxn．为了简化表示，引进求和符号，记作w1 eq \x\t(x)1＋w2 eq \x\t(x)2＋…＋wnxn＝ eq \( eq \(∑,\s\up16(n)),\s\d14(i＝1))wixi．
2．分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为 eq \x\t(x)1， eq \x\t(x)2，…，xn，方差分别为s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))，s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))，…s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n))，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝ eq \( eq \(∑,\s\up16(n)),\s\d14(i＝1))wi[s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i))＋(xi－ eq \x\t(x))2] ，其中 eq \x\t(x)为样本平均数．
3．百分位数
(1)定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
(2)常用的百分位数：
①四分位数：25%，50%，75%，
②其它常用的百分位数：1%，5%，10%，90%，95%，99%．
(3)计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下：
第1步，按照从小到大排列原始数据；
第2步，计算i＝np；
第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
思考：1.甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是 eq \f(80＋82,2)＝81分吗？方差是 eq \f(2＋4,2)＝3吗？为什么？
[提示] 不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的．
2．“这次数学测试成绩的70%分位数是85分”这句话是什么意思？
提示：有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．
1．下列一组数据的25%分位数是( )
2．1, 3.0, 3.2, 3.8, 3.4, 4.0, 4.2, 4.4, 5.3, 5.6.
A．3.2 B．3.0 C．4.4 D．2.5
A [把该组数据按照由小到大排列，可得：
2．1, 3.0, 3.2, 3.4, 3.8, 4.0, 4.2, 4.4, 5.3, 5.6.
由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是25%分位数．]
2．某单位共有员工100人，其中年轻人有20人，平均年薪为5万元，中年人有80人，平均年薪为8万元，则该单位员工的平均年薪为( )
A．5万元 B．8万元 C．6.5万元 D．7.4万元
D [由题意可知 eq \x\t(x)＝ eq \f(20,100)×5＋ eq \f(80,100)×8＝7.4(万元).]
3．利用分层随机抽样抽得A，B两组数据，其平均数分别是xA＝2.3，xB＝2.8，这两组数据的平均数 eq \x\t(x)＝2.4，则A组数据在两组数据中的权重wA＝________．
eq \f(4,5) [由 eq \x\t(x)＝wAxA＋wBxB可得2.4＝wA×2.3＋(1－wA)×2.8，解得wA＝ eq \f(4,5).]
分层随机抽样的平均数
【例1】 某公益组织在某社区调查年龄在[20，50]内的居民熬夜时间，得到如下表格：
其中有三项数据由于污损用a，b，c代替，试求该社区所调查居民的平均熬夜时长．
[解] 由表可知该社区在[20，50]内的居民人数为3.6÷30%＝12(百人)，则年龄在[30，40)的居民所占比例为6÷12＝50%，年龄在[40，50]的居民人数所占比例为1－30%－50%＝20%，故该社区所调查居民的平均熬夜时长为 eq \x\t(x)＝4×30%＋2×50%＋1×20%＝1.2＋1＋0.2＝2.4(h).
