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2019-2020学年四川省广元市青川县七年级下学期期末数学试卷（北师大版） （解析版）
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2019-2020学年四川广元市青川县七年级第二学期期末数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x2＝x4 B．3a﹣a＝3 C．（b3）2＝b9 D．a2•a3＝a6
2．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A．∠1与∠A是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角
C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠2与∠5是同位角
3．关于x的二次三项式4x2+mx+是一个完全平方式，则m的值应为（ ）
A．± B．﹣ C．± D．﹣
4．李老师骑车外出办事，离校不久便接到学校要他返校的紧急电话，李老师急忙赶回学校、下面四个图象中，描述李老师与学校距离的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各式中计算正确的是（ ）
A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2
B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2
C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2
D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2
6．某科研小组为了考查某河流野生鱼的数量，从中捕捞200条，作上标记后，放回河里，经过一段时间，再从中捕捞300条，发现有标记的鱼有15条，则估计该河流中有野生鱼（ ）
A．8000条 B．4000条 C．2000条 D．1000条
7．如图，在△ABC中，DE为AC边的垂直平分线，AB＝12cm，BC＝10cm，则△BCE的周长为（ ）
A．22cm B．16cm C．26cm D．25cm
8．如图，把两根钢条AB，CD的中点O连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得AC之间的距离，就可知工件的内径BD．其数学原理是利用△AOC≌△BOD，判断△AOC≌△BOD的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
9．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
10．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为120米； ②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为750米．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
二、填空题（共6小题）.
11．如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠1＝60°，则∠2＝ ．
12．计算：（﹣2ab2）3•（3a2b）2+4a3b2•18a4b6＝ ．
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边BC上A1处，折痕为CD，则∠A1DB＝ 度．
14．如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为 ．
15．如图，从给出的四个条件：
（1）∠3＝∠4；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠A＝∠DCE；
（4）∠D+∠ABD＝180°．
恰能判断AB∥CD的概率是 ．
16．如图，P为∠AOB内一点，分别画出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2．交OA于点M，交OB于点N．若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．先化简，再求值：[（x﹣5y）（x+5y）﹣（x﹣2y）2+y2]÷2y，其中x＝﹣1，y＝
18．计算：
（1）2﹣2×（﹣）﹣2+2÷（3﹣2）0﹣（）﹣2
（2）[x﹣（4x+12）]2+（﹣0.125）2019×82020
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE＝．
求证：AB平分∠EAD．
20．（1）若代数式（m﹣2y+1）（n+3y）+ny2的值与y无关，且等腰三角形的两边长为m、n，求该等腰三角形的周长．
（2）若x2﹣2x﹣5＝0，求2x3﹣8x2﹣2x+2020的值．
21．如图所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面一次写上数字1、2、3、4、5、6；若自由转动转盘，当它停止转动时，求：
（1）指针指向4的概率；
（2）指针指向数字是奇数的概率；
（3）请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向区域的概率为．
22．如图，∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，FG⊥AB，问：CD与AB垂直吗？试说明理由．
23．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．
（1）说明BD＝CE；
（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；
（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
24．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x2＝x4 B．3a﹣a＝3 C．（b3）2＝b9 D．a2•a3＝a6
解：A、x6÷x2＝x4，故A正确；
B、3a﹣a＝2a，故B错误；
C、（b3）2＝b6，故C错误；
D、a2•a3＝a5，故D错误．
故选：A．
2．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A．∠1与∠A是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角
