2019-2020学年浙江省衢州市七年级下学期期中数学试卷 （解析版）

2019-2020学年浙江省衢州市七年级第二学期期中数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．下列运算正确的是（　　）
A．3x﹣2x＝x B．3x+2x＝5x2 C．3x•2x＝6x D．3x÷2x＝
2．如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是（　　）

A．15° B．25° C．35° D．65°
3．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（2x﹣3y）（3y﹣2x） B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）
C．（x﹣2y）（2y+x） D．（x+3y）（x﹣3y）
4．已知xm＝2，xn＝3，则x3m﹣2n的值为（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
5．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．则回答正确的是（　　）
已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．
求证：AB∥CD．
证明：延长BE交※于点F，
则∠BEC＝180°﹣∠FEC＝◎+∠C．
又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝▲．
故AB∥CD（@相等，两直线平行）．

A．◎代表∠FEC B．@代表同位角
C．▲代表∠EFC D．※代表AB
6．若方程组的解满足x+y＝2020，则k等于（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：今有甲种袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙种袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲种袋子比乙种袋子轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可建立方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3个阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝2，则长方形ABCD的面积为（　　）

A．100 B．96 C．90 D．86
二、填空题（共8小题）.
9．计算：﹣（﹣2a2）2＝　 　．
10．如图，AB∥CD，若∠A＝20°，∠E＝67°，那么∠C的度数为　 　．

11．如果实数x，y满足方程组，那么（﹣x+2y）2020＝　 　．
12．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝52°，则∠AEG的度数是　 　．

13．已知a﹣b＝3，ab＝2，则a2+b2的值为　 　．
14．某电台组织知识竞赛，共设置20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了3个参赛者的得分情况．若参赛者D得82分，则他答对了　 　道题．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
94
C
14
6
64
15．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的周长为　 　．

16．阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）＝　 　．
三、解答题（本题共有7小题，第17～19小题每小题6分，第20～22小题每小题6分，第23小题10分，共52分．请务必写出解答过程）
17．将一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）求∠EFC的度数．

18．解方程组
（1）
（2）
19．化简：
（1）﹣12x2y3÷（﹣3xy2）•（﹣xy）；
（2）（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2．
20．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°．
（1）求∠DOE的度数；
（2）OF平分∠AOD吗？请说明理由．

21．定义新运算，如＝1×7+3×5﹣2×3＝7+15﹣6＝16．
（1）计算的值；
（2）化简：．
22．蚌埠云轨测试线自开工以来备受关注，据了解我市首期工程云轨线路约12千米，若该任务由甲、乙两工程队先后接力完成，甲工程队每天修建0.04千米，乙工程队每天修建0.02千米，两工程队共需修建500天，求甲、乙两工程队分别修建云轨多少千米？
根据题意，小刚同学列出了一个尚不完整的方程
（1）根据小刚同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义．x表示　 　；y表示　 　；
（2）小红同学“设甲工程队修建云轨x千米，乙工程队修建云轨y千米”，请你利用小红同学设的未知数解决问题．
23．【阅读材料】
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
【理解应用】
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；
【拓展升华】
（2）利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；
②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝2020，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．



参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．下列运算正确的是（　　）
A．3x﹣2x＝x B．3x+2x＝5x2 C．3x•2x＝6x D．3x÷2x＝
解：A、结果是x，故本选项符合题意；
B、结果是5x，故本选项不符合题意；
C、结果是6x2，故本选项不符合题意；
D、结果是，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是（　　）

A．15° B．25° C．35° D．65°
解：如右图所示，
∵CD∥EF，∠2＝65°，
∴∠2＝∠DCE＝65°，
∵∠DCE+∠1＝∠ACB＝90°，
∴∠1＝25°，
故选：B．

3．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（2x﹣3y）（3y﹣2x） B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y）
C．（x﹣2y）（2y+x） D．（x+3y）（x﹣3y）
解：（2x﹣3y）（3y﹣2x）不能利用平方差公式计算，
故选：A．
4．已知xm＝2，xn＝3，则x3m﹣2n的值为（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
解：∵xm＝2，xn＝3，
∴x3m﹣2n＝（xm）3÷（xn）2
＝23÷32
＝．
故选：B．
5．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．则回答正确的是（　　）
已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．
求证：AB∥CD．
证明：延长BE交※于点F，
则∠BEC＝180°﹣∠FEC＝◎+∠C．
又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝▲．
故AB∥CD（@相等，两直线平行）．

A．◎代表∠FEC B．@代表同位角
C．▲代表∠EFC D．※代表AB
【解答】证明：延长BE交CD于点F，
则∠BEC＝180°﹣∠FEC＝∠EFC+∠C．
又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．
故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
所以※代表CD，◎代表∠EFC，▲代表∠EFC，@代表内错角，
故选：C．
6．若方程组的解满足x+y＝2020，则k等于（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
解：，
①+②得，5x+5y＝5k﹣5，即：x+y＝k﹣1，
∵x+y＝2020，
∴k﹣1＝2020，
∴k＝2021，
故选：D．
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：今有甲种袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙种袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲种袋子比乙种袋子轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可建立方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
依题意，得：．
故选：C．
8．如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3个阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝2，则长方形ABCD的面积为（　　）