分层随机抽样的平均数的计算方法
(1)第i层的权重wi、第i层的个体数xi，样本容量n，三者满足wi＝ eq \f(xi,n)，已知其中2个可求另外1个．
(2)在利用公式 eq \x\t(x)＝w1 eq \x\t(x)1＋w2 eq \x\t(x)2＋…＋wnxn求分层随机抽样的平均数时，要清楚公式中各符号的含义，避免代入数据时出现失误，同时要仔细运算，按照要求保留有效小数．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．某市有大、中、小型商店的数量之比为1∶5∶9，其中大型商店的年纳税额为300万元，中型商店的年纳税额为25万元，小型商店的年纳税额为0.4万元，求该市所有商店的年平均纳税额．(结果保留一位小数)
[解] 由题意知，该市所有商店的年平均纳税额为
eq \x\t(x)＝ eq \f(1,1＋5＋9)×300＋ eq \f(5,1＋5＋9)×25＋ eq \f(9,1＋5＋9)×0.4≈28.6(万元)，
所以该市所有商店的年平均纳税额为28.6万元．
分层随机抽样的方差
【例2】 甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？
[解] 由题意可知 eq \x\t(x)甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝ eq \f(1,1＋4)＝ eq \f(1,5)，
eq \x\t(x)乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝ eq \f(4,1＋4)＝ eq \f(4,5)，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为 eq \x\t(x)＝w甲 eq \x\t(x)甲＋w乙 eq \x\t(x)乙＝ eq \f(1,5)×60＋ eq \f(4,5)×70＝68(kg)，
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝w甲[s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(甲))＋( eq \x\t(x)甲－ eq \x\t(x))2]＋w乙[s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(乙))＋( eq \x\t(x)乙－ eq \x\t(x))2]
＝ eq \f(1,5)[200＋(60－68)2]＋ eq \f(4,5)[300＋(70－68)2]＝296.
计算分层随机抽样的方差s2的步骤
(1)确定 eq \x\t(x)1， eq \x\t(x)2，…，xn，s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))，s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))，…，s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ，w1，w2，…，wn；
(2)确定 eq \x\t(x)；
(3)应用公式 s2＝ eq \( eq \(∑,\s\up16(n)),\s\d14(i＝1))wi[s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i))＋(xi－ eq \x\t(x))2]计算s2.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年6月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10, 8，则二线城市的房价的方差为________．
118．52 [设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知
20＝ eq \f(1,1＋3＋6)[s2＋(1.2－2.4)2]＋ eq \f(3,1＋3＋6)[10＋(1.2－1.8)2]＋ eq \f(6,1＋3＋6)[8＋(1.2－0.8)2]，
解得s2＝118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.]
百分位数
[探究问题]
1．p分位数有什么特点？
提示：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
2．某组数据的p分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？
提示：不一定．因为按照计算p分位数的步骤，第2步计算所得的i＝np如果是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数，若第i项与第(i＋1)项数据不相等，则p分位数在此组数据中就不存在．
【例3】 从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7．9, 9.0, 8.9, 8.6, 8.4, 8.5, 8.5, 8.5, 9.9, 7.8, 8.3, 8.0，
分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数．
[思路点拨] eq \x(按照从小到大排列数据)→ eq \x(计算i＝np)→ eq \x(按照规则确定百分位数)
[解] 将所有数据按从小到大排列，得
7．8, 7.9, 8.0, 8.3, 8.4, 8.5, 8.5, 8.5, 8.6, 8.9, 9.0, 9.9，
因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4，
则25%分位数是 eq \f(8.0＋8.3,2)＝8.15，
75%分位数是 eq \f(8.6＋8.9,2)＝8.75，
95%分位数是第12个数据，为9.9.
1．在本例中请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．
[解] 因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则15%分位数是第2个数据，为7.9.
即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9.
2．若用25%，50%，95%分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
[解] 由例3解答可知样本数据的25%分位数是8.15 g，50%分位数为8.5 g, 95%分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．
计算一组n个数据的p分位数的一般步骤
(1)排列：按照从小到大排列原始数据；
(2)算i：计算i＝np；
(3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
1．本节的重点和难点是对两个公式的理解与应用：
计算分层随机抽样的平均数的公式： eq \x\t(x)＝w1 eq \x\t(x)1＋w2 eq \x\t(x)2＋…＋wnxn＝ eq \( eq \(∑,\s\up16(n)),\s\d14(i＝1))wixi．
计算分层随机抽样的方差的公式：s2＝ eq \( eq \(∑,\s\up16(n)),\s\d14(i＝1))wi[s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i))＋(xi－ eq \x\t(x))2].
2．求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：①按照从小到大排列原始数据；②计算i＝np；③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一组样本数据各不相等，则75%分位数大于25%分位数．( )
(2)计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重．( )
(3)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.( )
[提示] (1)正确．
(2)正确．
(3)错误．若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据小于或等于23.