C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠2与∠5是同位角
解：A、∠1和∠A是同旁内角，说法正确；
B、∠3和∠4是内错角，说法正确；
C、∠5和∠6是同旁内角，说法错误；
D、∠5和∠2是同位角，说法正确．
故选：C．
3．关于x的二次三项式4x2+mx+是一个完全平方式，则m的值应为（ ）
A．± B．﹣ C．± D．﹣
解：4x2+mx+是完全平方式，
∴4x2+mx+
＝（2x±）2
＝（2x）2±2•2x•+（）2
＝4x2±x+，
∴m＝±．
故选：C．
4．李老师骑车外出办事，离校不久便接到学校要他返校的紧急电话，李老师急忙赶回学校、下面四个图象中，描述李老师与学校距离的图象是（ ）
A． B．
C． D．
解：李老师从学校出发离校，接到电话前，距离是随着时间的增加而增加的，接到电话后，开始返校，距离是随着时间的增加而减少的，故舍去A、B选项，又返回时是急忙返校，所以与来时同样的距离，返回时用的时间较少，所以C正确．
故选：C．
5．下列各式中计算正确的是（ ）
A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2
B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2
C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2
D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2
解：A、应为（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣（2b）2，故本选项错误；
B、应为（﹣a+2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4ab﹣4b2，故本选项错误；
C、（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2，正确；
D、应为（﹣a﹣2b）（a+2b）＝﹣a2﹣4ab﹣4b2，故本选项错误．
故选：C．
6．某科研小组为了考查某河流野生鱼的数量，从中捕捞200条，作上标记后，放回河里，经过一段时间，再从中捕捞300条，发现有标记的鱼有15条，则估计该河流中有野生鱼（ ）
A．8000条 B．4000条 C．2000条 D．1000条
解：∵300条鱼中发现有标记的鱼有15条，
∴有标记的占到，
∵有200条鱼有标记，
∴该河流中有野生鱼200＝4000（条）；
故选：B．
7．如图，在△ABC中，DE为AC边的垂直平分线，AB＝12cm，BC＝10cm，则△BCE的周长为（ ）
A．22cm B．16cm C．26cm D．25cm
解：∵DE为AC边的垂直平分线
∴AE＝EC，
∵AB＝12cm，BC＝10cm，
∴△BCE的周长为AE+BE+BC＝AB+BC＝22cm．
故选：A．
8．如图，把两根钢条AB，CD的中点O连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得AC之间的距离，就可知工件的内径BD．其数学原理是利用△AOC≌△BOD，判断△AOC≌△BOD的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
解：∵两根钢条AB，CD的中点O连在一起，
∴OA＝OB，OC＝OA，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC＝BD，
用的是SAS的判定定理．
故选：A．
9．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等，
∴∠1＝∠3，
∵∠3+∠2＝45°，
∴∠1+∠2＝45°
∵∠1＝20°，
∴∠2＝25°．
故选：B．
10．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为120米； ②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为750米．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
解：在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故②正确；
火车的长度是150米，故①错误；
整个火车都在隧道内的时间是：35﹣5﹣5＝25秒，故③正确；
隧道长是：35×30﹣150＝1050﹣150＝900米，故④错误．
故正确的是：②③．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠1＝60°，则∠2＝ 30° ．
解：∵AB∥CD，∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°
∵EF⊥AB，
∴∠FEA＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝30°．
故答案为：30°．
12．计算：（﹣2ab2）3•（3a2b）2+4a3b2•18a4b6＝ 0 ．
解：原式＝﹣8a3b6•9a4b2+4a3b2•18a4b6
＝﹣72a7b8+72a7b8
＝0．
故答案为：0．
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边BC上A1处，折痕为CD，则∠A1DB＝ 10 度．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°，
由翻折的性质得，∠CA1D＝∠A＝50°，
所以∠A1DB＝∠CA1D﹣∠B＝50°﹣40°＝10°．
故答案为：10．
14．如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为 75° ．
解：∵∠ADE＝∠BCE＝90°+60°＝150°，
AD＝BC，DE＝CE，
∴△ADE≌△BCE，
∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．
∵正方形中AD＝DC，等边三角形中DC＝DE，
∴AD＝DE，
∵∠ADE＝90°+60°＝150°，
∴∠DEA＝＝15°，同理∠CEB＝15°，
∴∠AEB＝60°﹣15°﹣15°＝30°，
∴∠EAB＝＝75°．
故答案为 75°．
15．如图，从给出的四个条件：
（1）∠3＝∠4；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠A＝∠DCE；
（4）∠D+∠ABD＝180°．
恰能判断AB∥CD的概率是 ．