A．100 B．96 C．90 D．86
解：设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得：
S1的长为：8﹣6＝2，宽为：b﹣8，故S1＝2（b﹣8），
S2的长为：，8+6﹣a＝14﹣a，宽为：6+6﹣b＝12﹣b，故S2＝（14﹣a）（12﹣b），
S3的长为：a﹣8，宽为：b﹣6，故S3＝（a﹣8）（b﹣6），
∵2S3+S1﹣S2＝2，
∴2（a﹣8）（b﹣6）+2（b﹣8）﹣（14﹣a）（12﹣b）＝2，
∴2（ab﹣6a﹣8b+48）+2b﹣16﹣（168﹣14b﹣12a+ab）＝2，
∴ab﹣88＝2，
∴ab＝90．
故选：C．
二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
9．计算：﹣（﹣2a2）2＝　﹣4a4　．
解：﹣（﹣2a2）2＝﹣4a4．
故答案为：﹣4a4．
10．如图，AB∥CD，若∠A＝20°，∠E＝67°，那么∠C的度数为　47°　．

解：如图，过点E作PE∥AB，则∠1＝∠A＝20°，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD∥AB，
∴∠C＝∠2＝∠AEC﹣∠1＝67°﹣20°＝47°，
故答案为：47°．

11．如果实数x，y满足方程组，那么（﹣x+2y）2020＝　1　．
解：，
①+②得：3x＝3，
解得：x＝1，
把x＝1代入②得：y＝1，
则原式＝（﹣1+2）2020＝1．
故答案为：1
12．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝52°，则∠AEG的度数是　76°　．

解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG＝52°，
又由折叠的性质可得∠GEF＝∠DEF＝52°，
∴∠AEG＝180°﹣∠DEF﹣∠GEF＝180°﹣52°﹣52°＝76°．
故答案为：76°．
13．已知a﹣b＝3，ab＝2，则a2+b2的值为　13　．
解：∵a﹣b＝3，ab＝2，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×2＝13，
故答案为：13．
14．某电台组织知识竞赛，共设置20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了3个参赛者的得分情况．若参赛者D得82分，则他答对了　17　道题．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
94
C
14
6
64
解：设答对一题得a分，答错一题得b分，
依题意，得：，
解得：．
设参赛者D答对了x道题，则答错了（20﹣x）道题，
依题意，得：5x﹣（20﹣x）＝82，
解得：x＝17．
故答案为：17．
15．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则这个长方形的周长为　（8m+12）　．

解：∵（2m+3）2＝4m2+12m+9，拼成的长方形一边长为m，
∴长方形的长为：[4m2+12m+9﹣（m+3）2]÷m＝3m+6．
∴这个长方形的周长为：2（3m+6+m）＝8m+12．
故答案为：（8m+12）．
16．阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）＝　　．
解：根据题意得：原式＝×（6﹣1）（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）
＝×（62﹣1）（62+1）（64+1）（68+1）
＝×（64﹣1）（64+1）（68+1）
＝×（68﹣1）（68+1）
＝×（616﹣1）
＝．
故答案为：
三、解答题（本题共有7小题，第17～19小题每小题6分，第20～22小题每小题6分，第23小题10分，共52分．请务必写出解答过程）
17．将一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）求∠EFC的度数．

解：（1）∵CF平分∠DCE，且∠DCE＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠ECF，
∴CF∥AB；

（2）在△FCE中，
∵∠FCE+∠E+∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝180°﹣∠FCE﹣∠E，
＝180°﹣45°﹣30°
＝105°．

18．解方程组
（1）
（2）
解：（1），
①﹣②×4得：11y＝﹣11，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入②得：x＝2，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①×2﹣②得：3y＝9，
解得：y＝3，
把y＝3代入①得：x＝5，
则方程组的解为．
19．化简：
（1）﹣12x2y3÷（﹣3xy2）•（﹣xy）；
（2）（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2．
解：（1）原式＝4xy•（﹣xy）＝﹣x2y2；
（2）原式＝4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2＝4xy﹣2y2．
20．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°．
（1）求∠DOE的度数；
（2）OF平分∠AOD吗？请说明理由．

解：（1）∵CD∥AB，
∴∠BOD＝∠D＝110°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOD＝55°；
（2）∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，
又∵∠AOD＝180°﹣∠BOD＝70°，∠AOF＝70°﹣35°＝35°，
∴∠AOF＝∠DOF，
∴OF平分∠AOD．
21．定义新运算，如＝1×7+3×5﹣2×3＝7+15﹣6＝16．
（1）计算的值；
（2）化简：．
解：（1）＝2×4+3×3﹣2×（﹣1）＝8+9+2＝19．

（2）
＝（x+y）（﹣3x﹣y）+3（7xy﹣x2）﹣2（2xy﹣3x2+1），
＝﹣3x2﹣4xy﹣y2+21xy﹣3x2﹣4xy+6x2﹣2，
＝﹣y2+13xy﹣2．
22．蚌埠云轨测试线自开工以来备受关注，据了解我市首期工程云轨线路约12千米，若该任务由甲、乙两工程队先后接力完成，甲工程队每天修建0.04千米，乙工程队每天修建0.02千米，两工程队共需修建500天，求甲、乙两工程队分别修建云轨多少千米？
根据题意，小刚同学列出了一个尚不完整的方程
（1）根据小刚同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义．x表示　甲工程队工作的时间　；y表示　乙工程队工作的时间　；
（2）小红同学“设甲工程队修建云轨x千米，乙工程队修建云轨y千米”，请你利用小红同学设的未知数解决问题．
解：（1）x表示甲工程队工作的时间，y表示乙工程队工作的时间．
故答案为：甲工程队工作的时间；乙工程队工作的时间．
（2）依题意，得：，
解得：．
答：甲工程队修建云轨4千米，乙工程队修建云轨8千米．
23．【阅读材料】
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
【理解应用】
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；
【拓展升华】
（2）利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；
②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝2020，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．

解：（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy．
（2）①由题意得：，
把a2+b2＝10，a+b＝6代入上式得，．
②由题意得：（2021﹣c）2+（c﹣2019）2＝（2021﹣c+c﹣2019）2﹣2（2021﹣c）（c﹣2019）＝22﹣2×2020＝﹣4036．