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．下列关于50%分位数的说法正确的是( )
A．50%分位数就是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C．它是四分位数
D．它适用于总体是离散型的数据
A [由百分位数的意义可知选项B，C，D错误．]
3．已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲、乙两地的人均年收入为________万元．
9．2 [ eq \x\t(x)＝ eq \f(2,5)×8＋ eq \f(3,5)×10＝9.2(万元).]
4．农科院在试验田中种植了两个小麦品种，亩数、亩均产量和标准差如下：
求甲、乙两个品种的平均亩产量和方差分别是多少？
[解] 甲、乙两个品种的平均亩产量为 eq \f(10,18)×540＋ eq \f(8,18)×576＝556 kg；
甲、乙两个品种的亩产量的方差是
s2＝w甲[s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(甲))＋( eq \x\t(x)甲－ eq \x\t(x))2]＋w乙[s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(乙))＋( eq \x\t(x)乙－ eq \x\t(x))2]
＝ eq \f(10,18)[32＋(540－556)2]＋ eq \f(8,18)[22＋(576－556)2]≈326.78.
即甲、乙两个品种的平均亩产量和方差分别是556 kg，326.78.学 习 目 标
核 心 素 养
1.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．(难点、重点)
2．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．(难点、重点)
1．通过计算分层随机抽样的样本的均值和方差，培养数学运算素养．
2．通过学习分层随机抽样的样本均值和样本方差的意义，培养数据分析素养．
年龄区间
居民人数(单位：百人)
所占比例
平均熬夜时长(单位：h)
[20，30)
3.6
30%
4
[30，40)
6
b
2
[40，50]
a
c
1
品种
甲
乙
亩均产量(单位：kg)
540
576
标准差
3
2
亩数(单位：亩)
10
8
4.2 分层随机抽样的均值与方差
4.3 百分位数
1．分层随机抽样的均值
设样本中不同层的平均数和相应权重分别为 eq \x\t(x)1， eq \x\t(x)2，…，xn和 w1，w2, …，wn，则这个样本的平均数为w1 eq \x\t(x)1＋w2 eq \x\t(x)2＋…＋wnxn．为了简化表示，引进求和符号，记作w1 eq \x\t(x)1＋w2 eq \x\t(x)2＋…＋wnxn＝ eq \( eq \(∑,\s\up16(n)),\s\d14(i＝1))wixi．
2．分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为 eq \x\t(x)1， eq \x\t(x)2，…，xn，方差分别为s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))，s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))，…s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n))，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝ eq \( eq \(∑,\s\up16(n)),\s\d14(i＝1))wi[s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i))＋(xi－ eq \x\t(x))2] ，其中 eq \x\t(x)为样本平均数．
3．百分位数
(1)定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
(2)常用的百分位数：
①四分位数：25%，50%，75%，
②其它常用的百分位数：1%，5%，10%，90%，95%，99%．
(3)计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下：
第1步，按照从小到大排列原始数据；
第2步，计算i＝np；
第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
思考：1.甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是 eq \f(80＋82,2)＝81分吗？方差是 eq \f(2＋4,2)＝3吗？为什么？
[提示] 不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的．
2．“这次数学测试成绩的70%分位数是85分”这句话是什么意思？
提示：有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．
1．下列一组数据的25%分位数是( )
2．1, 3.0, 3.2, 3.8, 3.4, 4.0, 4.2, 4.4, 5.3, 5.6.
A．3.2 B．3.0 C．4.4 D．2.5
A [把该组数据按照由小到大排列，可得：
2．1, 3.0, 3.2, 3.4, 3.8, 4.0, 4.2, 4.4, 5.3, 5.6.
由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是25%分位数．]
2．某单位共有员工100人，其中年轻人有20人，平均年薪为5万元，中年人有80人，平均年薪为8万元，则该单位员工的平均年薪为( )
A．5万元 B．8万元 C．6.5万元 D．7.4万元
D [由题意可知 eq \x\t(x)＝ eq \f(20,100)×5＋ eq \f(80,100)×8＝7.4(万元).]