解：∵恰能判断AB∥CD的有（2），（3），（4），
∴恰能判断AB∥CD的概率是：．
故答案为：．
16．如图，P为∠AOB内一点，分别画出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2．交OA于点M，交OB于点N．若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为 5cm ．
解：如图所示：
∵P与P1关于OA对称，
∴OA为线段PP1的垂直平分线．
∴MP＝MP1．
同理可得：NP＝NP2．
∵P1P2＝5cm，
∴△PMN的周长＝MP+MN+NP＝P1M+MN+NP2＝P1P2＝5cm．
故答案为5cm．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．先化简，再求值：[（x﹣5y）（x+5y）﹣（x﹣2y）2+y2]÷2y，其中x＝﹣1，y＝
解：[（x﹣5y）（x+5y）﹣（x﹣2y）2+y2]÷2y
＝[x2﹣25y2﹣x2+4xy﹣4y2+y2]÷2y
＝[4xy﹣28y2]÷2y
＝2x﹣14y，
当x＝﹣1，y＝时，原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
18．计算：
（1）2﹣2×（﹣）﹣2+2÷（3﹣2）0﹣（）﹣2
（2）[x﹣（4x+12）]2+（﹣0.125）2019×82020
解：（1）原式＝1+2﹣81
＝﹣79；
（2）原式＝9+（﹣0.125×8）2019×8
＝9﹣8
＝1．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE＝．
求证：AB平分∠EAD．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴BD＝BC，AD⊥BC，
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∵AE⊥BE，
∴AB平分∠EAD．
20．（1）若代数式（m﹣2y+1）（n+3y）+ny2的值与y无关，且等腰三角形的两边长为m、n，求该等腰三角形的周长．
（2）若x2﹣2x﹣5＝0，求2x3﹣8x2﹣2x+2020的值．
解：（1）（m﹣2y+1）（n+3y）+ny2
＝mn+3my﹣2ny﹣6y2+n+3y+ny2
＝mn+n+（3m﹣2n+3）y+（n﹣6）y2
∵代数式的值与y无关，
∴，
∴，
①若等腰三角形的三边长分别为6，6，3，则等腰三角形的周长为15．
②若等腰三角形的三边长分别为6，3，3，则不能组成三角形．
∴等腰三角形的周长为15．
（2）∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2＝2x+5，
∴2x3﹣8x2﹣2x+2020
＝2x（2x+5）﹣8x2﹣2x+2020
＝4x2+10x﹣8x2﹣2x+2020
＝﹣4x2+8x+2020
＝﹣4（2x+5）+8x+2020
＝﹣8x﹣20+8x+2020
＝2000．
21．如图所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面一次写上数字1、2、3、4、5、6；若自由转动转盘，当它停止转动时，求：
（1）指针指向4的概率；
（2）指针指向数字是奇数的概率；
（3）请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向区域的概率为．
解：（1）指针指向4的概率为；
（2）指针指向数字是奇数的概率为＝；
（3）游戏为：转盘被等分成六个扇形，并在上面一次写上数字1、2、3、4、5、6；若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向数字大于3时，获奖．
22．如图，∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，FG⊥AB，问：CD与AB垂直吗？试说明理由．
解：CD与AB垂直，理由为：
∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴∠1＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCD，
∴CD∥FG，
∴∠CDB＝∠FGB＝90°，
∴CD⊥AB．
23．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．
（1）说明BD＝CE；
（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；
（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
解：（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝∠EAC＝90°，AD＝AE，
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ADB≌△AEC，
∴∠ACE＝∠ABD，
而在△CDF中，∠BFC＝180°﹣∠ACE﹣∠CDF
又∵∠CDF＝∠BDA
∴∠BFC＝180°﹣∠DBA﹣∠BDA
＝∠DAB
＝90°；
（3）BD＝CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC＝90°．理由如下：
∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∵∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD
∴∠BAD＝∠CAE，
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）
∴BD＝CE，∠ACE＝∠DBA，
∴∠BFC＝∠CAB＝90°．
24．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 110 度；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
【解答】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）∠APC＝α+β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α＝∠APE，β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝α﹣β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝β﹣α．
一、选择题（共10小题）.
1．下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x2＝x4 B．3a﹣a＝3 C．（b3）2＝b9 D．a2•a3＝a6
2．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A．∠1与∠A是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角
C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠2与∠5是同位角
3．关于x的二次三项式4x2+mx+是一个完全平方式，则m的值应为（ ）
A．± B．﹣ C．± D．﹣
4．李老师骑车外出办事，离校不久便接到学校要他返校的紧急电话，李老师急忙赶回学校、下面四个图象中，描述李老师与学校距离的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各式中计算正确的是（ ）
A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2
B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2
C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2
D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2
6．某科研小组为了考查某河流野生鱼的数量，从中捕捞200条，作上标记后，放回河里，经过一段时间，再从中捕捞300条，发现有标记的鱼有15条，则估计该河流中有野生鱼（ ）
A．8000条 B．4000条 C．2000条 D．1000条
7．如图，在△ABC中，DE为AC边的垂直平分线，AB＝12cm，BC＝10cm，则△BCE的周长为（ ）
A．22cm B．16cm C．26cm D．25cm
8．如图，把两根钢条AB，CD的中点O连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得AC之间的距离，就可知工件的内径BD．其数学原理是利用△AOC≌△BOD，判断△AOC≌△BOD的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
9．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
10．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为120米； ②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为750米．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
二、填空题（共6小题）.
11．如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠1＝60°，则∠2＝ ．
12．计算：（﹣2ab2）3•（3a2b）2+4a3b2•18a4b6＝ ．
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边BC上A1处，折痕为CD，则∠A1DB＝ 度．
14．如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为 ．
15．如图，从给出的四个条件：
（1）∠3＝∠4；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠A＝∠DCE；
（4）∠D+∠ABD＝180°．
恰能判断AB∥CD的概率是 ．
16．如图，P为∠AOB内一点，分别画出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2．交OA于点M，交OB于点N．若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．先化简，再求值：[（x﹣5y）（x+5y）﹣（x﹣2y）2+y2]÷2y，其中x＝﹣1，y＝
18．计算：
（1）2﹣2×（﹣）﹣2+2÷（3﹣2）0﹣（）﹣2
（2）[x﹣（4x+12）]2+（﹣0.125）2019×82020
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE＝．
求证：AB平分∠EAD．
20．（1）若代数式（m﹣2y+1）（n+3y）+ny2的值与y无关，且等腰三角形的两边长为m、n，求该等腰三角形的周长．
（2）若x2﹣2x﹣5＝0，求2x3﹣8x2﹣2x+2020的值．
21．如图所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面一次写上数字1、2、3、4、5、6；若自由转动转盘，当它停止转动时，求：
（1）指针指向4的概率；
（2）指针指向数字是奇数的概率；
（3）请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向区域的概率为．
22．如图，∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，FG⊥AB，问：CD与AB垂直吗？试说明理由．
23．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．
（1）说明BD＝CE；
（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；
（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
24．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x2＝x4 B．3a﹣a＝3 C．（b3）2＝b9 D．a2•a3＝a6
解：A、x6÷x2＝x4，故A正确；
B、3a﹣a＝2a，故B错误；
C、（b3）2＝b6，故C错误；
D、a2•a3＝a5，故D错误．
故选：A．
2．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A．∠1与∠A是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角
C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠2与∠5是同位角
解：A、∠1和∠A是同旁内角，说法正确；
B、∠3和∠4是内错角，说法正确；