3．利用分层随机抽样抽得A，B两组数据，其平均数分别是xA＝2.3，xB＝2.8，这两组数据的平均数 eq \x\t(x)＝2.4，则A组数据在两组数据中的权重wA＝________．
eq \f(4,5) [由 eq \x\t(x)＝wAxA＋wBxB可得2.4＝wA×2.3＋(1－wA)×2.8，解得wA＝ eq \f(4,5).]
分层随机抽样的平均数
【例1】 某公益组织在某社区调查年龄在[20，50]内的居民熬夜时间，得到如下表格：
其中有三项数据由于污损用a，b，c代替，试求该社区所调查居民的平均熬夜时长．
[解] 由表可知该社区在[20，50]内的居民人数为3.6÷30%＝12(百人)，则年龄在[30，40)的居民所占比例为6÷12＝50%，年龄在[40，50]的居民人数所占比例为1－30%－50%＝20%，故该社区所调查居民的平均熬夜时长为 eq \x\t(x)＝4×30%＋2×50%＋1×20%＝1.2＋1＋0.2＝2.4(h).
分层随机抽样的平均数的计算方法
(1)第i层的权重wi、第i层的个体数xi，样本容量n，三者满足wi＝ eq \f(xi,n)，已知其中2个可求另外1个．
(2)在利用公式 eq \x\t(x)＝w1 eq \x\t(x)1＋w2 eq \x\t(x)2＋…＋wnxn求分层随机抽样的平均数时，要清楚公式中各符号的含义，避免代入数据时出现失误，同时要仔细运算，按照要求保留有效小数．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．某市有大、中、小型商店的数量之比为1∶5∶9，其中大型商店的年纳税额为300万元，中型商店的年纳税额为25万元，小型商店的年纳税额为0.4万元，求该市所有商店的年平均纳税额．(结果保留一位小数)
[解] 由题意知，该市所有商店的年平均纳税额为
eq \x\t(x)＝ eq \f(1,1＋5＋9)×300＋ eq \f(5,1＋5＋9)×25＋ eq \f(9,1＋5＋9)×0.4≈28.6(万元)，
所以该市所有商店的年平均纳税额为28.6万元．
分层随机抽样的方差
【例2】 甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？
[解] 由题意可知 eq \x\t(x)甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝ eq \f(1,1＋4)＝ eq \f(1,5)，
eq \x\t(x)乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝ eq \f(4,1＋4)＝ eq \f(4,5)，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为 eq \x\t(x)＝w甲 eq \x\t(x)甲＋w乙 eq \x\t(x)乙＝ eq \f(1,5)×60＋ eq \f(4,5)×70＝68(kg)，
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝w甲[s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(甲))＋( eq \x\t(x)甲－ eq \x\t(x))2]＋w乙[s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(乙))＋( eq \x\t(x)乙－ eq \x\t(x))2]
＝ eq \f(1,5)[200＋(60－68)2]＋ eq \f(4,5)[300＋(70－68)2]＝296.
计算分层随机抽样的方差s2的步骤
(1)确定 eq \x\t(x)1， eq \x\t(x)2，…，xn，s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))，s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))，…，s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ，w1，w2，…，wn；
(2)确定 eq \x\t(x)；
(3)应用公式 s2＝ eq \( eq \(∑,\s\up16(n)),\s\d14(i＝1))wi[s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i))＋(xi－ eq \x\t(x))2]计算s2.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年6月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10, 8，则二线城市的房价的方差为________．
118．52 [设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知
20＝ eq \f(1,1＋3＋6)[s2＋(1.2－2.4)2]＋ eq \f(3,1＋3＋6)[10＋(1.2－1.8)2]＋ eq \f(6,1＋3＋6)[8＋(1.2－0.8)2]，
解得s2＝118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.]
百分位数
[探究问题]
1．p分位数有什么特点？
提示：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
2．某组数据的p分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？
提示：不一定．因为按照计算p分位数的步骤，第2步计算所得的i＝np如果是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数，若第i项与第(i＋1)项数据不相等，则p分位数在此组数据中就不存在．
【例3】 从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7．9, 9.0, 8.9, 8.6, 8.4, 8.5, 8.5, 8.5, 9.9, 7.8, 8.3, 8.0，
分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数．
[思路点拨] eq \x(按照从小到大排列数据)→ eq \x(计算i＝np)→ eq \x(按照规则确定百分位数)
[解] 将所有数据按从小到大排列，得
7．8, 7.9, 8.0, 8.3, 8.4, 8.5, 8.5, 8.5, 8.6, 8.9, 9.0, 9.9，
因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4，
则25%分位数是 eq \f(8.0＋8.3,2)＝8.15，
75%分位数是 eq \f(8.6＋8.9,2)＝8.75，
95%分位数是第12个数据，为9.9.
1．在本例中请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．
[解] 因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则15%分位数是第2个数据，为7.9.
即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9.
2．若用25%，50%，95%分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
[解] 由例3解答可知样本数据的25%分位数是8.15 g，50%分位数为8.5 g, 95%分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．
计算一组n个数据的p分位数的一般步骤
(1)排列：按照从小到大排列原始数据；
(2)算i：计算i＝np；
(3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
1．本节的重点和难点是对两个公式的理解与应用：
计算分层随机抽样的平均数的公式： eq \x\t(x)＝w1 eq \x\t(x)1＋w2 eq \x\t(x)2＋…＋wnxn＝ eq \( eq \(∑,\s\up16(n)),\s\d14(i＝1))wixi．
计算分层随机抽样的方差的公式：s2＝ eq \( eq \(∑,\s\up16(n)),\s\d14(i＝1))wi[s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i))＋(xi－ eq \x\t(x))2].
2．求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：①按照从小到大排列原始数据；②计算i＝np；③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一组样本数据各不相等，则75%分位数大于25%分位数．( )
(2)计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重．( )
(3)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.( )
[提示] (1)正确．
(2)正确．
(3)错误．若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据小于或等于23.
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．下列关于50%分位数的说法正确的是( )
A．50%分位数就是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C．它是四分位数
D．它适用于总体是离散型的数据
A [由百分位数的意义可知选项B，C，D错误．]
3．已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲、乙两地的人均年收入为________万元．
9．2 [ eq \x\t(x)＝ eq \f(2,5)×8＋ eq \f(3,5)×10＝9.2(万元).]
4．农科院在试验田中种植了两个小麦品种，亩数、亩均产量和标准差如下：
求甲、乙两个品种的平均亩产量和方差分别是多少？
[解] 甲、乙两个品种的平均亩产量为 eq \f(10,18)×540＋ eq \f(8,18)×576＝556 kg；
甲、乙两个品种的亩产量的方差是
s2＝w甲[s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(甲))＋( eq \x\t(x)甲－ eq \x\t(x))2]＋w乙[s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(乙))＋( eq \x\t(x)乙－ eq \x\t(x))2]
＝ eq \f(10,18)[32＋(540－556)2]＋ eq \f(8,18)[22＋(576－556)2]≈326.78.
即甲、乙两个品种的平均亩产量和方差分别是556 kg，326.78.学 习 目 标
核 心 素 养
1.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．(难点、重点)
2．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．(难点、重点)
1．通过计算分层随机抽样的样本的均值和方差，培养数学运算素养．
2．通过学习分层随机抽样的样本均值和样本方差的意义，培养数据分析素养．
年龄区间
居民人数(单位：百人)
所占比例
平均熬夜时长(单位：h)
[20，30)
3.6
30%
4
[30，40)
6
b
2
[40，50]
a
c
1
品种
甲
乙
亩均产量(单位：kg)
540
576
标准差
3
2
亩数(单位：亩)
10
8
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