C、∠5和∠6是同旁内角，说法错误；
D、∠5和∠2是同位角，说法正确．
故选：C．
3．关于x的二次三项式4x2+mx+是一个完全平方式，则m的值应为（ ）
A．± B．﹣ C．± D．﹣
解：4x2+mx+是完全平方式，
∴4x2+mx+
＝（2x±）2
＝（2x）2±2•2x•+（）2
＝4x2±x+，
∴m＝±．
故选：C．
4．李老师骑车外出办事，离校不久便接到学校要他返校的紧急电话，李老师急忙赶回学校、下面四个图象中，描述李老师与学校距离的图象是（ ）
A． B．
C． D．
解：李老师从学校出发离校，接到电话前，距离是随着时间的增加而增加的，接到电话后，开始返校，距离是随着时间的增加而减少的，故舍去A、B选项，又返回时是急忙返校，所以与来时同样的距离，返回时用的时间较少，所以C正确．
故选：C．
5．下列各式中计算正确的是（ ）
A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2
B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2
C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2
D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2
解：A、应为（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣（2b）2，故本选项错误；
B、应为（﹣a+2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4ab﹣4b2，故本选项错误；
C、（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2，正确；
D、应为（﹣a﹣2b）（a+2b）＝﹣a2﹣4ab﹣4b2，故本选项错误．
故选：C．
6．某科研小组为了考查某河流野生鱼的数量，从中捕捞200条，作上标记后，放回河里，经过一段时间，再从中捕捞300条，发现有标记的鱼有15条，则估计该河流中有野生鱼（ ）
A．8000条 B．4000条 C．2000条 D．1000条
解：∵300条鱼中发现有标记的鱼有15条，
∴有标记的占到，
∵有200条鱼有标记，
∴该河流中有野生鱼200＝4000（条）；
故选：B．
7．如图，在△ABC中，DE为AC边的垂直平分线，AB＝12cm，BC＝10cm，则△BCE的周长为（ ）
A．22cm B．16cm C．26cm D．25cm
解：∵DE为AC边的垂直平分线
∴AE＝EC，
∵AB＝12cm，BC＝10cm，
∴△BCE的周长为AE+BE+BC＝AB+BC＝22cm．
故选：A．
8．如图，把两根钢条AB，CD的中点O连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得AC之间的距离，就可知工件的内径BD．其数学原理是利用△AOC≌△BOD，判断△AOC≌△BOD的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
解：∵两根钢条AB，CD的中点O连在一起，
∴OA＝OB，OC＝OA，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC＝BD，
用的是SAS的判定定理．
故选：A．
9．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等，
∴∠1＝∠3，
∵∠3+∠2＝45°，
∴∠1+∠2＝45°
∵∠1＝20°，
∴∠2＝25°．
故选：B．
10．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为120米； ②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为750米．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
解：在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故②正确；
火车的长度是150米，故①错误；
整个火车都在隧道内的时间是：35﹣5﹣5＝25秒，故③正确；
隧道长是：35×30﹣150＝1050﹣150＝900米，故④错误．
故正确的是：②③．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠1＝60°，则∠2＝ 30° ．
解：∵AB∥CD，∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°
∵EF⊥AB，
∴∠FEA＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝30°．
故答案为：30°．
12．计算：（﹣2ab2）3•（3a2b）2+4a3b2•18a4b6＝ 0 ．
解：原式＝﹣8a3b6•9a4b2+4a3b2•18a4b6
＝﹣72a7b8+72a7b8
＝0．
故答案为：0．
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边BC上A1处，折痕为CD，则∠A1DB＝ 10 度．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°，
由翻折的性质得，∠CA1D＝∠A＝50°，
所以∠A1DB＝∠CA1D﹣∠B＝50°﹣40°＝10°．
故答案为：10．
14．如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为 75° ．
解：∵∠ADE＝∠BCE＝90°+60°＝150°，
AD＝BC，DE＝CE，
∴△ADE≌△BCE，
∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．
∵正方形中AD＝DC，等边三角形中DC＝DE，
∴AD＝DE，
∵∠ADE＝90°+60°＝150°，
∴∠DEA＝＝15°，同理∠CEB＝15°，
∴∠AEB＝60°﹣15°﹣15°＝30°，
∴∠EAB＝＝75°．
故答案为 75°．
15．如图，从给出的四个条件：
（1）∠3＝∠4；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠A＝∠DCE；
（4）∠D+∠ABD＝180°．
恰能判断AB∥CD的概率是 ．
解：∵恰能判断AB∥CD的有（2），（3），（4），
∴恰能判断AB∥CD的概率是：．
故答案为：．
16．如图，P为∠AOB内一点，分别画出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2．交OA于点M，交OB于点N．若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为 5cm ．
解：如图所示：
∵P与P1关于OA对称，
∴OA为线段PP1的垂直平分线．
∴MP＝MP1．
同理可得：NP＝NP2．
∵P1P2＝5cm，
∴△PMN的周长＝MP+MN+NP＝P1M+MN+NP2＝P1P2＝5cm．
故答案为5cm．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．先化简，再求值：[（x﹣5y）（x+5y）﹣（x﹣2y）2+y2]÷2y，其中x＝﹣1，y＝
解：[（x﹣5y）（x+5y）﹣（x﹣2y）2+y2]÷2y
＝[x2﹣25y2﹣x2+4xy﹣4y2+y2]÷2y
＝[4xy﹣28y2]÷2y
＝2x﹣14y，
当x＝﹣1，y＝时，原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
18．计算：
（1）2﹣2×（﹣）﹣2+2÷（3﹣2）0﹣（）﹣2
（2）[x﹣（4x+12）]2+（﹣0.125）2019×82020
解：（1）原式＝1+2﹣81
＝﹣79；
（2）原式＝9+（﹣0.125×8）2019×8
＝9﹣8
＝1．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE＝．
求证：AB平分∠EAD．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴BD＝BC，AD⊥BC，
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∵AE⊥BE，
∴AB平分∠EAD．
20．（1）若代数式（m﹣2y+1）（n+3y）+ny2的值与y无关，且等腰三角形的两边长为m、n，求该等腰三角形的周长．
（2）若x2﹣2x﹣5＝0，求2x3﹣8x2﹣2x+2020的值．
解：（1）（m﹣2y+1）（n+3y）+ny2
＝mn+3my﹣2ny﹣6y2+n+3y+ny2
＝mn+n+（3m﹣2n+3）y+（n﹣6）y2
∵代数式的值与y无关，
∴，
∴，
①若等腰三角形的三边长分别为6，6，3，则等腰三角形的周长为15．
②若等腰三角形的三边长分别为6，3，3，则不能组成三角形．
∴等腰三角形的周长为15．
（2）∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2＝2x+5，
∴2x3﹣8x2﹣2x+2020
＝2x（2x+5）﹣8x2﹣2x+2020
＝4x2+10x﹣8x2﹣2x+2020
＝﹣4x2+8x+2020
＝﹣4（2x+5）+8x+2020
＝﹣8x﹣20+8x+2020
＝2000．
21．如图所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面一次写上数字1、2、3、4、5、6；若自由转动转盘，当它停止转动时，求：
（1）指针指向4的概率；
（2）指针指向数字是奇数的概率；
（3）请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向区域的概率为．
解：（1）指针指向4的概率为；
（2）指针指向数字是奇数的概率为＝；
（3）游戏为：转盘被等分成六个扇形，并在上面一次写上数字1、2、3、4、5、6；若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向数字大于3时，获奖．
22．如图，∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，FG⊥AB，问：CD与AB垂直吗？试说明理由．
解：CD与AB垂直，理由为：
∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴∠1＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCD，
∴CD∥FG，
∴∠CDB＝∠FGB＝90°，
∴CD⊥AB．
23．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．
（1）说明BD＝CE；
（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；
（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
解：（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝∠EAC＝90°，AD＝AE，
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ADB≌△AEC，
∴∠ACE＝∠ABD，
而在△CDF中，∠BFC＝180°﹣∠ACE﹣∠CDF
又∵∠CDF＝∠BDA
∴∠BFC＝180°﹣∠DBA﹣∠BDA
＝∠DAB
＝90°；
（3）BD＝CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC＝90°．理由如下：
∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∵∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD
∴∠BAD＝∠CAE，
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）
∴BD＝CE，∠ACE＝∠DBA，
∴∠BFC＝∠CAB＝90°．
24．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 110 度；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
【解答】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）∠APC＝α+β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α＝∠APE，β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝α﹣β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝β﹣α．
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